1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量的共线与共面向量，引导学生理解定义、掌握充要条件，学会证明三点共线与四点共面。通过类比平面向量共线设置探究问题，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 以探究为核心，通过判断正误深化概念理解，典例与变式训练培养数学思维（推理充要条件应用），解题感悟与课堂达标强化数学语言表达，助力学生形成空间观念，提升抽象与推理能力，适合自主学习与课堂教学使用。

1.1.1 空间向量及其线性运算 第2课时 共线向量与共面向量 导学案 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.理解共线向量、共面向量的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 3.会证明空间三点共线、四点共面. 一、向量共线充要条件 探究1　类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a与b，如果a＝λb（λ∈R），a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb？ ⚪梳理教材 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . 2.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的 .直线可以由其上一点和它的方向向量确定. ⚪温馨提示　（1）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上. （2）因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线（平行）向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线.（　 　） （2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　 　） （3）若a∥b，则表示向量a，b的有向线段所在直线互相平行或重合.（　 　） 【典例1】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在体对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线. 【变式探究】　将本例条件改为“O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M”.求证：C1，O，M三点共线. ⚪解题感悟 　　1.证明空间三点P，A，B共线的方法 （1）＝λ（λ∈R）. （2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）. （3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）. 　　2.向量共线问题的解题策略 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线. 注意：表示平行向量的有向线段所在的直线可能平行也可能重合；平行直线一定不重合，因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，表示非零的平行向量的有向线段所在的直线若不重合，则一定是平行直线. 【练习1】　（1）满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是（　 　） A.＋＝ B.－＝ C.＝ D.｜｜＝｜｜ （2）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形. 二、向量共面的充要条件 探究2　由于向量可以平移，所以任意两个向量共面，探究任意三个向量是否共面？ 探究3　两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb？ ⚪梳理教材 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 或 ，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 定义 平行于同一个 的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对（x，y），使 ⚪温馨提示　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）空间中任意三个向量一定是共面向量.（　 　） （2）若向量a平行于平面α，则表示向量a的有向线段所在的直线与平面α平行.（　 　） 【典例2】　（1）已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面. （2）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. ⚪解题感悟 解决向量共面的策略 证明三个向量共面（或四点共面），需利用空间向量共面的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 【练习2】　如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.求证：E，F，G，H四点共面. 三、空间向量共面的充要条件的变形应用 探究4　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 【典例3】　（多选）对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　 　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ ⚪解题感悟 向量共面的判定及应用 （1）证明三个向量共面（或四点共面）时，可以通过以下几个条件进行证明. ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝＋x＋y； ③对于空间任意一点O，＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）； ④∥（或∥或∥）. （2）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 【练习3】　在四面体OABC中，空间中的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ＝（　 　） A. B. C. D. ⚪课堂达标 1.下列命题中正确的是（　 　） A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即表示它们的有向线段所在的直线共面 C.若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥ D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 2.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝（　 　） A.－1 B.3 C.－ D. 3.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（　 　） A. B.－ C. D.－ 4.已知A，B，C三点共线，如果对于空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为 . 1.1.1 空间向量及其线性运算 第2课时 共线向量与共面向量 导学案 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 解析版 ⚪学习目标　1.理解共线向量、共面向量的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 3.会证明空间三点共线、四点共面. 一、向量共线充要条件 探究1　类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a与b，如果a＝λb（λ∈R），a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb？ 提示：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. ⚪梳理教材 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　. 2.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的　方向向量　.直线可以由其上一点和它的方向向量确定. ⚪温馨提示　（1）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上. （2）因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线（平行）向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线.（　✕　） （2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　✕　） （3）若a∥b，则表示向量a，b的有向线段所在直线互相平行或重合.（　√　） 【典例1】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在体对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线. 证明：设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， 又＝（－）＝（＋－）＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c＝（a－b－c）. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝，又，有公共点E，所以E，F，B三点共线. 【变式探究】　将本例条件改为“O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M”.求证：C1，O，M三点共线. 证明：如图，连接AO，AC1，A1C1. ∵＝， ∴＝＋ ＝＋ ＝＋（＋） ＝＋. ∵＝2，＝＋ ＝－＝－2， ∴＝（－2）＋＝＋. 又∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线. ⚪解题感悟 　　1.证明空间三点P，A，B共线的方法 （1）＝λ（λ∈R）. （2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）. （3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）. 　　2.向量共线问题的解题策略 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线. 注意：表示平行向量的有向线段所在的直线可能平行也可能重合；平行直线一定不重合，因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，表示非零的平行向量的有向线段所在的直线若不重合，则一定是平行直线. 【练习1】　（1）满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是（　C　） A.＋＝ B.－＝ C.＝ D.｜｜＝｜｜ （2）如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形. 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝，＝， 则＝－＝－ ＝＝（－） ＝（－） ＝（－）＝， ∴∥且｜｜＝｜｜≠｜｜. 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 二、向量共面的充要条件 探究2　由于向量可以平移，所以任意两个向量共面，探究任意三个向量是否共面？ 提示：不一定，如图所示，，，三个向量不共面，但，，三个向量共面. 探究3　两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb？ 提示：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb. ⚪梳理教材 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA　平行于平面α　或　在平面α内　，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 定义 平行于同一个　平面　的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在　唯一　的有序实数对（x，y），使　p＝xa＋yb　 ⚪温馨提示　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）空间中任意三个向量一定是共面向量.（　✕　） （2）若向量a平行于平面α，则表示向量a的有向线段所在的直线与平面α平行.（　✕　） 【典例2】　（1）已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面. （2）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. 证明：（1）设＝x＋y，则 e1＋e2＝x（2e1＋8e2）＋y（3e1－3e2）. ∴（1－2x－3y）e1＋（1－8x＋3y）e2＝0. 又∵e1，e2不共线， ∴∴x＝y＝. ∴＝＋. ∴A，B，C，D四点共面. （2）∵M在BD上，且BM＝BD， ∴＝＝＋. 同理＝＋. ∴＝＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋ ＝＋. 又与不共线，∴根据向量共面的充要条件可知，，共面. ⚪解题感悟 解决向量共面的策略 证明三个向量共面（或四点共面），需利用空间向量共面的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示. 【练习2】　如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.求证：E，F，G，H四点共面. 证明：如图，连接PE，PF，PG，PH并延长，分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，Q，R， 则M，N，Q，R分别为所在边的中点，作四边形MNQR，则该四边形为平行四边形，连接MQ，EG，EF，EH.易知＝，＝，＝，＝， 所以＝－＝－ ＝＝（＋） ＝（－）＋（－） ＝（－）＋（－） ＝＋. 故E，F，G，H四点共面. 三、空间向量共面的充要条件的变形应用 探究4　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 提示：x＋y＋z＝1. 证明如下：①充分性： ∵＝x＋y＋z 可变形为＝（1－y－z）＋y＋z， ∴－＝y（－）＋z（－）， ∴＝y＋z， ∴点P与A，B，C共面. ②必要性： ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对（m，n）使＝m＋n，即－＝m（－）＋n（－）， ∴＝（1－m－n）＋m＋n. ∵点O在平面ABC外， ∴，，不共面. 又∵＝x＋y＋z， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1. 【典例3】　（多选）对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　BC　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 解析：当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. ⚪解题感悟 向量共面的判定及应用 （1）证明三个向量共面（或四点共面）时，可以通过以下几个条件进行证明. ①＝x＋y； ②对于空间任意一点O，＝＋x＋y； ③对于空间任意一点O，＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）； ④∥（或∥或∥）. （2）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 【练习3】　在四面体OABC中，空间中的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ＝（　A　） A. B. C. D. 解析：因为M，A，B，C四点共面，所以＋＋λ＝1，得λ＝，故选A. ⚪课堂达标 1.下列命题中正确的是（　C　） A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即表示它们的有向线段所在的直线共面 C.若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥ D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 解析：A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，但表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥；D中，若b＝0，a≠0，则不存在实数λ，使a＝λb. 2.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝（　D　） A.－1 B.3 C.－ D. 解析：由a与b共线，知存在实数k，使a＝kb， ∴e1＋λe2＝－e2－ke1，即k＝－1，λ＝. 3.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（　B　） A. B.－ C. D.－ 解析：＝－x＋＝－x＋（－）＝－x＋， 又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴－x＋＝1，解得x＝－. 4.已知A，B，C三点共线，如果对于空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为　0　. 解析：因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使＝k，即－＝k（－）， 所以（k－1）＋－k＝0. 又λ＋m＋n＝0， 所以λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0. 页 学科网（北京）股份有限公司 $