第五章二次函数暑假预习同步训练基础卷 2026年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第五章二次函数暑假预习基础卷，注重基础巩固与实际应用，适配暑假预习需求，覆盖二次函数定义、图像性质等核心知识点，培养数学抽象、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|二次函数定义、顶点坐标、图像性质|基础全面，如第1题顶点坐标、第3题定义判断，夯实基础| |填空题|4/20|最值、不等式解集、面积计算|结合图像，如第10题图像解不等式，培养几何直观| |解答题|6/60|解析式、实际应用（面积/销售）、几何综合|综合应用，如第15题矩形面积、第17题销售问题，体现模型意识；第18题几何与函数结合，考查推理能力，契合中考趋势|

第五章二次函数暑假预习同步训练基础卷北师大版2026—2027学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A．1，1 B． C．，1 D． 5．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 7．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．二次函数的最小值为__________． 10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 11．直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上，若三角形的面积为，求点的坐标____________． 12．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为8，则的值为________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知抛物线经过点和及轴正半轴一点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点坐标； (3)求直线解析式． 14．已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． 15．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 16．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 17．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 18．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A D C B D 二、填空题 9． 10． 11．或或 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：∵抛物线经过点及轴正半轴一点，且． ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点坐标为， （3）解：由（1）得， 依题意，设直线解析式为， 把，代入， 得， ∴， ∴直线解析式为． 14．【详解】（1）解：依题意，设二次函数的表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 观察表格，函数图象经过点， ∴， 则， ∴ 解得， ∵， ∴． 15．【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 16．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 17．【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 18．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． （3）解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． $