2027届高三物理一轮复习专项训练：机械振动

**基本信息** 以“概念-模型-应用”为主线，通过6大题型32类典例系统构建机械振动解题体系，融合科学推理与模型建构，强化物理观念与实验探究能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |简谐运动特征|3类5例|受力分析（F=-kx）、运动图像解读、周期性证明|从回复力本质到运动学量关联，构建“力-运动-能量”认知链| |弹簧振子|6类14例|动态分析、对称性应用、图像与表达式互化|围绕周期公式，整合动力学与能量观点，强化多过程问题拆解| |单摆|5类12例|等效摆长/重力加速度计算、振动图像分析|从单摆模型到变式应用，突出物理量关联性与实验误差控制| |受迫振动|4类8例|共振条件判断、驱动摆分析|结合共振曲线，建立“固有频率-驱动力频率”关系模型| |实验|1类2例|单摆周期测量、数据处理（T²-L图像）|规范实验操作与误差分析，培养科学探究素养|

机械振动 题型一 简谐运动的基本特征 类型1 简谐运动的受力特点 【例1】如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A．   B．   C．   D．  【例2】关于简谐运动的回复力的含义，下列说法正确的是（　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“”号表示F始终阻碍物体的运动 类型2 简谐运动的运动特点 【例1】如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图象如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题： (1)在t＝0时刻，振子所处的位置为________，正在向________(选填“左”或“右”)方向运动． (2)A、B两点间的距离为________cm. (3)在乙图中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、________和________． (4)在t＝2 s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向________． (5)质点在前4 s内的位移等于________cm，其路程为________cm. 类型3 简谐运动的证明 【例1】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O，求： （1）卫星P做圆周运动的向心力大小； （2）物体做简谐运动时，回复力应满足。试证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 题型二 弹簧振子 类型1 基本物理量的分析 【例1】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是 A．振子从A点运动到C点时位移大小为，方向向右 B．振子从C点运动到A点时位移大小为，方向向右 C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小 D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大 【例2】一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是（　　） A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大 C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同 【例3】如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（    ） A．弹簧振子的振幅是10cm B．当振子运动到B时，位移大小是10cm C．弹簧振子的周期是1s D．振子由O运动到B的过程中速度减小 【例4】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　) A.t2时刻振子在A点 B.t2时刻振子在B点 C.在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D.在t3～t4时间内，振子的位移在减小 类型2 周期性与对称性 【例1】(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（    ） A．秒 B．秒 C．1.4秒 D．1.6秒 【例2】（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。时振子的位移为0.2m，时位移为，则（　　） A．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 B．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 C．若振幅为0.4m，振子的周期可能为4s D．若振幅为0.4m，振子的周期可能为6s 类型3 简谐运动的表达式和图像 【例1】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm B．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同 C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 D．振子做简谐运动的表达式为 【例2】某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为，下列说法正确的是（　　） A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同 B．简谐运动的周期为2s C．第3s末振子的位移为 D．时，振子的加速度方向发生变化 【例3】用余弦函数描述简谐运动，已知振幅为A，周期为T，初相φ＝－π，则振动曲线为下图中的(　　) 【例4】（多选）有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是（　　） A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是 【例5】一弹簧振子做简谐运动，周期为，下列叙述正确的是（　　） A．若，则时刻和时刻的速度一定相同 B．若，则时刻和时刻弹簧长度一定相等 C．若时刻和时刻的动能相等，则一定等于的整数倍 D．若时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，则一定等于的整数倍 【例6】两个简谐运动图线如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．A的相位超前B的相位 B．A的相位落后B的相位 C．A的相位超前B的相位π D．A的相位落后B的相位π 类型4 路程的计算 【例1】一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是（　　） A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同 B．经过，质点的路程等于 C．经过，质点的路程不可能大于A D．经过时，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等 【例2】如图所示，在水平光滑杆上的一弹簧振子沿x轴在A、B两点之间做简谐运动，A、B两点之间的距离为，某时刻振子沿x轴负方向经过C点。之后第二次经过D点，已知振子经过C，D两点时的速度大小均为v，C、D两点之间的距离为，下列说法不正确的是（    ） A．振子做简谐运动的周期为 B．振子在任何四分之一个周期内运动的路程最大值为 C．振子在任何四分之一个周期内运动的路程最小值为 D．振子在任何半个周期内运动的路程一定为 【例3】一个在轴方向做简谐运动的质点其部分振动图像如图所示，振动周期为，则该质点在0到时间内走过的路程为（　　） A． B． C． D． 类型5 振幅的计算 【例1】如图所示，劲度系数为的弹簧上端固定一质量为的小球，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，重力加速度为，求： （1）小球振动到最低点时的加速度的大小和方向； （2）小球做简谐运动的振幅。 【例2】如图所示，质量均为m的物块甲、乙静止于倾角的固定光滑斜面上，二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。缓慢使甲压缩弹簧到某位置后撤去外力，此后甲在斜面上做简谐运动，乙恰好不能脱离挡板。弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，则甲的振幅为（    ） A． B． C． D． 类型6 弹簧振子的动力学、能量特征分析 【例1】(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　　) A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C.物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D.若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 【例2】如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（　　） A．A向下运动到y=5cm后保持静止 B．存在某一时刻A与B会分离 C．A最大能运动到y=20cm处 D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值 【例3】如图所示，质量均为的两物体AB用劲度系数为的轻质弹簧拴接，物体C叠放在物体B上，系统处于静止状态。现将C瞬间取走，物体A恰好不离开地面。已知弹性势能的表达式为，其中为弹簧的形变量，重力加速度为。以下说法正确的是（　　） A．物体C的质量为 B．物体B运动到最高点时的加速度大小为 C．物体B的最大速度大小为 D．物体B上升的最大高度为 【例4】（多选）如图所示，水平地面上竖直放置着用轻质弹簧拴接的物块A，B，弹簧劲度系数为，A的质量为。质量也为的物块C从距A高度为处由静止释放，与A碰撞后粘在一起，之后它们运动到最高点时，B与地面间的弹力恰好减小为0。已知弹簧的弹性势能为（为弹簧的形变量），质量为的弹簧振子的振动周期为，重力加速度为，不计碰撞时间及空气阻力，弹簧足够长且弹力始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为 B．物块A、C粘在一起后做简谐运动的振幅为 C．A、C碰撞后，第一次运动至最低点的时间为 D．A、C运动到最低点时，地面对B的支持力大小为 题型三 单摆 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 【例1】单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【例2】(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　　) A．将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大 B．单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的 C．将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小 D．当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大 【例3】惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是（　　） A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 【例1】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin（2πt）cm B．单摆的摆长约为2.0m C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐减小 D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 【例2】（多选）图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为 B．单摆摆长为 C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变 【例3】如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（  ） A．该沙摆的周期为3s B．该沙摆的摆长约为2m C．由图乙可知，木板被匀加速拉出 D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为17.5m/s 【例4】如图，甲、乙两个单摆的悬点在同一水平天花板上，两摆球拉到同一水平高度，并用一根细线水平相连，以水平地板为参考面．平衡时，甲、乙两摆的摆线与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，且θ1>θ2.当细线突然断开后，两摆球都做简谐运动，则(　　) A．甲、乙两摆的周期相等 B．甲、乙两摆的振幅相等 C．甲摆球的机械能小于乙摆球的机械能 D．甲摆球的最大速度小于乙摆球的最大速度 类型3 圆弧摆和圆锥摆 【例1】如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长10 cm.现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别是t1和t2，那么(　　) A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2 C．v1＝v2，t1＝t2 D．上述三种都有可能 【例2】用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是（    ） A． B． C． D． 类型4 等效摆长 【例1】（多选）如图所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使∠AOB成直角，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(直径可忽略)．下列说法中正确的是(　　) A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π B．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝π C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π D．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝2π 【例2】如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为，O点正下方处有一铁钉。重力加速度为g，不计空气阻力，将小球拉至A处无初速度释放（摆角很小），这个摆的周期为（　　） A． B． C． D． 类型5 等效重力加速度 【例1】如图所示，在一倾角为的光滑绝缘斜面上，将一长为L的细线（不可伸长）一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球静止时在O点。将小球拉开一很小的倾角后由静止释放，小球的运动可视为单摆运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆球的摆动周期为 B．摆球刚释放时的回复力大小为 C．摆球经过平衡位置时合力为零 D．摆球摆动过程中，机械能不守恒 【例2】如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　　) (1)　 　(2)　 　(3)　　 　(4) A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4 C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4 【例3】(多选)如图所示，用绝缘细丝线悬挂着的带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则(　　) A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同 B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同 C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力不相同 D．磁场对摆的周期无影响 E．撤去磁场后，小球摆动周期变大 【例4】如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当。于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为 C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ 题型三 受迫振动 类型1 阻尼振动 【例1】做阻尼运动的弹簧振子，它的（　　） A．周期越来越小 B．位移越来越小 C．振幅越来越小 D．机械能保持不变 【例2】如图是某单摆做阻尼振动的部分位移—时间图像，则摆球在、时刻，相同的物理量是（　　） A．机械能 B．加速度 C．动量 D．重力势能 类型2 受迫振动概念及规律的理解应用 【例1】如图所示。曲轴上挂一个弹簧振子。转动摇把时。曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让弹簧振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把的转速为240r/min，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的振幅与转速无关 B．弹簧振子稳定振动时的频率是4Hz C．当转动摇把的转速增大时，弹簧振子的振幅增大 D．当摇把转动的频率减小到接近2Hz时，弹簧振子的振幅减小 【例2】(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则(　　) A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 类型3 共振曲线的应用 【例1】（多选）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　　) A．此单摆的固有周期约为2 s B．此单摆的摆长约为1 m C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 【例2】（多选）同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0 B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0 C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同 D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0 类型4 “驱动摆”的分析 【例1】（多选）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=T<T B．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大 C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0 D．a摆的摆长为 【例2】单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（  ） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s 题型四 利用匀速圆周运动研究简谐振动 【例1】如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为，从B与A连线扫过开始计时，则P做简谐运动的表达式为（　　）    A． B． C． D． 【例2】如图所示小球挂在轻质弹簧下端在上下振动，小球B在竖直平面内以为圆心做匀速圆周运动，用水平平行光照射小球B，可以观察到小球B的投影总和小球重合，已知小球的质量为，小球B做圆周运动半径为，角速度为，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数 B．小球和小球B的运动周期不相等 C．小球在最低点的回复力大小为 D．小球做简谐运动的加速度最大值为 题型五 其它常见简谐振动 类型1 双弹簧振子 【例1】质量为m的小球被劲度系数分别是k1和k2的轻弹簧拴住，置于光滑水平面上，如图所示，此时两个弹簧均处于原长状态，记为位置O。 (1)证明：若将小球在水平方向上拉离位置O再释放，小球将做简谐运动。 (2)已知简谐运动的周期是：，其中k是回复力与位移的比例系数。求出此弹簧振子的周期。 (3)定义：振动物体出现在某区域的时间△t与观察时间t的比值，为振动物体在该区域出现的概率。那么在小球的振动过程中，当观察时间为振动周期的整数倍时，求：小球出现在位置O与右侧0．5A(A为振幅)的区域内的概率P。 类型2 流体中的简谐振动 【例1】如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。 【例2】某人在钓鱼时所用的鱼漂由一横截面积为S的均匀塑料直管制成，如图所示，O为鱼漂的中点，A、B两点到O点的距离均为鱼漂总长的，鱼钩、鱼饵、鱼线和鱼漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐。某次由于鱼咬钩将鱼漂竖直向下拉至A点与水面平齐后由静止释放，不计鱼钩、鱼饵和鱼线的体积，不计水的阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．在鱼漂上升的过程中，其加速度一直减小 B．鱼放开鱼钩的瞬间，鱼漂的加速度大小为 C．鱼漂上升到最高点时，的中点恰好在水面上 D．的中点经过水面时，鱼漂的速度最大 类型3 库仑力作用下的简谐振动 【例1】（多选）如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点由静止释放，那么下列说法正确的是（　　） A．小球仍然做简谐运动 B．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置 C．小球从B运动到A的过程中，动能一定先增大后减小 D．小球从B点运动到A点，其动能的增加量一定等于电势能的减少量 类型4 引力摆球 【例1】如图所示，假设沿地球直径凿通一条隧道，把一小球从地面S点静止释放，小球在隧道内受到地球引力与它离开O点的位移成正比，方向始终指向O点。则小球（　　） A．做匀变速直线运动 B．可从隧道另一端飞出 C．从S到O与从O到S的时间相等 D．在O点时受到的万有引力最大 【例2】已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示，在地球北纬60°的A处凿开一个穿过地轴的直线隧道，直通北纬60°的B处，假设隧道光滑，现将一个质量为m的物体在A处无初速度释放，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转。下列说法正确的是（　　） A．物体在隧道内做匀变速直线运动 B．刚释放时物体的加速度大小为 C．物体在隧道内的最大速度为 D．物体从A点运动到B点的时间为 类型5 类简谐振动 【例1】如图所示，一列总质量为m（视为质量分布均匀），长为L的火车，从光滑水平面以初速度v0沿光滑斜面上滑，若斜面光滑，则当火车完全运动到斜面上时速度刚好减为0，已知斜面倾角，忽略水平面与斜面连接处损失的能量，火车同一时刻各部分速度大小均相同，以水平地面为零势能面，重力加速度为g，则该过程中（　　） A．火车的初速度 B．若斜面上的车厢长度为x（x <L），则此时火车的重力势能 C．若斜面上的车厢长度为x（x <L），则此时火车的速度 D．火车上升过程的总时间 【例2】（多选）如图，光滑的竖直墙面上A处和B处各有一个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l，有一轻质弹性绳，原长为l，劲度系数为k，一端由A处钉固定，另一端系有一质量为的小球，其中g为重力加速度，B处钉恰好处于弹性绳下面，钉子和小球都可视为质点，现将小球水平向右拉伸到与A处钉距离为2l的C点，将小球由静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．小球在水平和竖直两个方向的分运动均为简谐运动 B．小球将与B处钉发生碰撞 C．小球的运动轨迹为一条直线 D．当小球第一次运动至B处钉的正下方时，其速度方向水平向左 【例3】（多选）我国自主研发的"海能-3号"波浪发电装置在南海海域成功运行。下图为时刻沿轴正方向传播的海水波的图像。圆柱形浮子定位在处的波面上，随波浪做简谐运动，此时质点的速率为，浮子上端固定连接匝的圆形线圈，线圈半径，线圈在磁感应强度的辐向稳定磁场中垂直切割磁感线运动，发电系统通过匝数比的理想变压器接入的纯电阻负载，磁铁、变压器、纯电阻负载等固定，下列判断正确的是（　　） A．t=0时刻浮杆正随海水向下振动 B．t=0时刻发电机产生的电动势为 C．变压器副线圈输出电压的峰值为 D．负载消耗的功率为 类型6 弹簧弹力分量式 【例1】（多选）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 题型六 实验 类型1 用单摆测重力加速度 【例1】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。    （1）为了减少测量误差，下列做法正确的是 A．摆的振幅越大越好 B．摆球质量大些、体积小些 C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些 D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处 （2）用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为 cm；把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L；然后用停表记录了单摆完成60次全振动所用的时间如图乙所示，该单摆的周期是T= s（结果保留三位有效数字）。      （3）实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，画出T2-L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是 。 A．g            B．            C．                D． 【例2】在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题: （1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的____________。 A．最高点 B．最低点 C．任意位置 （2）该单摆的周期为 ，重力加速度 （用题干中字母表示）。 （3）如果测得的值偏小，可能的原因是____________。 A．实验时误将49次全振动记为50次 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 （4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。 机械振动 题型一 简谐运动的基本特征 类型1 简谐运动的受力特点 【例1】如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A．   B．   C．   D．  【答案】C 【解析】物体在跟位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下振动，叫简谐运动。选项C的图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动。 故选C。 【例2】关于简谐运动的回复力的含义，下列说法正确的是（　　） A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度 B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移 C．根据，可以认为k与F成正比 D．表达式中的“”号表示F始终阻碍物体的运动 B 【详解】A B．回复力是所有简谐运动都必须满足的关系式，其中F是回复力，k是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，A错误，B正确； C．k是回复力跟位移的比值（即公式中的比例关系），与F无关，C错误； D．“”号表示F始终与物体位移方向相反，有时使物体加速，有时阻碍物体的运动，D错误。 故选B。 类型2 简谐运动的运动特点 【例1】如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为振子静止的位置，其振动图象如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题： (1)在t＝0时刻，振子所处的位置为________，正在向________(选填“左”或“右”)方向运动． (2)A、B两点间的距离为________cm. (3)在乙图中，振子在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是________、________和________． (4)在t＝2 s时，振子速度的方向与t＝0时速度的方向________． (5)质点在前4 s内的位移等于________cm，其路程为________cm. 【解析】 (1)由振动图象知，t＝0时，x＝0，表示振子位于平衡位置，即O点，在0～1 s内，振动位移x＞0，且逐渐增大，表示t＝0时，振子沿正方向运动，即向右运动． (2)由图象知，振子离开平衡位置的最大距离为3 cm，则AB＝6 cm. (3)t＝1 s时，x＝3 cm，振子位于B位置；在t＝2 s时，x＝0，振子位于平衡位置O点；在t＝3 s时，x＝－3 cm，振子位于A位置． (4)在t＝2 s时，x­t图象的斜率为负，表示向负方向运动，即向左运动，与t＝0时速度的方向相反． (5)在t＝4 s时，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程为s＝3cm×4＝12 cm. 【答案】 (1)O点　右　(2)6　(3)B点　O点　A点 (4)相反　(5)0　12 类型3 简谐运动的证明 【例1】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O，求： （1）卫星P做圆周运动的向心力大小； （2）物体做简谐运动时，回复力应满足。试证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）卫星P做圆周运动的向心力大小为 （2）如图 取向右为正方向，则 则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 题型二 弹簧振子 类型1 基本物理量的分析 【例1】(多选)如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确的是 A．振子从A点运动到C点时位移大小为，方向向右 B．振子从C点运动到A点时位移大小为，方向向右 C．振子从A点运动到C点的过程中，速度在增大，加速度在减小 D．振子从A点运动到O点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大 【解析】　振子从A点运动到C点时的位移是以O点为起点，C点为终点，故大小为，方向向右，A正确； 振子从C点运动到A点时位移是以O点为起点，A点为终点，故大小为，方向向右，B错误； 振子的合外力为弹簧的弹力，振子从A点运动到C点的过程和从A点运动到O点的过程中，弹力都在减小，故加速度都在减小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C正确，D错误。 【答案】　AC 【例2】一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是（　　） A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大 C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同 D 【详解】A．若位移为负值，则速度可能为正值也可能为负值，加速度也一定为正值，故A错误； B．振子通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，故B错误； CD．振子每次通过平衡位置时，加速度均为零，所以加速度相同，但速度可能沿正方向达到最大，也可能负方向最大，所以速度大小相等，但其方向不一定相同，故C错误，D正确。 故选D。 【例3】如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距10cm。小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，下列说法正确的是（    ） A．弹簧振子的振幅是10cm B．当振子运动到B时，位移大小是10cm C．弹簧振子的周期是1s D．振子由O运动到B的过程中速度减小 【答案】D 【详解】A．弹簧振子的振幅是OB的距离，即5cm，故A错误； B．当振子运动到B时，位移大小是5cm，故B错误； C．小球经过O点开始计时并向右运动，经过0.5s首次到达B点，则 所以弹簧振子的周期是2s，故C错误； D．振子由O运动到B的过程中位移增大，速度减小，故D正确； 故选D。 【例4】(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时为计时起点，其振动的x－t图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　) A.t2时刻振子在A点 B.t2时刻振子在B点 C.在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D.在t3～t4时间内，振子的位移在减小 【答案】　AC 【解析】振子在A点和B点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运动到A点有正向最大位移，运动到B点有负向最大位移，则t2时刻，振子在A点，t4时刻，振子在B点，故选项A正确，B错误；振子的位移以平衡位置为起点，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故选项C正确，D错误。 类型2 周期性与对称性 【例1】(多选)弹簧振子以O点为平衡位置做简谐振动。从O点起振开始计时，振子第一次到达M点用了0.3秒，又经过0.2秒第二次通过M点，则振子第三次通过M点还要经过的时间可能是（    ） A．秒 B．秒 C．1.4秒 D．1.6秒 【答案】AC 【详解】由题意，共有以下两种情况： ①如图所示 假设振子从O点向x正方向起振，P点为正向最大位移处，M位于O、P之间，则振子从O运动到M所用时间为 根据简谐运动的对称性可知，振子从M到P和P到M的时间相同，均为 设简谐运动的周期为T，则 解得 易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的时间为 ②如图所示 假设振子从O点向x正方向起振，Q点为负向最大位移处，M位于O、Q之间，则振子从M运动到O所用时间为 根据简谐运动的对称性可知，振子从M到Q和Q到M的时间相同，均为 所以 解得 易知振子第二次通过M点再经过一个周期T刚好第四次通过M点，而第三次通过M点之后需要再经过2t才能再次（即第四次）通过M点，因此振子第三次通过M点还要经过的时间为 故选AC。 【例2】（多选）一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。时振子的位移为0.2m，时位移为，则（　　） A．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 B．若振幅为0.2m，振子的周期可能为 C．若振幅为0.4m，振子的周期可能为4s D．若振幅为0.4m，振子的周期可能为6s 【答案】AD 【详解】AB．若振幅为0.2m，则 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 当时 当时 当时 …… 故周期可能为,不可能是，A正确，B错误； C．若振幅为0.4m，则可能 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 或者 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 或者 （n=0，1，2，3…） 解得 （n=0，1，2，3…） 故当时 或或 当时 或或 当时 或或 …… 故周期可能为6s，不可能为4s，C错误，D正确。 故选AD。 类型3 简谐运动的表达式和图像 【例1】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑的水平面上的A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子，振动周期为1.6s，振幅为24cm B．0.5s末和1.1s末，振子的速度相同 C．在时间内，振子的速度和加速度方向始终相反 D．振子做简谐运动的表达式为 【答案】C 【详解】AD．由题图可知，振子的周期为1.6s，振幅为12cm，则有 设振子做简谐运动的表达式为 解得 故AD错误； B．由图可知，0.5s末振子从平衡位置向最大位移处运动，1.1s末振子从最大位移处向平衡位置运动，所以振子在这两个时刻的速度方向不相同，故B错误； C．由图可知，在时间内弹簧振子从平衡位置移动到最大位移处，该过程中，弹簧振子做减速运动，即振子的速度和加速度方向始终相反，故C正确。 故选C。 【例2】某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为，下列说法正确的是（　　） A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同 B．简谐运动的周期为2s C．第3s末振子的位移为 D．时，振子的加速度方向发生变化 【答案】D 【解析】AC．弹簧振子在第1s末与第3s末的位移分别为 弹簧振子在第1s末与第3s末相对平衡位置的位移不相同，弹簧振子不在同一位置，弹簧的长度不相同，AC错误； B．根据题意得 解得 B错误； D．时，弹簧振子的位移为 时，振子的位移等于零，表明振子在平衡位置处，加速度方向发生变化，D正确。 故选D。 【例3】用余弦函数描述一简谐运动，已知振幅为A，周期为T，初相φ＝－π，则振动曲线为下图中的哪一个(　　) 【解析】　根据题意可以写出振动表达式为x＝Acos(t－)，故选A项． 【答案】　A 【例4】（多选）有两个弹簧振子1和2做简谐运动：和，下列说法中正确的是（　　） A．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率不同 B．两个弹簧振子1和2的振幅不同，频率相同 C．弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是 D．弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是 【答案】BD 【详解】AB．1的振幅为3a，2的振幅为9a，所以两个弹簧振子1和2的振幅不同；1的频率为 2的频率为 所以两个弹簧振子1和2的频率相同，故A错误，B正确； CD．从公式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是，故C错误；D正确。 故选BD。 【例5】一弹簧振子做简谐运动，周期为，下列叙述正确的是（　　） A．若，则时刻和时刻的速度一定相同 B．若，则时刻和时刻弹簧长度一定相等 C．若时刻和时刻的动能相等，则一定等于的整数倍 D．若时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，则一定等于的整数倍 【答案】A 【解析】A．经过，则时刻和时刻，即相差一个周期的两个时刻振子的速度一定相同，选项A正确； B．若，质点位移大小相等，方向相反，但弹簧的长度不一定相等，选项B错误； C．当质点经过同一位置或关于平衡位置对称位置时，动能相等，不一定等于的整数倍，选项C错误； D．时刻和时刻的位移大小相等，方向相同，表示质点通过同一位置，但不一定等于的整数倍，选项D错误。 故选A。 【例6】两个简谐运动图线如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．A的相位超前B的相位 B．A的相位落后B的相位 C．A的相位超前B的相位π D．A的相位落后B的相位π B 【详解】A、B简谐运动的表达式分别为 所以 则B的相位比A的相位超前，也就是说A的相位比B的相位落后 故选B。 类型4 路程的计算 【例1】一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。P为运动轨迹上的一点，P点与O、B、C三点均不重合，从质点经过P点时开始计时，下列说法正确的是（　　） A．经过时，质点的速度与经过P点时的速度相同 B．经过，质点的路程等于 C．经过，质点的路程不可能大于A D．经过时，质点的瞬时速度不可能与经过P点时相等 【答案】B 【解析】A．根据振动的周期性可知，经过半个周期后，质点速度方向一定与开始时速度的方向相反，故A错误； B．根据振动的周期性可知，经过半个周期质点的路程等于2A，故B正确； C．质点在平衡位置附近的速度较大，而在最大位移附近的速度较小，所以若质点从P点开始时运动的方向指向平衡位置，则质点在内的路程要大于A；若质点从P点开始时运动的方向远离平衡位置，则质点子在内的路程要小于A，故C错误； D．若质点开始时向平衡位置运动，经过时，若质点到达与P对称的位置，则质点的瞬时速度与经过P时的瞬时速度是相等的，故D错误。 故选B。 【例2】如图所示，在水平光滑杆上的一弹簧振子沿x轴在A、B两点之间做简谐运动，A、B两点之间的距离为，某时刻振子沿x轴负方向经过C点。之后第二次经过D点，已知振子经过C，D两点时的速度大小均为v，C、D两点之间的距离为，下列说法不正确的是（    ） A．振子做简谐运动的周期为 B．振子在任何四分之一个周期内运动的路程最大值为 C．振子在任何四分之一个周期内运动的路程最小值为 D．振子在任何半个周期内运动的路程一定为 C 【详解】A．由题意可知某时刻振子沿x轴负方向经过C点，之后第二次经过D点，可知 周期 T=4s 选项A正确； B．振子的振幅为A=8cm振子在平衡位置附近的速度最大，则振子在平衡位置前后各振动的四分之一个周期内运动的路程最大，最大路程为 选项B正确； C．同理，振子在波峰（或波谷）前后振动的四分之一个周期内运动的路程最小，最小路程为 选项C错误； D．振子在任何半个周期内运动的路程一定为，选项D正确。 此题选择不正确的，故选C。 【例3】一个在轴方向做简谐运动的质点其部分振动图像如图所示，振动周期为，则该质点在0到时间内走过的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设质点振动方程为 当时 解得 时 的路程 故选C。 类型5 振幅的计算 【例1】如图所示，劲度系数为的弹簧上端固定一质量为的小球，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，重力加速度为，求： （1）小球振动到最低点时的加速度的大小和方向； （2）小球做简谐运动的振幅。 【答案】（1），竖直向上 （2） 【解析】（1）根据题意，在最高点由牛顿第二定律有 解得 由简谐运动的对称性可知，小球振动到最低点时的加速度的大小为，方向竖直向上。 （2）小球做简谐运动，由重力和弹簧的弹力提供回复力，在平衡位置则有 解得 则有小球做简谐运动的振幅为 【例2】如图所示，质量均为m的物块甲、乙静止于倾角的固定光滑斜面上，二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。缓慢使甲压缩弹簧到某位置后撤去外力，此后甲在斜面上做简谐运动，乙恰好不能脱离挡板。弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，则甲的振幅为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】甲在平衡位置时弹簧的压缩量为 甲在最高点时弹簧伸长量 则甲的振幅 故选B。 类型6 弹簧振子的动力学、能量特征分析 【例1】(多选)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法正确的是(　　) A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供 B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C.物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k D.若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为 【答案】　ACD 【解析】　物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确； A、B 间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。 【例2】如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（　　） A．A向下运动到y=5cm后保持静止 B．存在某一时刻A与B会分离 C．A最大能运动到y=20cm处 D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值 【答案】D 【解析】A．静止时A在y=0cm处，令此时弹簧压缩量为，则有 解得 放上B后，令对平衡位置的位移大小为，A、B在平衡位置的压缩量为，则有 ， 解得 回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向相反，可知，放上B后，B与A一起开始向下做简谐运动，根据对称性可知，A、B先向下做加速度减小的加速运动，后向下做加速度增大的减速运动，减速至0后，又向上做做加速度减小的加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，减速至0后回到出发点，之后，重复先前的运动过程，根据上述可以解得 根据简谐运动的对称性可知，振幅为 可知，A、B向下运动到两倍的振幅位置，即y=10cm到达最低点，但不能够保持静止，故A错误； B．结合上述可知，B与A一起保持相对静止做简谐运动，两者不会发生分离，故B错误； C．结合上述可知，A最大能运动到y=10cm处，故C错误； D．结合上述可知，当A运动到y=5cm处时，恰好处于平衡位置，此时速度最大，A的动能达到最大值，故D正确。 故选D。 【例3】如图所示，质量均为的两物体AB用劲度系数为的轻质弹簧拴接，物体C叠放在物体B上，系统处于静止状态。现将C瞬间取走，物体A恰好不离开地面。已知弹性势能的表达式为，其中为弹簧的形变量，重力加速度为。以下说法正确的是（　　） A．物体C的质量为 B．物体B运动到最高点时的加速度大小为 C．物体B的最大速度大小为 D．物体B上升的最大高度为 C 【详解】A．C物体叠加在B物体上面静止时，由二力平衡 kx1=（m+mC）g 拿走C物体后，B物体在弹簧上做简谐运动，其在平衡位置时，弹簧压缩长度为x0，由胡克定律得 kx0=mg 其振幅为 A=x1-x0 当B物体上升到最高点，此时弹簧拉伸长度最长，由于物体A恰好不离开地面，由二力平衡得 kx2=mg 所以由振幅相等 A=x2+x0=x1-x0 解得物体C的质量为 mC=2m 故A错误； B．B物体在最高点受重力和弹簧弹力，由于物体A恰好不离开地面，由平衡条件得 F弹=mg B物体在最高点的加速度为a，由牛顿第二定律可得 故B错误； CD．物体B上升的最大高度为 当B物体经过平衡位置的时候其速度最大，物体B的最大速度大小为vm，B物体从最高点回落到平衡位置的过程中，B物体与弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得 解得 故C正确，D错误。 故选C。 【例4】（多选）如图所示，水平地面上竖直放置着用轻质弹簧拴接的物块A，B，弹簧劲度系数为，A的质量为。质量也为的物块C从距A高度为处由静止释放，与A碰撞后粘在一起，之后它们运动到最高点时，B与地面间的弹力恰好减小为0。已知弹簧的弹性势能为（为弹簧的形变量），质量为的弹簧振子的振动周期为，重力加速度为，不计碰撞时间及空气阻力，弹簧足够长且弹力始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为 B．物块A、C粘在一起后做简谐运动的振幅为 C．A、C碰撞后，第一次运动至最低点的时间为 D．A、C运动到最低点时，地面对B的支持力大小为 AD 【详解】AB．C与A碰撞，由动量守恒 对C由动能定理可得 对A受力分析可得 A、C碰后一起运动的过程中，系统机械能守恒，在平衡位置时 A、C在最高点时，此时对B受力分析可得 此时弹簧被拉长，弹簧振子的振幅为 A、C运动到最高点的过程中，根据机械能守恒可得 联立解得，， 故A正确，B错误； D．A、C运动到最低点时，弹簧压缩量为 弹簧弹力为 对B受力分析可得 得，故D正确； C．A、C碰后，位移从，则第一次运动到最低点的时间小于，弹簧振子的振动周期 则其时间 故C错误。 故选AD。 题型三 单摆 类型1 单摆的受力特征及周期公式的应用 【例1】单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【答案】C 【解析】A．由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误； B．由单摆做简谐运动的周期公式 即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误； C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确； D．单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简简谐运动的规律，故D错误。 故选C。 【例2】(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　　) A．将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大 B．单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的 C．将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小 D．当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大 【答案】ABD 【解析】将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2π可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期公式是由惠更斯总结得出的，选项B正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项C错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项D正确． 【例3】惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是（　　） A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 【答案】A 【解析】A．根据周期公式 当摆钟不准确时，则需要调整摆长，即调整圆盘的位置，故A正确； B．摆钟快了，周期小，则需将摆长增加，增大周期，故B错误； C．由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移调节，故C错误； D．摆钟从福建移到北京，加速度增大，则需将摆长增加，应需要沿摆上移，故D错误。 故选A。 类型2 单摆的振动图像及运动学特征 【例1】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin（2πt）cm B．单摆的摆长约为2.0m C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐减小 D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 【答案】C 【详解】A．根据图乙可知单摆的周期、振幅分别为 T=2s，A=8cm 则圆频率 单摆从平衡位置开始的位移x随时间t变化的关系式为 x=Asinωt=8sin（πt）cm 故A错误； B．根据单摆的周期公式 结合上述解得 L=1.0m 故B正确； C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，故C正确； D．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的位移减小，回复力减小，故D错误。 故选C。 【例2】图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的图像，其中F的最大值，已知摆球质量，重力加速度取，取，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．单摆周期为 B．单摆摆长为 C．F的最小值 D．若仅将摆球质量变为，单摆周期不变 【答案】CD 【详解】A．由图可知，单摆周期为，选项A错误； B．根据 可得 单摆摆长为0.64m，选项B错误； C．摆到最低点时 可得 则F最小值 选项C正确； D．单摆周期与摆球的质量无关，若仅将摆球质量变为，单摆周期不变，选项D正确。 故选CD。 【例3】如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（  ） A．该沙摆的周期为3s B．该沙摆的摆长约为2m C．由图乙可知，木板被匀加速拉出 D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为17.5m/s 【答案】C 【解析】A．由题图乙知 知该沙摆的周期为 T=2s 故A错误； B．沙摆的周期 得 故B错误； C．由题图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差 得 即木板被匀加速拉出，加速度大小为，故C正确； D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有 故D错误。 故选C。 【例4】如图，甲、乙两个单摆的悬点在同一水平天花板上，两摆球拉到同一水平高度，并用一根细线水平相连，以水平地板为参考面．平衡时，甲、乙两摆的摆线与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，且θ1>θ2.当细线突然断开后，两摆球都做简谐运动，则(　　) A．甲、乙两摆的周期相等 B．甲、乙两摆的振幅相等 C．甲摆球的机械能小于乙摆球的机械能 D．甲摆球的最大速度小于乙摆球的最大速度 【解析】　根据几何关系可知，甲的摆长大于乙的摆长，甲的摆角大于乙的摆角，所以甲的振幅大于乙的振幅，根据T＝2π知，甲摆的周期大于乙摆的周期，故A、B错误； 两球开始处于平衡状态，设两球中间的细线的拉力大小为FT，根据共点力平衡知，m甲g＝，m乙g＝，则m甲<m乙，在摆动的过程中，机械能守恒，以水平地板为参考面，则甲摆球的机械能小于乙摆球的机械能，故C正确； 根据动能定理，因为甲球下降的高度大，则甲摆球的最大速度大于乙摆球的最大速度，故D错误． 【答案】 C 类型3 圆弧摆和圆锥摆 【例1】如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长10 cm.现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，所经历的时间分别是t1和t2，那么(　　) A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2 C．v1＝v2，t1＝t2 D．上述三种都有可能 【解析】　因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度的单摆振动，即做简谐运动，其等效摆长为2 m，单摆周期与振幅无关，因此t1＝t2，又由于小球运动过程中机械能守恒，有mgh＝mv2，解得v＝，知v1＞v2. 【答案】 B 【例2】用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设摆线长度为l，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，由单摆周期公式可得 小球做圆锥摆运动时，设摆线与竖直方向夹角为，高度为h，小球质量为m，圆周半径为R，则有 解得 由此综合可得 故选D。 类型4 等效摆长 【例1】（多选）如图所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使∠AOB成直角，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(直径可忽略)．下列说法中正确的是(　　) A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π B．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝π C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π D．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝2π 【解析】　如果小球在纸面内摆动，以O点为悬点摆动，其摆长为L，周期T＝2π，故A选项正确；如果小球在垂直纸面内摆动，小球以O′为悬点摆动，如图所示． 等效摆长L′＝L＋OO′＝L＋AO·sin30°＝L＋ABcos30°·sin30°＝L 故T′＝2π＝π，故B选项正确． 【答案】　AB 【例2】如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为，O点正下方处有一铁钉。重力加速度为g，不计空气阻力，将小球拉至A处无初速度释放（摆角很小），这个摆的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，根据单摆周期公式，有 则这个摆的周期为 故选A。 类型5 等效重力加速度 【例1】如图所示，在一倾角为的光滑绝缘斜面上，将一长为L的细线（不可伸长）一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球静止时在O点。将小球拉开一很小的倾角后由静止释放，小球的运动可视为单摆运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆球的摆动周期为 B．摆球刚释放时的回复力大小为 C．摆球经过平衡位置时合力为零 D．摆球摆动过程中，机械能不守恒 【答案】B 【解析】A．根据题意，小球做单摆运动的等效重力加速度为 所以 故A错误； B．摆球刚释放时的回复力大小为 故B正确； C．摆球经过平衡位置时具有向心加速度，即沿绳方向合力不为零，故合力不为零，故C错误； D．摆球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，故D错误。 故选B。 【例2】如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　　) (1)　 　(2)　 　(3)　　 　(4) A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4 C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T4 【解析】　题图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g1＝gsin θ； 题图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力； 题图(3)为标准单摆； 题图(4)中摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g4＝g＋a.由单摆振动的周期公式T＝2π，知T1＞T2＝T3＞T4，选项C正确． 【答案】 C 【例3】(多选)如图所示，用绝缘细丝线悬挂着的带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则(　　) A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同 B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同 C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力不相同 D．磁场对摆的周期无影响 E．撤去磁场后，小球摆动周期变大 【解析】 小球在磁场中运动时，由于洛伦兹力不做功，所以机械能守恒．运动到最低点，球的速度大小相同，但方向可能不同，A项正确，B项错误； 小球从左、右两方向通过最低点时，向心力相同，洛伦兹力方向相反，所以拉力不同，C项正确； 由于洛伦兹力不提供回复力，因此有无磁场，不影响振动周期，D项正确，E项错误． 【答案】 ACD 【例4】如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当。于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为 C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ 【答案】D 【解析】根据题图可知等效重力加速度沿斜面向下，则等效重力加速度为 单摆的等效摆长为杆长。 故选D。 题型三 受迫振动 类型1 阻尼振动 【例1】做阻尼运动的弹簧振子，它的（　　） A．周期越来越小 B．位移越来越小 C．振幅越来越小 D．机械能保持不变 C 【详解】A．弹簧振子的周期和频率是由它本身的性质决定的，即使做阻尼振动，周期和频率也不变，故A错误； BC．由题意可知，弹簧振子做阻尼运动，即振子振动的幅度逐渐减小，但不能说弹簧振子的位移越来越小，故B错误，C正确； D．根据能量守恒定律可知，由于阻力做负功，所以机械能越来越小，故D错误。 故选C。 【例2】如图是某单摆做阻尼振动的部分位移—时间图像，则摆球在、时刻，相同的物理量是（　　） A．机械能 B．加速度 C．动量 D．重力势能 【答案】D 【解析】A．由于有阻力做功，摆球的机械能不断减小，故A项错误； C．由于有阻力做功，摆球在P时刻的动能大于N时刻的动能，由于同一个摆球，所以其在P时刻的速度大于N时刻的速度。即P时刻动量大于N时刻的动量，故C项错误； B．由数学知识可知，对位移与时间关系式求二阶导为加速度，结合题图可知，在两个位置摆球的加速度不同，故B项错误。 D．由于摆球在P时刻和N时刻的位移大小相同在同一高度，有 所以摆球的重力势能相同，故D项正确。 故选D。 类型2 受迫振动概念及规律的理解应用 【例1】如图所示。曲轴上挂一个弹簧振子。转动摇把时。曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让弹簧振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把的转速为240r/min，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子的振幅与转速无关 B．弹簧振子稳定振动时的频率是4Hz C．当转动摇把的转速增大时，弹簧振子的振幅增大 D．当摇把转动的频率减小到接近2Hz时，弹簧振子的振幅减小 【答案】B 【解析】AD．由题意可知，弹簧振子的固有频率为 驱动频率越接近固有频率，弹簧振子的振幅越大，故AD错误； B．摇把匀速转动时的频率 当弹簧振子稳定振动时，它的振动频率与驱动力的频率相等，即弹簧振子稳定振动时的频率是4Hz，故B正确； C．当转动摇把的转速增大时，弹簧振子的频率变大，远离固有频率，则弹簧振子的振幅减小，故C错误。 故选B。 【例2】(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示．则(　　) A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同 B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大 C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同 D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同 【答案】　AD 【解析】　根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确； 当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确． 类型3 共振曲线的应用 【例1】（多选）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则(　　) A．此单摆的固有周期约为2 s B．此单摆的摆长约为1 m C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 【答案】　ABD 【解析】由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2π，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动。故选项A、B、D正确。 【例2】同一地点，甲、乙单摆在驱动力作用下振动，其振幅A随驱动力频率f变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率大于f0 B．若驱动力的频率为f0，乙单摆振动的频率等于f0 C．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的振幅相同 D．若驱动力的频率为3f0，甲、乙单摆振动的频率均为3f0 【答案】BD 【详解】ABD．当物体做受迫振动时，物体振动的频率等于驱动力的频率，故A错误，BD正确； C．受迫振动物体的固有频率与驱动力频率越接近，振幅越大，由图可知，甲的固有频率是f0，乙的固有频率是2f0，若驱动力的频率为3f0，甲单摆振动的振幅小于乙单摆振动的振幅，故C错误。 故选BD。 类型4 “驱动摆”的分析 【例1】（多选）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　） A．a、b、c单摆的固有周期关系为T=T<T B．b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大 C．由图乙可知，此时b摆的周期大于t0 D．a摆的摆长为 【答案】ABD 【详解】A．由于a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长，根据单摆的周期公式可知，固有周期关系为 T=T<T 故A正确； B．因为T=T，所以c摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅较小，故B正确； C．受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故C错误； D．a摆的周期为t0，由，解得 故D正确。 故选ABD。 【例2】单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是（  ） A．若使M振动起来，P不会振动 B．若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2s C．若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大 D．若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3s 【答案】D 【详解】A．若使M振动起来，其他小球也会振动，做受迫振动，A错误； B．受迫振动的周期等于驱动力的周期，B错误； C．若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，C错误； D．O的周期为3s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3s，D正确。 题型四 利用匀速圆周运动研究简谐振动 【例1】如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为，从B与A连线扫过开始计时，则P做简谐运动的表达式为（　　）    A． B． C． D． A 【详解】t时刻转动角度为ωt，总角度为 所以 故选A。 【例2】如图所示小球挂在轻质弹簧下端在上下振动，小球B在竖直平面内以为圆心做匀速圆周运动，用水平平行光照射小球B，可以观察到小球B的投影总和小球重合，已知小球的质量为，小球B做圆周运动半径为，角速度为，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数 B．小球和小球B的运动周期不相等 C．小球在最低点的回复力大小为 D．小球做简谐运动的加速度最大值为 D 【详解】AB．水平平行光照射小球B，可以观察到小球B的投影总和小球重合,说明A与B运动周期相等，由弹簧振子周期公式 可解得 故A、B都错误； C．小球在最低点的回复力大小 小球在最低点的回复力大小为，故C错误； D．小球做简谐运动的加速度最大位置是位移最大处，取最低点处理 可得加速度最大值为，故D正确。 故选D。 题型五 其它常见简谐振动 类型1 双弹簧振子 【例1】质量为m的小球被劲度系数分别是k1和k2的轻弹簧拴住，置于光滑水平面上，如图所示，此时两个弹簧均处于原长状态，记为位置O。 (1)证明：若将小球在水平方向上拉离位置O再释放，小球将做简谐运动。 (2)已知简谐运动的周期是：，其中k是回复力与位移的比例系数。求出此弹簧振子的周期。 (3)定义：振动物体出现在某区域的时间△t与观察时间t的比值，为振动物体在该区域出现的概率。那么在小球的振动过程中，当观察时间为振动周期的整数倍时，求：小球出现在位置O与右侧0．5A(A为振幅)的区域内的概率P。 【解析】 (1)规定向右为正， 因为弹簧串联则有，则有，所以是简谐运动。 (2)由(1)可知，所以 (3)小球在o右侧0．5A处的相位是或，对应的时刻为， 所以，所以 【答案】 (1)见解析；(2)；(3) 类型2 流体中的简谐振动 【例1】如图所示，盛水(密度为ρ1)容器的水面上漂浮着一块质量分布均匀的高为h、底面积为S的长方体木块(密度为ρ2)，浸入水中的深度为a，O为木块质心，现在将木块相对于原来静止的位置轻轻按下距离A(木块没有完全浸没)，木块就在水面上下振动(木块始终没有离开水面)，不考虑任何阻力，重力加速度为g，试证明木块做简谐运动。 【答案】　见解析 【解析】　木块的平衡位置就在原来静止的位置，木块漂浮(静止)时，由平衡条件可得 G＝F浮，即ρ2ghS＝ρ1gSa 现在以木块振动到平衡位置下方情形为例来证明，设木块振动到平衡位置下方x时(x≤A)，其偏离平衡位置的位移大小为x，所受到的浮力变为 F浮′＝ρ1gS 回复力大小为 F回＝F浮′－G＝ρ1gS－ρ2ghS 解得F回＝ρ1gSx 显然回复力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，同理可证，木块振动到平衡位置上方时回复力大小与偏离平衡位置的位移大小也成正比，分析木块在平衡位置上方和下方时的回复力方向可知，回复力恒指向平衡位置，与位移的方向相反，所以木块做简谐运动。 【例2】某人在钓鱼时所用的鱼漂由一横截面积为S的均匀塑料直管制成，如图所示，O为鱼漂的中点，A、B两点到O点的距离均为鱼漂总长的，鱼钩、鱼饵、鱼线和鱼漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐。某次由于鱼咬钩将鱼漂竖直向下拉至A点与水面平齐后由静止释放，不计鱼钩、鱼饵和鱼线的体积，不计水的阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．在鱼漂上升的过程中，其加速度一直减小 B．鱼放开鱼钩的瞬间，鱼漂的加速度大小为 C．鱼漂上升到最高点时，的中点恰好在水面上 D．的中点经过水面时，鱼漂的速度最大 B 【详解】B．鱼漂平衡时，浮力与重力平衡 鱼放开鱼钩的瞬间，由牛顿第二定律 解得鱼漂的加速度大小为 故B正确； ACD．以鱼漂平衡时中点所在的水面位置为坐标原点，竖直向下为x轴正方向，建立坐标系。鱼放开鱼钩后，当鱼漂相对平衡位置的位移为x时，所受合力为 可得 由于是定值，可知浮漂做简谐运动，振幅为 由简谐运动规律可知，从最低点到平衡位置的过程中加速度减小，速度增大，到平衡位置时，加速度为0，速度最大，此时鱼漂的中点O恰好在水面上；从平衡位置到最高点的过程中，加速度增大，速度减小，相对平衡位置的位移为时，速度减为0，上升到最高点，此时B点恰好在水面上，故ACD错误。 故选B。 类型3 库仑力作用下的简谐振动 【例1】（多选）如图所示，把能在绝缘光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子放在水平向右的匀强电场中，小球在O点时，弹簧处于原长，A、B为关于O对称的两个位置，现在使小球带上负电，并让小球从B点由静止释放，那么下列说法正确的是（　　） A．小球仍然做简谐运动 B．小球仍然能在A、B间做简谐运动，O点是其平衡位置 C．小球从B运动到A的过程中，动能一定先增大后减小 D．小球从B点运动到A点，其动能的增加量一定等于电势能的减少量 AD 【分析】对小球受力分析，求出小球受到的合外力表达式，根据简谐运动的条件，分析小球是否能做简谐运动，再根据功能关系明确能量转化的情况。 【详解】A．小球在匀强电场中受到水平向左的电场力，设电场力大小为F0，小球合力为零的位置应该在O点左侧，设为O1，假设O1、O之间的距离为x0，弹簧的劲度系数为k，则有 取水平向右为正方向，当小球从O1向右运动x时，回复力 所以小球会以O1点为平衡位置做简谐运动，故A正确； B．小球在平衡位置时合外力为零，由于小球受到的电场力向左，所以小球的平衡位置在O点的左侧，振幅增大，将不在A、B间做简谐运动，故B错误； C．由于电场强度的大小未知，不能确定小球的平衡位置，所以不能确定小球从B到A过程中动能如何变化，故C错误； D．小球在运动过程中，动能、弹性势能和电势能之和保持不变，小球从B点运动到A点的过程中，A、B两点的弹性势能相同，由能量守恒知，其动能的增加量一定等于电势能的减小量，故D正确。 故选AD。 类型4 引力摆球 【例1】如图所示，假设沿地球直径凿通一条隧道，把一小球从地面S点静止释放，小球在隧道内受到地球引力与它离开O点的位移成正比，方向始终指向O点。则小球（　　） A．做匀变速直线运动 B．可从隧道另一端飞出 C．从S到O与从O到S的时间相等 D．在O点时受到的万有引力最大 C 【详解】C．设小球距地心距离为x，地球的密度为ρ，小球的质量为m，根据题意，质量均匀的球壳对内部任意质点的万有引力为零，得小球受到的万有引力的合力为 则小球下落过程中所受引力的大小与到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O点为平衡位置做简谐运动，故C正确； AB．根据牛顿第二定律有 F＝ma 可得 可知，当小球下落时，在O点上方时，x越来越小，则a越来越小，到达O点时x＝0，则a＝0，即此时引力为0，引力最小，在O点下方时，x越来越大，则a越来越大，则小球下落过程中，先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB错误； D．由上面的分析可知，小球下落过程中，引力先做正功，再做负功，则小球与地球组成系统的引力势能先减小后增大，故D错误。 故选C。 【例2】已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示，在地球北纬60°的A处凿开一个穿过地轴的直线隧道，直通北纬60°的B处，假设隧道光滑，现将一个质量为m的物体在A处无初速度释放，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，不考虑地球自转。下列说法正确的是（　　） A．物体在隧道内做匀变速直线运动 B．刚释放时物体的加速度大小为 C．物体在隧道内的最大速度为 D．物体从A点运动到B点的时间为 B 【详解】A．如图所示 设地球密度为ρ，在地球表面有 所以 设物体运动过程中距离地心为r，则 所以 设物体运动过程中与地心的连线与OC的夹角为θ，物体到C点的距离为x，则 则 所以物体所受万有引力沿隧道方向的分力为 即F与x成正比，小球在隧道内做简谐运动，故A错误； B．刚释放时物体所受万有引力沿隧道方向的分力大小为 故物体的加速度大小为 故B正确； C．由以上分析可知，当物体运动到C点时，加速度为零，速度达到最大，根据动能定理可得 解得 故C错误； D．由简谐运动的知识可知，物体从A运动到B的时间是周期T的一半，即 所以 故D错误。 故选B。 类型5 类简谐振动 【例1】如图所示，一列总质量为m（视为质量分布均匀），长为L的火车，从光滑水平面以初速度v0沿光滑斜面上滑，若斜面光滑，则当火车完全运动到斜面上时速度刚好减为0，已知斜面倾角，忽略水平面与斜面连接处损失的能量，火车同一时刻各部分速度大小均相同，以水平地面为零势能面，重力加速度为g，则该过程中（　　） A．火车的初速度 B．若斜面上的车厢长度为x（x <L），则此时火车的重力势能 C．若斜面上的车厢长度为x（x <L），则此时火车的速度 D．火车上升过程的总时间 【答案】D 【详解】A．当火车完全运动到斜面上时速度刚好减为0，根据动能定理，有 解得火车的初速度，故A错误； BC．根据题意可知，火车在斜面上的质量为 斜面上的火车其重心位置为 此刻火车具有的重力势能为 而根据动能定理有 联立解得，故BC错误； D．取沿斜面向上为正方向，当列车冲上斜坡的长度为时，列车所受合外力 由此可知，列车做的是简谐振动，其周期为 可知火车上升过程的总时间为，故D正确。 故选D。 【例2】（多选）如图，光滑的竖直墙面上A处和B处各有一个钉子，二者处于同一水平高度，间距为l，有一轻质弹性绳，原长为l，劲度系数为k，一端由A处钉固定，另一端系有一质量为的小球，其中g为重力加速度，B处钉恰好处于弹性绳下面，钉子和小球都可视为质点，现将小球水平向右拉伸到与A处钉距离为2l的C点，将小球由静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．小球在水平和竖直两个方向的分运动均为简谐运动 B．小球将与B处钉发生碰撞 C．小球的运动轨迹为一条直线 D．当小球第一次运动至B处钉的正下方时，其速度方向水平向左 【答案】AC 【详解】A．以B点为原点，向右为轴正方向，向下为轴正方向，对小球进行受力分析 在水平方向的受力为 竖直方向的受力为 两个力均满足简谐运动的表达式，水平简谐分运动的平衡位置在处，竖直简谐分运动的平衡位置在处，故A正确； B．由力的表达式可知两个方向的振动周期相等。若小球能够与B处钉相碰，则在水平方向上，小球由最大位移处C点运动到B点即平衡位置，历时 在竖直方向上，若小球能够与B处钉相碰，历时 ，水平方向和竖直方向不能同时到达B点，故B错误； C．设水平方向的位移满足 水平方向的速度为对应位移的导数 初始时，， 代入位移表达式得到 代入速度表达式得到 由可知取的整数倍，由于初始位置在平衡位置右方，与横坐标正方向相同，取 联立解得 同样的，设竖直方向的位移满足 竖直方向的速度为对应位移的导数 初始时，， 代入位移表达式得到 代入速度表达式得到 由可知取的整数倍，由于初始位置在平衡位置上方，与纵坐标正方向相反，取 联立解得 因此小球的水平位置坐标可表示为 竖直位置坐标可表示为 运动轨迹所满足的方程为 是一次函数，图像为直线，故C正确； D．当小球第一次运动至B处钉正下方时，历时，此时小球在竖直方向上的分速度达到最大值，不可能水平向左，故D错误。 故选AC。 【例3】（多选）我国自主研发的"海能-3号"波浪发电装置在南海海域成功运行。下图为时刻沿轴正方向传播的海水波的图像。圆柱形浮子定位在处的波面上，随波浪做简谐运动，此时质点的速率为，浮子上端固定连接匝的圆形线圈，线圈半径，线圈在磁感应强度的辐向稳定磁场中垂直切割磁感线运动，发电系统通过匝数比的理想变压器接入的纯电阻负载，磁铁、变压器、纯电阻负载等固定，下列判断正确的是（　　） A．t=0时刻浮杆正随海水向下振动 B．t=0时刻发电机产生的电动势为 C．变压器副线圈输出电压的峰值为 D．负载消耗的功率为 ABD 【详解】A．波向x轴正方向传播，根据峰前质点上振，可知位于x坐标值4m的质点在t=0时刻，沿y轴负方向振动，所以浮杆正随海水向下振动，故A正确； B．在t= 0时刻发电机产生的电动势的瞬时值最大且为 故B正确； C．根据变压器电压之比与线圈匝数之比关系 解得变压器副线圈输出电压的峰值为 故C错误； D．负载消耗的功率为 故D正确； 故选ABD。 类型6 弹簧弹力分量式 【例1】（多选）如图，与水平面成夹角且固定于O、M两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过固定在Q处的光滑定滑轮与位于直杆上P点的滑块拴接，弹性轻绳原长为OQ，PQ为且垂直于OM。现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。滑块与杆之间的动摩擦因数为0.16，弹性轻绳上弹力F的大小与其伸长量x满足。，g取，。则滑块（　　） A．与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C．从释放到静止的位移大小为 D．从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 【答案】AC 【详解】A．根据题意，设滑块下滑后弹性轻绳与PQ间夹角为时，对滑块进行受力分析，如图所示 在垂直杆方向有 由胡克定律结合几何关系有 联立解得 可知，滑块与杆之间的弹力不变，则滑块与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 故A正确； B．下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的方向不同，冲量是矢量，则下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量不相同，故B错误； C．设滑块从释放到静止运动的位移为，滑块开始向下做加速度减小的加速运动，当沿着杆方向合力为0时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动，当速度为0时，有 由几何关系可得 此时 则滑块会继续向上滑动，做加速度减小的加速运动。当滑块速度再次为0时，有 解得 此时 此时 则滑块静止，故从释放到静止，滑块的位移为，故C正确； D．从释放到静止，设克服滑动摩擦力做功为，由能量守恒定律有     解得 故D错误。 故选AC。 题型六 实验 类型1 用单摆测重力加速度 【例1】用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。    （1）为了减少测量误差，下列做法正确的是 A．摆的振幅越大越好 B．摆球质量大些、体积小些 C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些 D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处 （2）用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为 cm；把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L；然后用停表记录了单摆完成60次全振动所用的时间如图乙所示，该单摆的周期是T= s（结果保留三位有效数字）。      （3）实验时改变摆长，测出几组摆长L和对应的周期T的数据，画出T2-L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是 。 A．g            B．            C．                D． BC/CB 2.125 2.10 C AB/BA 【详解】（1）[1] A．摆长一定的情况下，摆角不超过5°，并非摆的振幅越大越好，故A错误； B．为减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故B正确； C．实验过程摆长应保持不变，为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些，故C正确； D．为减小误差，计时起点应选平衡位置，故D错误。 故选BC。 （2）[2] 20分度游标卡尺的精确值为0.05mm，不需要估读，则摆球的直径为 [3]秒表的读数为 该单摆的周期为 （3）[4] 由周期公式 可得 可知，图线斜率为 故选C。 【例2】在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过次全振动的总时间为，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题: （1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的____________。 A．最高点 B．最低点 C．任意位置 （2）该单摆的周期为 ，重力加速度 （用题干中字母表示）。 （3）如果测得的值偏小，可能的原因是____________。 A．实验时误将49次全振动记为50次 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 （4）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标、为纵坐标作出图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的图像是图乙中的 （选填“①”“②”或“③”）。 【答案】（1）B （2） （3）B （4）① 【解析】（1）为了减小测量周期的误差，应该将小球经过最低点时作为计时开始和终止的位置更好些，实际摆动中最高点的位置会发生变化，且靠近最高点时速度较小，计时误差较大。故选B。 （2）[1]因为摆球经过次全振动的总时间为，则该单摆的周期为 [2]由单摆周期公式 其中 可得，重力加速度的表达式为 （3）根据 可知 A．实验中误将49次全振动次数记为50次，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故A错误； B．摆线上端量点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，故所测重力加速度偏小，故B正确； C．开始计时时，秒表过迟按下，所测周期偏小，则所测重力加速度偏大，故C错误； 故选B。 （4）由题意可得，单摆的实际摆长为 由单摆周期表达式得 化简可得 由此得到的图像是图乙中的①。 1 学科网（北京）股份有限公司 $