3.3 函数的应用(一)课件——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖一次、二次、分段及对勾函数模型，通过函数描述变量关系的导入，连接数学问题与实际应用，以实例搭建从函数知识到解决现实问题的学习支架。 其亮点是以生活实例（如阶梯水价、城镇化人口）为载体，用数学眼光抽象函数模型，通过数学思维进行运算推理（如配方求最值、均值不等式应用），以数学语言表达问题。采用案例教学与步骤归纳（审题-建模-解模-还原），助力学生提升建模与运算能力，为教师提供清晰教学流程和实用教学资源。

人教B版(2019)必修第一册 3.3 函数的应用(一) 第三章 函数 1 学习目标 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,体现数学建模的能力（重点） 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律，体现数学运算的能力（重难点） 2 新课导入 因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，函数的应用不仅体现在用函数解决数学问题，还体现在用函数解决实际问题，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用．本节课我们将利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．下面我们通过例子来说明． 3 新课学习 常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a ≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数， a ≠0) 分段函数模型 对勾函数模型 4 新课学习 例1：为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示． 分档 户年用水量/m3 综合用水单价/（元·m－3） 第一阶梯 0—220（含） 3.45 第二阶梯 220—300（含） 4.83 第三阶梯 300以上 5.83 记户年用水量为x m³时应缴纳的水费为f(x)元. (1)写出f(x)的解析式； 5 新课学习 不难看出，f(x)是一个分段函数，而且： 当0<x≤220时，有 f(x)=3.45x； 当220<x≤300时，有 f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6； 当x>300时，有 f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6. 因此 6 新课学习 (2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260 m³，则张明一家2015年应缴纳水费多少元? 因为 220<260≤300，所以 f(260)=4.83×260-303.6=952.2. 因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元. 由例1可知，可以用分段函数来描述生活中的阶梯水价、阶梯电价等内容. 7 新课学习 例2：城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t (限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿. 写出f(t)的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函数，设f(t)=kt +b，其中k，b是常数 注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年，因此 8 新课学习 解得k=0.16，b=1.7. 因此 f(t)=0.16t+1.7，t∈N且t<40 又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年，而且 f(39)=0.16×39+1.7=7.94， 所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿. 9 新课学习 例3：某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满． 已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 分析：可以通过试算来理解题意，如下表所示. 10 新课学习 提价/元 每间房单价/元 客房出租数 租金总收入/元 0 200 160 32000 20 220 150 33000 40 240 140 33600 60 260 130 33800 80 280 120 33600 100 300 110 33000 120 320 100 32000 11 新课学习 设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元. 因为此时每间房单价为200+20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160- 10x间，因此 y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x) =200(-x2+6x+160)=200[-(x-3)2+169] =-200(x-3)2+33800. 从而可知，当x=3时，y的最大值为33800. 因此每间房单价提到200+20×3=260元时，每天客房的租金总收入最高. 12 新课学习 例4：某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 设矩形的长为x时，场地的面积为S. 因为矩形的周长要为l，所以矩形的宽为 (l-2x)，由 又因为 13 新课学习 例4：某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 14 新课学习 想一想：你能用均值不等式求得S的最大值吗？ 设矩形的长为x，宽为y，则 x>0，y>0，x+y= 15 新课学习 例5：已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ²+3000，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q). (1)求f(Q)的解析式； 将Q=100，C=6000代入C=aQ²+3000中，可得 1002a+3000=6000， 因此 16 新课学习 例5：已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ²+3000，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q). (2)求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 因为 因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60. 17 新课学习 解函数应用题的方法和步骤： 1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 2.建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3.解模：求解数学模型，得出数学结论； 4.还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 18 课堂练习 D 19 课堂练习 20 课堂练习 D 21 课堂练习 22 课堂练习 B 23 课堂练习 24 课堂练习 B 25 课堂练习 26 课堂练习 C 27 课堂练习 28 课堂练习 150 29 课堂练习 30 课堂总结 1.常见的几种函数模型 2.解函数应用题的方法和步骤 31 谢 谢 观 看 32 $