3.2　第二课时　零点的存在性及其近似值的求法课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点存在定理及二分法，以“价格猜猜猜”节目情境导入，通过问题驱动引导学生从函数值异号判断零点存在，再逐步展开二分法步骤，结合自我诊断与典型例题，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于注重数学眼光、思维与语言的融合，如用生活情境激发探究欲，通过“通性通法”总结判断零点区间步骤培养逻辑推理，结合乒乓球找次品、电缆故障检测等实例强化应用意识。学生能提升问题解决能力，教师可依托系统资源高效开展教学。

第二课时　零点的存在性及其近似值的求法 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示 一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高 了”还是“低了”，然后继续猜…… 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题】　怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点一　函数零点存在定理 如果函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的，并且 ⁠ （即在区间两个端点处的函数值异号），则函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]中 零点，即∃ x0∈[ a ， b ]， f （ x0）＝0. f （ a ） f （ b ）＜0　 至少有一个　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f （ a ）· f （ b ）＜0？ 提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f （－1） f （1）＝1×1＝1＞0. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲 线， f （ a ） f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上 的零点个数？ 提示：不能.函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲线， f （ a ） f （ b ）＜0只能判断 y ＝ f （ x ）在[ a ， b ]上有零点，并不能判断零点的个数，如图. 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点二　二分法 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时（即 f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图 象是连续不断的，且 f （ a ） f （ b ）＜0），给定近似的精确度ε，用 二分法求零点 x0的近似值 x1，使得｜ x1－ x0｜＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查｜ b － a ｜≤2ε是否成立，如果成立，取 x1＝ ，计 算结束；如果不成立，转到第二步. 目录 数学·必修第一册（B版） 第二步：计算区间（ a ， b ）的中点 对应的函数值，若 f ＝ 0，取 x1＝ ，计算结束；若 f ≠0，转到第三步. 第三步：若 f （ a ） f ＜0，将 的值赋给 b ，回到第一步；否则必有 f f （ b ）＜0，将 的值赋给 a ，回到第一步. 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？ 提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函 数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 方程 x3－ x －3＝0的实数解所在的区间是（　　） A. [－1，0] B. [0，1] C. [1，2] D. [2，3] 解析：　令 f （ x ）＝ x3－ x －3，易知函数 f （ x ）＝ x3－ x －3在R 上的图象是连续不断的， f （1）＝－3＜0， f （2）＝8－2－3＝3＞ 0， f （－1）＝－3＜0， f （0）＝－3＜0， f （3）＝21＞0，结合选 项知， f （1）· f （2）＜0， 故函数 f （ x ）＝ x3－ x －3的零点所在的区间为[1，2]， 即方程 x3－ x －3＝0的实数解所在的区间为[1，2]. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（　　） 3. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得 f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈ ，第 二次应计算 ⁠. （0，0.5）　 f （0.25）　 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 判断函数零点个数或所在区间 【例1】　（1）已知函数 y ＝ f （ x ）的图象是连续不断的一条曲线， 有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则下列说法正确的是（　B　） B 目录 数学·必修第一册（B版） 题型一 判断函数零点个数或所在区间 【例1】　（1）已知函数 y ＝ f （ x ）的图象是连续不断的一条曲线， 有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则下列说法正确的是（　B　） A. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，6]上有3个零点 B. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，6]上至少有3个零点 C. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，6]上至多有3个零点 D. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[1，2]上无零点 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：由表可知， f （2）· f （3）＜0， f （3）· f （4）＜0， f （4）· f （5）＜0.由函数零点存在定理知，函数 y ＝ f （ x ）在区间（2，3）， （3，4），（4，5）上分别至少存在一个零点，所以函数 y ＝ f （ x ） 在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然 f （1）· f （2）＞0，但函数 y ＝ f （ x ）在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）函数 f （ x ）＝ x3＋ x －5的零点所在区间为（　B　） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 解析：由函数 f （ x ）＝ x3＋ x －5可得 f （1）＝1＋1－5＝－3＜ 0， f （2）＝8＋2－5＝5＞0， 故有 f （1） f （2）＜0， 根据函数零点存在定理可得，函数 f （ x ）的零点所在区间为 （1，2），故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. 判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值； （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区 间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有 一个零点. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 判断函数存在零点的2种方法 （1）方程法：若方程 f （ x ）＝0的解可求或能判断解的个数.可通 过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数； （2）图象法：由 f （ x ）＝ g （ x ）－ h （ x ）＝0，得 g （ x ） ＝ h （ x ），在同一平面直角坐标系内作出 y1＝ g （ x ）和 y2＝ h （ x ）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数 零点的个数. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 已知 f （ x ）， g （ x ）均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能 判断方程 f （ x ）＝ g （ x ）有实数解的区间是（　　） x －1 0 1 2 3 f （ x ） －0.670 3.011 5.432 5.980 7.651 g （ x ） －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A. （－1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　令 h （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）可得： h （0）＝ f （0）－ g （0）＜0， h （1）＝ f （1）－ g （1）＞0，由题意得 h （ x ）连续， 根据函数的零点存在定理可知： h （ x ）在（0，1）上有零点，故 f （ x ）＝ g （ x ）在（0，1）上有解.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 根据函数零点求参数 【例2】　已知 a 是实数，函数 f （ x ）＝2｜ x －1｜＋ x － a ，若函数 y ＝ f （ x ）有且仅有两个零点，求实数 a 的取值范围. 目录 数学·必修第一册（B版） 解：函数 f （ x ）＝2｜ x －1｜＋ x － a 有且仅 有两个零点，即函数 y ＝2｜ x －1｜＋ x 与 y ＝ a 有且仅有两个交点. 分别作出函数 y ＝2｜ x －1｜＋ x 与 y ＝ a 的图 象，如图所示. 由图易知，当 a ＞1时，两函数的图象有两个 不同的交点，故实数 a 的取值范围是（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 根据函数零点个数求参数值（范围）的方法 　　已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不 等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以 解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画 出函数的图象，然后数形结合求解. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 已知函数 f （ x ）＝2 ax － a ＋3，若∃ x0∈（－1，1）， f （ x0）＝0， 则实数 a 的取值范围是（　　） A. （－∞，－3）∪（1，＋∞） B. （－∞，－1）∪（3，＋∞） C. （－3，1） D. （－1，3） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　函数 f （ x ）＝2 ax － a ＋3，若∃ x0∈（－1，1）， f （ x0）＝0，可得 f （1） f （－1）＝（－3 a ＋3）（ a ＋3）＜0， 解得 a ＜－3或 a ＞1，则实数 a 的取值范围是（－∞，－3）∪ （1，＋∞），故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 二分法 角度1　对二分法概念的理解 【例3】　下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的 是（　　） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号， 在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于 A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件 是函数零点的存在性.对“函数在区间[ a ， b ]上连续”的理解如下： 不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函 数图象是连续的即可. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 如图，函数 f （ x ）的图象与 x 轴交于 M （ x1，0）， N （ x2，0）， P （ x3，0）， Q （ x4，0）四点，则不能用二分法求出的 f （ x ）的零点 是（　　） A. x1 B. x2 C. x3 D. x4 解析：　由图象可知，在 x ＝ x2附近，函数 f （ x ）均大于0，故 x2不 能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求 解.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　用二分法求方程的近似解 【例4】　用二分法求方程2 x3＋3 x －3＝0的一个正实数近似解.（精确 度为0.1） 解：令 f （ x ）＝2 x3＋3 x －3， 经计算， f （0）＝－3＜0， f （1）＝2＞0， f （0）· f （1）＜0， 所以函数 f （ x ）在（0，1）内存在零点， 即方程2 x3＋3 x ＝3在（0，1）内有解. 取（0，1）的中点0.5，经计算 f （0.5）＜0， 又 f （1）＞0，所以方程2 x3＋3 x －3＝0在（0.5，1）内有解. 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： 目录 数学·必修第一册（B版） （ a ， b ） 中点 c f （ a ） f （ b ） f （0，1） 0.5 f （0）＜0 f （1）＞0 f （0.5）＜0 （0.5，1） 0.75 f （0.5）＜0 f （1）＞0 f （0.75）＞0 （0.5， 0.75） 0.625 f （0.5）＜0 f （0.75）＞0 f （0.625）＜0 （0.625，0.75） 0.687 5 f （0.625）＜ 0 f （0.75）＞0 f （0.687 5）＜0 （0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正 实数近似解. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[ m ， n ]（一般采用估计值 的方法完成）； （2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ） 还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端 点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 用二分法求函数 f （ x ）的一个正实数零点时，经计算 f （0.54）＜0， f （0.72）＞0， f （0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点 的近似值为（　　） A. 0.68 B. 0.72 C. 0.7 D. 0.6 解析：　由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区 间为（0.68，0.72），由于｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.1，则函数的一个 精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 　二分法实际应用举例 乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的.乒乓球是两个半 圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶 水的气味.乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别 是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对 培养顽强拼搏的精神很有好处.因此，乒乓球已经成为一项世界性、普 遍性的体育运动. 现有 a 个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标 准外，其余的乒乓球质量均相同.用一架天平，限称 b 次，把这个“坏 乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重. 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题探究】 1. 当 a ＝12， b ＝3时，又该如何称？ 提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： （1）若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次，取剩下 的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放 在天平上. ①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒 乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上一看，即知“坏乒乓 球”是偏轻还是偏重； 目录 数学·必修第一册（B版） （2）若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右 边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左 面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个 乒乓球补入左边.看天平，有三种可能. ②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还 是重.任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定 “坏乒乓球”. 目录 数学·必修第一册（B版） ①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； ②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此，“坏乒乓 球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； ③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒 乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是 轻还是重）. 显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒 乓球”，且知其是轻还是重. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若“坏乒乓球偏轻”，当 a ＝26时，又该如何称？ 提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒 乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出 1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两 端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不 平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个 乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在 质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放 在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若 天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”. 综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”. 目录 数学·必修第一册（B版） 【迁移应用】 　将“ a 个乒乓球”改为“从 A 地到 B 地的海底电缆有15个接点”， 现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎 样检测最合理？ 目录 数学·必修第一册（B版） 解：如下图所示，把从 A 地到 B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 若函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象为连续不断的一条曲 线，则下列说法中正确的是（　　） A. 若 f （ a ） f （ b ）＞0，则不存在实数 c ∈（ a ， b ），使得 f （ c ） ＝0 B. 若 f （ a ） f （ b ）＜0，则存在且只存在一个实数 c ∈（ a ， b ）， 使得 f （ c ）＝0 C. 若 f （ a ） f （ b ）＞0，则有可能存在实数 c ∈（ a ， b ），使得 f （ c ）＝0 D. 若 f （ a ） f （ b ）＜0，则有可能不存在实数 c ∈（ a ， b ），使得 f （ c ）＝0 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　对函数 f （ x ）＝ x2， f （－1）· f （1）＞0，但 f （0）＝ 0，故A错误；对于函数 f （ x ）＝ x3－ x ， f （－2）· f （2）＜0，但 f （0）＝ f （－1）＝ f （1）＝0，故B错误；函数 f （ x ）＝ x2满足 C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 函数 f （ x ）的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程 f （ x ） ＝0在（1，2）内近似解的过程可得 f （1）＜0， f （1.5）＞0， f （1.25）＜0，则方程的解所在区间为（　　） A. （1.25，1.5） B. （1，1.25） C. （1.5，2） D. 不能确定 解析：　因为 f （1.25）· f （1.5）＜0，故方程 f （ x ）＝0的解所在 区间为（1.25，1.5）.故选A. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 函数 f （ x ）＝ x3－9的零点所在的大致区间是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3） 解析：　因为函数 f （ x ）＝ x3－9在R上单调递增， f （2）＝8－9＝－1＜0， f （3）＝27－9＝18＞0， 所以根据零点存在定理，可得函数 f （ x ）＝ x3－9的零点所在的大 致区间是（2，3）.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（　　） 解析：　D选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同，因此不能用二分法求零点，而A、B、C选项符合利用二分法求函数零点的条件.故选A、B、C. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 已知函数 f （ x ）＝2 x － b 的零点为 x0，且 x0∈（－1，1），那么 b 的取值范围是 ⁠. 解析：因为函数 f （ x ）＝2 x － b 的零点为 x0，且 x0∈（－1，1）， 所以 f （－1）· f （1）＜0，即（－2－ b ）·（2－ b ）＜0，解得－2 ＜ b ＜2，所以 b 的取值范围是（－2，2）. （－2，2）　 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $