第二章一元二次方程暑假预习单元检测卷 2026—2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程暑假预习单元卷，以固态电池技术迭代、文旅销量增长等真实情境为载体，覆盖方程定义、根的判别式、实际应用等核心知识，适配预习检测与数学眼光、思维、语言素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|一元二次方程定义、根的判别式、根与系数关系|第5题结合固态电池增长率，第6题关联三角形三边关系，体现应用意识| |填空|4题20分|根与系数关系（长方形面积）、新定义“倒立数对”|第12题通过新定义考查分式运算，培养创新意识| |解答题|6题60分|解方程、几何应用（线段问题）、实际应用（销量增长、利润）、新定义“差根方程”、动态几何|16题文旅销量增长考查模型意识，18题矩形动态问题培养推理能力，梯度覆盖基础到综合应用|

第二章一元二次方程暑假预习单元检测卷北师大版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 2．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A．2 B．8 C．4 D．16 3．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 5．固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 7．关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 8．已知整式，其中，均为正整数，，下列说法正确的个数是（     ） ①若，则； ②若，，方程的两个实数根分别为，，则； ③若为整数，且，则所有满足条件的整式的和为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 10．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________． 11．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 12．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有______个． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．解方程： (1) (2) 14．已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 15．已知关于x的方程． (1)若该方程有两个相等的实数根，求的值； (2)若是该方程的一个实数根，求该方程另一个实数根及的值． 16．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 17．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 18．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．B 9． 10． 11． 12．2 13．【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解： ∴ 解得，． 14．【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 15．【详解】（1）解：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简，得， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根， ∴将代入，得， ， 解得， 当时，原方程为， 因式分解，得， 解得或， ∴方程的另一实数根为． 16．【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 17．【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 18．【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 学科网（北京）股份有限公司 $