3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第二课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点存在定理、二分法求近似零点及二次函数零点分布，通过线路故障检测实例导入二分法，从一次二次函数零点过渡到复杂函数，构建“具体问题-抽象定理-方法应用”的学习支架。 其亮点在于融合逻辑推理与数学抽象，以“尝试与发现”“思考一下”问题链驱动，结合例6证明三次函数零点存在、例7二次函数零点分布计算等实例，辅以GeoGebra技术和步骤框图。帮助学生提升数学计算与推理能力，教师可直接利用结构化内容提高教学效率。

人教B版(2019)必修第一册 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 （第二课时） 第三章 函数 1 学习目标 理解零点存在定理，会判断零点所在区间,体现逻辑推理能力（重点） 了解二分法求函数的近似零点,体现数学抽象能力（重点） 能解决二次函数零点分布问题,体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 从线路中点开始测试，若该点与起点段正常，则故障在中点与终点段；反之则在起点与中点段.随后在故障段的中点继续测试，重复此过程. 每次测试都将待查范围缩小一半，10公里线路约有200段(每50米一段)，理论上仅需‌7-8次测试‌ 即可将故障定位到50-100米范围内(即一两根电线杆之间)，极大减少爬杆次数，提升效率. 该方法利用了‌二分法‌ 3 新课学习 尝试与发现：关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为？ 一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为x= . 思考一下：求一个复杂函数的零点方便吗？ 一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式. 4 新课学习 思考一下：求一个复杂函数的零点方便吗？ 但是，对于次数大于或等于3的多项式函数(例如：f(x)=ax³+bx²+cx+d，其中a≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点，都不是容易的事（事实上，数学家们已经证明：次数大于4的多项式方程，不存在通用的求根公式）. 因此，我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点. 5 新课学习 尝试与发现：如图所示，已知A，B 都是函数y=f(x)图象上的点，而且函数图象是连接A，B两点的连续不断的线，作出3种y=f(x)的可能的图象.判断f(x)是否一定存在零点，总结出一般规律. 可以看出，函数f(x)在区间(a，b)中一定存在零点. 6 新课学习 零点存在定理的概念 如果函数y=f(x)在区间[a , b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a , b)中至少有一个零点，即x0∈(a，b)，f(x0)=0. 条件：1.图象是连续不断的；2.在区间两个端点处的函数值异号； 结论：函数在区间(a , b)中至少有一个零点. 7 新课学习 注意： 1.一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的. 2.特殊的函数图象：反比例函数y= 的图象不是连续不断的. 8 新课学习 例6：求证：函数f(x)=x3-2x+2至少有一个零点. 因为 f(0)=2>0，f (-2)=-8+4+2=-2<0， 所以f(-2)f(0)<0，因此x0∈(-2 , 0)，f (x0)=0，即结论成立. 例6中的函数在区间(-2 , 0) 中存在零点x0 ，但是不难看出， 求出x0的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？比如，能否求出一个x1， 使得| x1-x0 |< ? 9 新课学习 尝试与发现：如果在区间(-2 , 0) 中任取一个数作为x0的近似值，那么误差小于多少？如果取区间(-2 , 0) 的中点作为x0的近似值，那么误差小于多少？怎样才能不断缩小误差？ 如果在区间(-2 , 0) 中任取一个数作为x0的近似值，误差小于2； 如果取区间(-2 , 0) 的中点作为x0的近似值，误差小于1． 10 新课学习 一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示． 零点存在定理 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值 (-2,0) f(-1)=-1+2+2=3>0 1 (-2,-1) (-2,- ) (-2,- ) 11 新课学习 其中第2行的区间是(-2,-1)，这是因为f(-2)f(-1)<0，其他区间都是用类似方式得到的． 当然，按照类似的方式继续算下去，可以得到精确度更高的近似值. 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法． 12 新课学习 用二分法求零点的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下： 13 新课学习 用二分法求零点的步骤 14 新课学习 这些步骤可用如图所示的框图表示. 是 否 是 否 是 否 开始 输入a，b，ε |b－a|≤2ε 输出 x1 结束 15 新课学习 例7：已知函数f(x)=x²+ax+1有两个零点，在区间(-1,1)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图象的示意图如图(1)(2)所示. 不管哪种情况，都可以归结为f(-1)f(1)<0且|- |≥1，因此(2-a)(a+2)<0 且|a|≥2， 解得a<-2或a>2. 16 新课学习 用信息技术求函数零点 用GeoGebra中的root命令，可以方便地求得多项式函数的图象与x轴的交点坐标，从而得到对应函数的零点信息． 例如，在“输入”对话框中输入“root[x^2-x-6]”后按回车键，将得到函数f(x)=x2-x-6与x轴的两个交点A，B 的坐标； 输入“root[x^3-2x+2]”后按回车键，将得到函数f(x)=x3-2x+2与x轴的交点C的坐标；输入“root[x^3-2x+2，1，2]”后按回车键，将得到函数f(x)=x3-2x+2，x∈[1,2]与x轴的交点的信息．显示结果如图所示，其中的“未定义”表示没有交点． 17 课堂练习 B 18 课堂练习 19 课堂练习 D 20 课堂练习 21 课堂练习 C 22 课堂练习 23 课堂练习 D 24 课堂练习 25 课堂练习 C 26 课堂练习 27 课堂练习 11 28 课堂总结 1.零点存在的概念 2.用二分法求函数零点的步骤 3.用信息技术求函数的零点 29 谢 谢 观 看 30 $