第14章全等三角形尖子生培优练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以等腰直角三角形为载体，系统提炼全等结构与辅助线方法，构建“基础探究-转化应用-动态拓展”的逻辑训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础结构探究|3题（1/3/5）|双垂直全等结构、特殊三角形边角转化|从等腰直角三角形特征提炼全等模型，建立“已知特殊三角形→识别全等结构→推导线段关系”逻辑链| |辅助线方法应用|4题（2/9/12/20）|截长补短、倍长中线构造全等|通过“补形/倍长”辅助线，将非标准图形转化为已知全等模型，培养推理意识与转化思维| |动态与综合拓展|5题（4/8/16/18/19）|动态分类讨论、坐标系中几何应用|结合动点运动与坐标背景，探究全等条件的多情况分析，发展空间观念与创新意识|

2026-2027学年八年级全等三角形尖子生培优练习 1.等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形：基于其边角特征判定全等三角形的 过程中提炼了常见的两个全等结构（如图1与图2），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解 决 图1 图2 图3 图4 【理解探究】 I)如图1，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线I与直线AB的交点不在 边AB上，分别作BF⊥I于点F,AE⊥I于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (②)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线上，直线I与直线AB的交点在 边AB上，分别作BF⊥1于点F,AE⊥I于点E.请问(1)中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若 不成立，请说明理由， 【转化应用】 6)如图3，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F、D在同一直线上，连 接1D.已知9 .m=12,BF=4.求 SAACD 4)在RteACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=10.直线I经过RtAACD的直角顶点C交斜边AD 于点E,CE⊥AD,AE:DE=9:16,动点F在直线I上，动点B在CD所在直线上.若以点B、C、F为 顶点的三角形与△ACE全等（如图4），直接写出所有满足条件的EF的长度值. 2.求解下列各题： G D B E 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF； (②)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由. 3.根据图形解决以下问题 图1 图2 图3 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点D,过 点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD的 垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. B(m,0)A(n,0) 4.已知如图，在平面直角坐标系中，点 分别是x轴上两点，且m、n满足 (m-3+n=0,点P(0,)是y轴正半轴上的动点. A OA B 图1 图2 (I)求△ABP的面积（用含h的代数式表示）； (2)过点P作DP⊥PB,CP⊥PA,且PD=PB,PC=AP」 ①连接AD、BC相交于点E,再连PE,求∠BEP的度数： ②连接CD与y轴相交于点Q,当动点P在y轴正半轴上运动时，线段PQ的长度变不变？如果不变，请求 出其值；如果变化，请求出其变化范围， 5.阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等 三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路. VA 图1 图2 图3 备用图 【问题解决】 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥CE于点D, BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (②)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D, BE⊥CE .E AD=2cm DE=1.6 cm BE 于点， ，求的长： 【拓展延伸】 )如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 -2,6) 点B的坐标为 6,2) 第一象限内是否存在一点P, 使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标. 6.如图1，△ABC中，点M,N分别在AC边、BC边上.数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相 等”展开探究活动 D M B N 图1 图2 (I)【课本再现】如图2，△DEF≌△ABC,请用尺规在△DEF中画出与△ABC中线段MN相对应的线段PO, 并说明MN=PQ 2)【深入探究】小组同学探究得到△ABC边上存在点P,O,连接PO,使得PQ=MN且PO∥MW.请 从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程. 作图步骤 示意图 说理过程 已知：如图， ①过点M作 MP∥BC交AC MP∥BC, 于点P: A NO=MP ②在NC上截取 方法一 M NO=MP 求证：PQ=MW BN ③连接Pg, 且PQ∥MN PO即为所求作的 证明：连接WP 线段 … ①过点M作 MR∥AC交BC 已知：如图， MR∥AC, 于点R; CO=RN, ②在BC上截取 CQ=RN,在 CP=RM: 方法二 AC上截取 求证：PQ=MW CP=RM B NR ③连接Pg」 且PQ∥MN PO即为所求作的 证明：… 线段 )【创新突破】如图3，请用尺规在△ABC边上作出点P和Q,连接PO,使得PO=2MN,且P№∥MN 保留作图痕迹，并简要说明作图步骤. A M B N 图3 7.综合与实践： ① ② ③ (I)【基础巩固】如图①，已知AB与EF相交于点G,∠A=∠B.G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG ②)【深入探究】如图②，在(I)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于点C,若 AD=DE.当ED=5cm,CG=2cm时，求AB的长. (③)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G, 在AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG:延长EG到点F,使 GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上.若测量出BC=50m,则河流 AH=50m,请说明理由. 8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点 A出发沿AC边向终点C运动；动点Q从点B出发沿BC边向终点C运动.点P和点Q的速度分别为 1cm/s 2cm/s 和 ，两点同时出发并开始计时，设运动时间为'秒，当点°到达终点C时，点也随之停止 运动. (1)AP= .cm,Co= cm(用含t的代数式表示)； (2)当 ar=SaM4c0时，求'的值： )分别过点P和点作PE⊥1于点E,QF11于点F,则当1= 秒时，△PEC与△QFC全等. 9.综合探究 【初步探索】 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是： 延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论， 他的结论应是」 【灵活运用】 ②)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 10.【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”.今天，就让 我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体 会数学与生活的联系， 在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC;在△DEF中，∠FDE=90°，∠FED=30°，我们将用三种不同方式摆 放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (I)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段EF上时，过 点C作CG⊥EF垂足为点G,过点B作BH⊥EF垂足为点H G 2 A E 图1 ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的 结论 解：∠CAB=90°，∴∠1+∠2=180°-∠CAB=90°， CG⊥EF,BH⊥EF, .∠CGA=∠AHB=90° 则在Rt△CGA中，∠I+∠3=90°， .∠2=∠3 在△CGA和△AHB中， ∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB, ∴.△CGA≌ (AAS). ②若CG=2,BH=3,则GH= 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点C在线段DF上 时，过点B作BM⊥DE垂足为点M,请你猜想线段BM,MD,DC之间的数量关系，并说明理由.在这 个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美 C B 图2 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段DF上且顶点C在线段DE上时，若 AD=6,连接BD,求△ABD的面积.此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法， 迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力. E D B 图3 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落.在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大 家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答.愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻 辑的眼光看待世界 11,如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.D是直线AB上任意一点，连接CD,过点C作 CE⊥CD,且CE=CD,过点E作EF⊥AC,垂足为P,连接BE,分别交AC,CD于点M,V E D M D B 图1 图2 (I)如图1，当点D在线段AB上时，AD与CF相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=2. ①AM的长度为 ②设△B C的面积为S,四边形4DM 的面积为，则9-心 的值为 (3)如图2，当点D在线段BA的延长线上时，点M是线段BE的中点吗？说明理由， 12.阅读以下材料，完成以下两个问题 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC. 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 E G G D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明， (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF; 3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 13.【问题探究】 B B G D 图① 图② (I)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D,过点D作AD的垂线，交AB边于点E、交AC 的延长线于点F,过点E作EG∥AC交BC边于点G.试说明：BC-BG=2CD: 探究如下：某同学思考这道题时，想通过推理△ADE和△ADF全等，得到DE=DF,进而可得△DEG和 △DFC全等，最终得出结论.请你据此写出推理过程. 【问题解决】 (②)如图②为一个工业区示意图，点A为入口，B、C为两个仓库，小路AD平分△ABC的外角∠CAE,E、 F分别在BA、AC的延长线上，点D为装配厂，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，且AD⊥EF于点 D,EG、DG是两条运输公路，EG∥AC交BC的延长线于点G,G处修建一个配送中心，现要沿BG修 建一条笔直的运输轨道(C、D在BG上)，请你帮助管理人员探究BC、BG、CD之间的数量关系，并 说明理由.（仓库、装配厂、配送中心、粗加工厂和精密加工厂的大小及小路、公路、运输轨道等的宽度 均忽略不计) 14.【问题解决】 B E 图1 图2 图3 (I)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC2△EDB,其中判定全等的依据为 【问题应用】 (②)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，连接AE,且AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 延长AD至M,使DM=AD,连接CM,试探究线段AE与AD之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 3)如图3，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成.工人师 傅以A点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂AB、AE( AB=AE,∠BAE=90°)，第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂AC、AF(AC=AF,∠FAC=90° ),连接CB交AE于点D,且AD为△ABC的中线，为保证配件受力均衡，在线段DE上截取DH=AD, AE>AH,连接CH用于加固结构，最后连接EF形成辅助平衡边.为精准把控配件尺寸与安装角度，请 探究AD与EF之间的数量关系，并说明理由. 15.一次综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含60°角的直角三角尺△EFG( ∠EFG=90°，∠EGF=60°)的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动， B D M 图① 图② 图③ 1)【初步体验】如图①，三角尺的60°角的顶点G在CD上.若∠2=50°，则∠I的度数为°. (②)【基础巩固】如图②，小彬把60°角三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在AB和CD上，请你探索 ∠AEF与∠EGD之间的数量关系，并说明理由. 6)【强化应用】如图③，小强将一把含45°角三角尺的三个顶点E、F、G分别放在三条平行线AB、CD、 上，当直角顶点F在CD上时，若点E、点G刚好分别落在B、W MN G F.QS⊥CD 上.过点作 于点， 交AB,MN于点O,S,且QF=lcm,FS=2cm,求aEFG的面积. 4)【拓展探究】在(3)的条件下，AB与CD间的距离为lcm,CD与MN间的距离为2cm，是否存在等 腰直角△EFG的直角顶点F分别在AB或MN上时，点E、点G也恰好在其他两条直线上的情况？若存在， 则此时△EFG的面积为cm2(只写答案不用写解答过程). 16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,O为BC边上的点（不与两端点B、C重合），过点B作 BE⊥AO的延长线于点E,BE交AC的延长线于点D, 备用图1 备用图2 (I)试说明：△AOC≌△BDC, (2)若BE=6,ED=14,点P从点B出发，沿射线BD以每秒5个单位长度的速度运动，设点P的运动时间 为t秒，求t为何值时，△AOP的面积为l0 (3)在(2)的条件下，点Q从点O出发，沿线段OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P,Q两点同 时出发，当点Q到达A点时，P,Q两点同时停止运动.点F是射线AC上的一点，若DF=BO,问是否 存在值，使得以点B,O,Q为顶点的三角形与以点D,F,P为顶点的三角形全等？若存在，请求出 符合条件的t值：若不存在，请说明理由 17.我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质.实际上，还有另一个重要的定理： “三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在△ABC中，∠ABC、 ∠DAC、∠ACE的角平分线交于同一点P.根据上述材料回答以下问题： 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC的三条内角平分线交于点O,过点O分别作AB、BC、CA边上的垂线段OJ、OH、 O1.若△ABC的周长为16，OH=2,求△ABC的面积； (②)如图2，在△ABC中，D、E分别在BA、BC的延长线上，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点P,连接 BP,若∠DAP=45°，∠PCE=65°，求∠PBC的度数： 3)如图3，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D,延长AD至点E,使AD=DE,连 接EC.过点C作∠ACB的角平分线交AD于点F.若CF⊥CE,BD=l,求△ABC的周长. 18.如图，AD为△ABC的高，O为AD上一点，连接BO并延长交AC于点E,OD=CD,AD=BD, C=12:ILCE-E A E E O B O D 图1 图2 备用图 1)CE= AE= (②)请求出BO的长度： 3)判断BO和AC的位置关系，并说明理由： 4)有一动点Q从点A出发沿射线AE以每秒4个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒. ① 智慧小组提出问题：当点”在线段4E上时，满足 △BOQ 18 的面积为，请直接写出的值： ② ,OB 为了更好的研究动态几何中的全等三角形，博学小组提出向题：动点P从点○出发沿线段6以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，P,Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，,Q两点同时停止运动， 点F是直线BC上一点，且CF=AO,当△AOP≌△FCO时，请直接写出t的值. 19.数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学 知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地， 图1 图2 备用图 (I)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°，连接BE,CF 延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系： ,∠BDC= (2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠AEF=∠ABC=30°， ∠BAC=∠EAF=120°，连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的 度数，并说明理由； )拓展应用：在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°，连接BE,CF,将 △AEF绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B,E,F三点刚好在同一直线上，直接写出此时∠AFC 的度数， 20.“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征， 灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题.某数学小组借助以下数学 问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD中， AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. G B B D A D 图1 图2 图3 @)知图1，若A⊥CBAD⊥CD,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠E1r=B1D, 试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系 数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF.连接AG,先证△ABG与△ADF的全等， 再证△AEF与△AEG的全等，可得到EF,BE,DF之间的数量关系.经过以上分析，直接写出线段EF, BE,FD之间的数量关系为 (2)如图2，若LABC+∠ADC=180°，点E,点F分别在线段CB,DC的延长线上，且满足 ∠EAF-∠BD,试探究线段EP:BE,DF之间的数量关系，并诗说明理血. B)如图3，若∠ABC+∠ADC=180°不变，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,试探究∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由.2026-2027学年八年级全等三角形尖子生培优练习 1.等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形：基于其边角特征判定全等三角形的 过程中提炼了常见的两个全等结构（如图1与图2），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解 决。 图1 图2 图3 图4 【理解探究】 I)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线I与直线AB的交点不在 边AB上，分别作BF⊥I于点F,AE⊥I于点E,则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 (②)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线上，直线I与直线AB的交点在 边AB上，分别作BF⊥1于点F,AE⊥I于点E.请问(1)中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若 不成立，请说明理由 【转化应用】 6)如图3，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F、D在同一直线上，连 接4D.已 Sm=12.BF=4.求 △ACD 4)在RteACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=10.直线I经过RtAACD的直角顶点C交斜边AD 于点E,CE⊥AD,AE:DE=9:I6,动点F在直线I上，动点B在CD所在直线上.若以点B、C、F为 顶点的三角形与△ACE全等（如图4），直接写出所有满足条件的EF的长度值. 【答案】(I)BF+AE=EF (2)解：(1)中结论不成立，应为BF-AE=EF,理由如下： .AE⊥1，BF⊥1， .∠AEC=∠BFC=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=90°， .∠ACB=90° .∠ACE+∠BCF=90°， ∴.∠CAE=∠BCF :在△ACE和△CBF中， 「∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF,CE=BF, .'BF-AE=CE-CF=EF, 3)6 4254.6 4)所有满足条件的EF的长为5或5或5 【分析】(1)由垂直定义得到∠AEC=∠BFC=90°，由同角的余角相等得到∠CAE=∠BCF,即可证明 △4CE≌aCBF(AAS),得出4AB=CF,CE=BF,因此8F+E=CE+CF=BF: (2)同(1)思路求解即可： (3)根据S.m-2CD:BF=12求出CD=6,则CF=CD-DF=2:过点4作AE⊥BC,交BC的延长线 于点E,同cd思路证明&4CB≌CBF(AS),得到AE=CF=2:根据SCD,E求解即可： (④根紧4E:DE9.16得到4E-号。DE=子，根指。4CD的酒积求业CE= 5,根据同角的余角相等 得到∠A=∠DCE.若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等，分点B,F均在点C上方，和点B, F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可 【详解】(1)解：：AE⊥1，BF⊥1， ∴.∠AEC=∠BFC=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=90°， ,∠ACB=90° .∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∴∠CAE=∠BCF, :在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF,CE=BF, .BF+AE=CE+CF=EF (2)略 (3)解：，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°， .AC=BC,DF=BF=4, S.c-CD-BF=12,BF=4 .CD=6. .CF=CD-DF=6-4=2 过点A作AE⊥DC,交DC的延长线于点E,则∠AEC=90°， 图3 :∠BFD=90°， ∴.∠BFC=180°-∠BFD=90°」 ·.∠AEC=∠BFC :∠AEC=90°」 、.∠ACE+∠CAE=90°， .∠ACB=90°， .∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∴.∠CAE=∠BCF ,在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB △ACE≌ACBF(AAS) .AE=CF=2. A、Scp=CD·AE=7X6x2=6 (4)解：AE:DE=9:16,AE+DE=AD=10, E18 Γ5 .∠ACD=90°，CE⊥AD, :5m-4C.CD4D-CE,即时x6x8=x10cE。 1 1 2 2 2 :CE=24 5· .CE⊥AD, .∠CEA=90°， .∠A+∠ACE=90° :∠DCE+∠ACE=∠ACD=90°， .∠A=∠DCE 若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等，分以下情况讨论： ①若点B,F均在点C上方， .∠BCF=LDCE=∠A, .存在△CBF≌△ACE或△CFB≌AACE 若△CBF≌△ACE,如图， F D E 则CF-AE=18 EF=CF+CE= 824_42 555· 若△CFB≌AACE,如图 则CF=AC=6 ..EF=CF+CE=6+ 24_54 55· ②若点B,F均在点C下方， ,∠BCF=∠A, ∴.存在△CBF≌△ACE或△CFB≌△ACE 若aCBF≌△ACE,如图， B F D E 则CF=AE=I8 , .EF=CE-CF= 4186 555· 若△CFB≌△ACE,如图 D 则CF=AC=6, &EF=CF-CE=6-246 5=5 42546 综上所述，所有满足条件的EF的长为5或5或5· 2.求解下列各题： G C D D 图1 图2 Q)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=9O°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF: (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与LEAF之间的数量关系，并说明理由， 【答案】I)证明：在△ABE和△ADG中，AB=AD,∠B=∠ADG=90°，BE=DG, .△ABE≌△ADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+DF,DG=BE. .EF BE+DF=DG+DF=GF. AF=AF, .△AEF≌aAGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴∠BAE+∠FAD=∠EAF, .∠BAD=∠BAE+∠FAD+∠EAF=2∠EAF: ②解：∠EAr=180°-)∠D1B(形式不唯). 2 理由：：∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, 又AB=AD,DG=BE, :△ADG≌aABE(SAS) .AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF=BE+FD.DG=BE, .EF BE FD=DG+FD=GF, .AF=AF, :△AEF≌aAGF(SSS) .∠FAE=∠FAG. .∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， .2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° :2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=360°. D4B ∠EAF=180-1 【分析】(I)证明△ABE≌△ADG得到∠BAE=∠DAG,AE=AG,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF 得到LEAF=LGAF,推出∠BAE+∠FAD=∠EAF,根据角的和差即可得证： (2)证明△ADG≌△ABE得到AG=AE,∠DAG=∠BAE,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF得到 ∠FAE=∠FAG,结合∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 3.根据图形解决以下问题 图 图2 图3 I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点D,过 点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD的 垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 【答案】I)证明：AD⊥1，BE⊥1， .∠ADC=∠BEC=90°， 又∠ACB=90°， .∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE, ∠ACD=∠CBE ∠ADC=∠BEC=90° 在 和 △ADC ACEB 中， CA=CB △ADC≌△CEB(AAS) (2)①△AEC≌△CFB: 理由：，AE⊥CD,BF⊥CD .∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90° ∴.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, ∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠BFC=90° 在 。和 中， △AEC ACFB CA=CB △AEC≌△CFB(AAS) ②4 【分析】(I)利用同角的余角相等证得∠ACD=∠CBE,证明△ADC≌△CEB即可： (2)①利用同角的余角相等证得∠ACE=∠CBF,根据AAS证明△AEC≌△CFB:②利用同角的余角相 等证得∠ACE=∠CBF,根据AAS证明△AEC≌△CFB,再利用等量代换即可. 【详解】(1)解：略 (2)解：①略 ②：AE⊥CD,BF⊥CD, .∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， 、.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, ∠ACE=∠CBF ∠AEC=∠BFC=90° 在 和 中， △AEC'ACFB CA=CB ÷△1EC≌aCFB(AAS) .CE=BF=1,AE=CF=3. .EF=CF+CE=3+1=4. 4.已知如图，在平面直角坐标系中，点 B(m,0)、A,0)分别是x轴上两点，且mn满足 (m-3+n-=0,点P(0,)是y轴正半轴上的动点。 VA O八A OA B 图1 图2 (I)求△ABP的面积（用含h的代数式表示）： (②)过点P作DP⊥PB,CP⊥PA,且PD=PB,PC=AP ①连接AD、BC相交于点E,再连PE,求∠BEP的度数； ②连接CD与y轴相交于点Q,当动点P在y轴正半轴上运动时，线段PQ的长度变不变？如果不变，请求 出其值；如果变化，请求出其变化范围. 【答案】(I)h 2)0135°：②1 【分析】(1)先求出点A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； (2)①如图，在线段CB上取F点，使得CF=AE,连接PF,先证明△BPC≌aDPA,再证明 △CPF≌aAPE,进而推出△PEF为等腰直角三角形，求得∠PEF=45°，然后求出∠BEP的度数： ③ PO ,证明△DGP2aPOB和CHPPO PO=1 C D 线段的长度不变，且 ,分别表示、两点的坐标， 利用待定系数法求直线CD的解析式，可得Q的坐标，进而得PQ的长. 【详解】（山解：：、”满足m-3)+-i=0 :m-3=0,n=1=0 .m-3=0,n-1=0 解得：m=3,n=1, ,B(3,0)A(1,0) .AB=3-1=2, P(0,h) 点 是y轴正半轴上的动点， 六△ABP的面积=2×2h=h: (2)解：①如图，在线段CB上取F点，使得CF=AE,连接PF, A B 由题意得：DP⊥PB,CP⊥PA,且PD=PB,PC=AP, .∠APC=∠BPD=90°， ∴.∠APC+∠APB=∠BPD+∠APB, 即∠BPC=∠DPA, 在△BPC和△DPA中， PD=PB ∠BPC=∠DPA PC=AP .△BPC≌△DPA(SAS) .∠C=∠A, 在△CPF和△APE中， CF=AE ∠C=∠A PC=AP' .△CPF≌△APE(SAS) .PF=PE,∠CPF=∠APE, ∴.∠FPE=90°，又PF=PE, ∴△PEF为等腰直角三角形， ·∠PEF=45°， ∠BEP=135°： ② PO PO=1 线段的长度不变，且 ,理由如下： 如图，过D作DG1y轴于G, G 9 H OA B X PB=PD∠BPD=90° 在△DGP和△POB中， ∠DGP=∠POB ∠GPD=∠OBP PD=PB ∴.△DGP≌△POB(AAS) ∴DG=OP=h,PG=OB=3, .D(h,3+h) 过C作CHLy轴于H, △CHP≌△POA(AAS) 同理得： ..CH=PO=h,PH=OA=1, .C(-h,h-1) 设直线CD的解析式为：y=a+b, hk+b=3+h 把C、D两点的坐标代入得：-hk+b=h-1, h 解得：b=h+1, :.直线CD的解析式为：y= x+h+1 h ∴.Q(0,h+1) ∴.PQ=OQ-OP=h+1-h=1 5.阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等 三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路. D 图1 图2 图3 备用图 【问题解决】 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥CE于点D, BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (②)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D, BE LCE E AD=2cm DE=1.6 cm BE 于点， ,求的长： 【拓展延伸】 3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 -2,6),点8的坐标 6,2）,第一象限内是否存在一点P, 使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标. 【答案】I)CD=BE (2)BE=0.4cm 6)存在；P点的坐标为：(10,10).(2,14(4,8) 【分析】(I)利用AAS证明△ADC≌△CEB,即可得到CD=BE: (2)利用AAS证明△BCE≌aCAD,再利用全等三角形的性质运算即可； (3)分类讨论P点的位置，结合全等三角形的性质运算即可. 【详解】(I)解：CD=BE,理由如下： :AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠D=∠E=90°=∠ACB, ,∠D+∠DAC=∠ACE=∠ACB+∠BCE, .∠DAC=∠BCE, ∴.在△ADC与aCEB中， ∠D=∠E ∠DAC=∠BCE AC=BC △ADC≌△CEB(AAS) ..CD=BE: (2)解：，AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠E=∠ADC=90°. ,∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， .∠BCE=∠CAD, ∴.△BCE和△CAD中， ∠E=∠ADC ∠BCE=∠CAD BC=AC △BCE≌aCAD(AAS) :.BE=CD,CE=AD=2cm」 .'BE CD=CE-DE=2-1.6=0.4cm: (3)解：存在，理由如下： ①：当PB=AB,∠ABP=9O°时，过点B作平行于x轴的直线DE,AD⊥DE于点D,PE⊥DE于点E, 如图所示： y A B 1(-26)B(6,2) AD=6-2=4BD=6-(-2)=8 由(1)同理可证△ABD≌△PEB, ∴.AD=BE=4,PE=BD=8, :P点的横坐 =BE+x,=4+6=10,P点的纵坐标 PE+yg=8+2=10 P(10,10) ②：当PA=AB,∠PAB=90°时，过点A作平行于y轴的直线GF,PG⊥GF于点G,BF⊥GF于点F, 如图所示： G Fh B :1(-26)8(6,2) ：4F=6-2=4BF=6-（-2)=8 由(I)同理可证△PGA≌△AFB, .PG=AF=4,GA=BF=8, :P点的横坐 =PG+x=4+(-2)=2,P点的纵坐标 GA+y4=8+6=14 P2,14 ③：当PA=PB,∠APB=90°时，过点P作平行于x轴的直线MN,AM L MN于点M,BN⊥MN于点 N,如图所示： M PN B 设P(a,) 1(-2,6)B(6,2) :PN=。-,=6-a,NB=n-%=b-2.PM=-x=a-（-2)=a+2MA=y,-y,=b-6 由(I)同理可证△APM≌aPBN, .PN=MA,PM=NB, 6-a=b-6 ∴.a+2=b-2, a=4 解得：1b=8 P(4,8) 综上，P点的坐标为： (10,10)(2,14)(4,8) 6.如图l,△ABC中，点M,N分别在AC边、BC边上.数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相 等”展开探究活动. M B N 图1 图2 (I)【课本再现】如图2，△DEF≌△ABC,请用尺规在△DEF中画出与△ABC中线段MN相对应的线段PO 并说明MN=PQ (2)【深入探究】小组同学探究得到△ABC边上存在点P,Q,连接PO,使得PO=MN且PO∥MN.请 从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程. 作图步骤 示意图 说理过程 ①过点M作 已知：如图， MP∥BC交AC MP∥BC, 于点P: A NO=MP ②在NC上截取 方法一 M NO=MP P 求证：PQ=MW B N oc ③连接PQ 且PQ∥MN PQ即为所求作的 证明：连接WP 线段 … ①过点M作 MR∥AC交BC 已知：如图， 于点R; MR∥AC, 方法二 ②在BC上截取 M CO=RN, P CQ=RN,在 CP=RM: BNR AC上截取 求证：PQ=MW CP=RM ③连接PQ」 且PQ∥MN PQ即为所求作的 线段 证明：… B)【创新突破】如图3，请用尺规在△ABC边上作出点P和2，连接PO,使得PO=2MN,且P∥MN 保留作图痕迹，并简要说明作图步骤 A M B N 图3 【答案】Q)如图，线段PO即为所求作， D M B N 图1 图2 理由如下： .△DEF≌△ABC, ∴.∠E=∠B, 又：EP=BM,EQ=BN, :.aEPQ≌△BMW :.PO=MN; (②)方法一：已知：如图，MP∥BC,NQ=MP, 求证：PO=MN且PQ∥MW 证明：连接WP, A M B N OC .MP∥BC, .∠MPN=∠PNg, 又：MP=Ng,NP=NP, '.aMPN≌aQNP ·.MN=PQ,∠MWP=∠QPN, .Pg∥MN: 方法二：已知：如图，MR∥AC,CO=RN,CP=RM: 求证：PQ=MN且PQ∥MN, M P BNR 证明：：MR∥AC, ∠PCg=∠MRW, 又.CP=RM,CQ=RN, .△PCQ≌aMRN. .PQ=MN.∠PQC=∠MNR .PQ∥MN 3)如图，线段P即为所求作， E/ D G M BN FP C 图3 延长NM,截取MD=MN,交NM的延长线于点D,截取ED=MN,交NM的延长线于点E, 点F为NC上一点，连接MF, 以点E为圆心，以MF为半径作弧，以点D为圆心，以NF为半径作弧，两弧相交于点G, 连接DG并延长交AC与点Q, 截取NP=DQ,连接PQ,PQ即为所求作， 理由如下： .ED=MN,EG=MF,DG=NF, △EDG≌aMWF(SSS) ∴.∠EDG=∠MNF, ..DOll NC. .∠DQN=∠PNg. 连接№， D M B N P 图3 ..DO=NP.NO=NO. △DQW≌△PNQ(SAS) :DN=PO,∠DNg=∠PQN, .DN∥Pg, .DN =2MN. .PO=2MN 【分析】(I)在ED,EF上分别截取EP=BM,E2=BN,连接PO,即为所求作： (2)通过证明三角形全等，找到对应边和对应角相等，进一步得到两直线平行： (3)延长NM,截取MD=MN,作∠EDG=∠MNF,得到DOBC,DQ与AC交点为点O,在C上 截取NP=DL,连接PO,可证得△DON≌aPN№，则得到DN∥PO,PO=DN=2MN, 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 7.综合与实践： ① ② ③ (I)【基础巩固】如图①，已知AB与EF相交于点G,∠A=∠B,G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG (2)【深入探究】如图②，在(I)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于点C,若 AD=DE.当ED=5cm,CG=2cm时，求AB的长. )【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G, 在4AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG;延长EG到点F,使 GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上.若测量出BC=50m,则河流 AH=50m,请说明理由 【答案】Q)证明：G是AB的中点， .AG=BG 在△AEG和△BFG中， 「∠A=∠B AG=BG ∠AGE=∠BGF' △AEG≌△BFG(ASA) 14 cm (2) 3)若测量出BC=50m,则河流AH=50m,理由如下： .GC=HG,GF=EG,∠HGE=∠CGF, △HGE≌ACGF(SAS) ∴.∠E=∠F,HE=CF, :∠E=∠F,GF=EG,∠AGE=∠BGF, △AGE≌△BGF(ASA) ∴AE=BF, .AE-HE =BF-CF, .BC=AH, ∴.若测量出BC=50m,则河流AH=50m 【分析】(1)利用ASA证明△AEG≌△BFG即可； (②在()的条件下，4G=BG,△1BG≌△BFG(ASA),得到，=5，玩，利用面积相等得到高相 等，即DE=CF,再证明 EDG≌△FCG(AAS) 得到D=DE=5cm,DG=CG=2cm,最后根据 AB=2AG=2(AD+DG) 计算即可： △HGE≌△CGF(SAS △AGE≌△BGF(ASA) (3)先证明 ,得到∠E=∠F,HE=CF,再证明 得到 AE=BF,则AE-HE=BF-CF,即可得到BC=AH. 【详解】(1)略 (2)解：在(1)的条件下，AG=BG,△AEG≌△BFG(ASA) SAAEG=SABFG .ED⊥AG,FC⊥BG, 1 .S8o= EDAG-S.wo-CF.BG 2 .DE=CF. :∠AGE=∠BGF,∠EDG=∠FCG=90°， △EDG≌△FCG(AAS) ..DG=CG. AD=DE,ED=5cm,CG=2cm, .AD=DE =5 cm,DG=CG=2cm, AB=2AG=2(AD+DG=2×(5+2)=14cm (3)略 8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点 A出发沿AC边向终点C运动；动点Q从点B出发沿BC边向终点C运动.点P和点Q的速度分别为 1cm/s 2cm/s C P 和 两点同时出发并开始计时，设运动时间为秒，当点到达终点时，点也随之停止 运动， (1)AP= cm,Co= cm(用含t的代数式表示)： ②当5a=5a时求'的值： )分别过点P和点作PE⊥1于点E,QF1I于点F,则当1=】 秒时，△PEC与△QFC全等. 【答案】)5(8-2) (2)t=2.4 3)2 【分析】(1)由题意，结合路程=速度×时间求解即可： (2)在(1)所求线段基础上，由三角形面积公式表示出 1BrSa400,根据 ABP=SM△ce列方程求解即 可； (3)由题意得出需要△PEC与△QFC有一组对应边相等即可确定△PEC与△OFC全等，从而得到PC=CD, 由此列出关于的方程求解即可. 【详解】(1)解：如图所示： P 由题意可得4P=cm,CQ=CB-B0=(8-2)cm (2)解：如图所示： 4 S号4-sc-8=S号c04c-8-20k6=24-6 21 SABr=Sa4c0时， 1=24-61,解得1=2.4 (3)解：如图所示： .PE⊥1QF⊥1 ∴.∠PEC=∠OFC=90° 则∠PCE+∠CPE=90°， 在△ABC中，∠ACB=90°，则∠PCE+∠QCF=90°， ∴∠CPE=∠QCF, 由两个三角形全等的判定定理，只需要△PEC与△QFC有一组对应边相等即可确定△PEC与△QC全等， PC=CO△PEC≌△CFQ AC-AP=CO 当 时， ，此时 ∴.6-t=8-21,解得t=2 9.综合探究 【初步探索】 C D 图1 图2 图3 I)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是： 延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌aAGF,可得出结论， 他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 【答案】I)∠EAF=∠BAE+∠FAD (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， .∠B=∠ADH, AB=AD △ABE≌△ADH(SAS) ∴.∠BAE=∠DAH,AE=AH, .EF =BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF, ÷△1 EFAHF(SS) ∴.∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF: 3)121 【分析】(1)根据题意可进行求解： (2)延长FD到点H,使得DH=BE,由题意易得 ABE≌ADH(SAS),则有 BAE=∠DAH,AE=AH △AEF≌△AHF(SSS) 然后可得 进而问题可求解： (3)在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接4G,由题意易 ,△ADG≌△ABE(SAS ,则有 4G=4E:∠DAG=∠BHB,然后可得△ABF24GF(SS）,进而可得<FAE=180-<D4B,镜后问 题可求解。 【详解】(I)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1 .∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°=∠B. AB=AD, ,△ABE≌△ADG(SAS) ÷∠BAE=∠DAG,AE=AG .EF BE+FD DG+FD=GF,AF=AF, .△AEF≌AAGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (2)略 (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, AB=AD, △ADG≌AABE(SAS) .AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE FD DG+FD=GF,AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG, ,∠FAE+∠FAG+∠GAE=360° ,2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° 2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=360 DAB ·∠FAE=180°-1 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， .∠DAB=180°-∠C=118°， .∠FAE=180- 2X118°=1210 10.【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”，今天，就让 我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体 会数学与生活的联系. 在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC;在△DEF中，∠FDE=90°，∠FED=30°.我们将用三种不同方式摆 放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】 (I)课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点A摆放在线段EF上时，过 点C作CG⊥EF垂足为点G,过点B作BH⊥EF垂足为点H. G ◇X2 A 图1 ①小明率先设计了问题，想找出一对全等三角形，并写出了解答过程，请你帮他在横线上填出推理所得的 结论. 解：∠CAB=90°，∠1+∠2=180°-∠CAB=90°. :CG⊥EF,BH⊥EF, ∴.∠CGA=∠AHB=90° 则在Rt△CGA中，∠1+∠3=90°. .∠2=∠3 在△CGA和△AHB中， :∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB, ∴.△CGA≌ (AAS). ②若CG=2,BH=3,则GH= 【比照推演】 (2)小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点C在线段DF上 时，过点B作BM⊥DE垂足为点M,请你猜想线段BM,MD,DC之间的数量关系，并说明理由.在这 个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑，这就是数学的“变中不变”之美 C 图2 【纵深探究】 (3)挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点A在线段DF上且顶点C在线段DE上时，若 AD=6,连接BD,求△ABD的面积.此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法， 迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力， E 图3 【凝思悟理】 同学们，今天的课堂探究先告一段落，在感受几何图形的奇妙、体会数学与生活紧密联系的同时，也请大 家带着今天收获的探究方法，认真完成问题解答.愿我们都能在动手与思考中，发现数学之美，学会用逻 辑的眼光看待世界. 【答案】(I)①△AHB,②5 ②)BM=DC+MD,理由如下： :∠BAC=90°， :.∠BAM+∠DAC=90°， .∠ADC=90° .∠DAC+∠ACD=90°， ∴.∠BAM=∠ACD, ,BM⊥DE, .∠BMA=∠ADC=90°， AB=AC :△BHM≌AACD(AAS) .AM=CD,BM AD. AD=AM+MD, .BM DC+MD: 3)18 【分析】(1)①根据题意，利用全等三角形的判定即可证明； ②利用全等三角形的性质即可解答： (2)根据题意及角度等量代换，证明 BAM≌ACD(AAS),即可解答： (3)过B作BM L AD交直线4D于M,证明△C1D2,BAM(AS),得到4D=BM=6, 最后根据 So=2AD,BM计算即可. 【详解】(1)解：①：∠CAB=90°， ∴.∠1+∠2=180°-∠CAB=90°， :CG⊥EF,BH⊥EF, ∴.∠CGA=∠AHB=90°， 则在Rt△CGA中，∠I+∠3=90°， .∠2=∠3， 在△CGA和△AHB中， :∠CGA=∠AHB,∠2=∠3，AC=AB, .△CGA≌△AHB(AAS) ②△CGA≌△AHB, ..CG=AH=2,AG=BH=3, .GH=GA+AH=3+2=5: (2)解：略 (3)解：过B作BM⊥AD交直线AD于M, E M D B A 图3 由三角板可得AC=AB,∠CAB=∠EDF=∠M=90°， .∠CAD=∠ABM=90°-∠BAD, ACAD≌△BAM(AAS) .AD=BM AD=6, .AD=BM=6, &Sm54DBM-x6x6=18 2 11,如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.D是直线AB上任意一点，连接CD,过点C作 CE⊥CD,且CE=CD,过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接BE,分别交AC,CD于点M,N A A D B 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段AB上时，AD与CF相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=2, ①AM的长度为， ②设△NC的面积为，四边形4DNM的面积为8，测S St-S2 的值为■ (3)如图2，当点D在线段BA的延长线上时，点M是线段BE的中点吗？说明理由. 【答案】I)解：AD=CF,理由如下： :∠A=90°， .∠ADC+∠ACD=90°， .CE⊥CD .∠DCE=90° .∠ACD+∠FCE=90°， .∠ADC=∠FCE: :EF⊥AC, .∠EFC=90°=∠A. 又，CE=CD △ADC≌△FCE(AAS) ...AD=CF: (2)①2：②6 (3)解：点M是线段BE的中点，理由如下： ,∠BAC=90° .∠CAD=180°-∠BAC=90°， .∠ADC+∠ACD=90° ,CE⊥CD .∠DCE=90°， ,∴.∠ACD+∠FCE=90°， .∠ADC=∠FCE :EF⊥AC, .∠EFC=90°=∠A, 又：CE=CD」 △ADC≌△FCE(AAS) .EF=AC, 又AC=AB, .AB=EF, 又：∠BAM=∠EFM=90,∠AMB=∠FME, .△AMB≌△FME(AAS) ∴.BM=EM, .点M是线段BE的中点. 【分折1①证明△MDC@FCE(AAS),即可得到AD=CF: (2)①由全等三角形的性质得到FE=AC,则可得到AF=AC-CF=4,FE=AB,证明△AMB≌△FME 即可得到MM=FM=24F=2,②证明aABM≌△ACD(SAS),得到SABu=SAMo,则可证明 SABDN=S△CN ,-S2=S△BCM-S△MBM 进而得到 据此根据三角形的面积公式求解即可： (3)先证明△ADC≌aFCE,得到EF=AC,再证明△AMB≌△FME,即可得到BM=EM. 【详解】(1)略 (2)解：①由(1)得△ADC≌aFCE,CF=AD=2, ..FE=AC: AC=AB=6. .AF=AC-CF=4,FE=AB. :EF⊥AC, ∴.∠EFM=∠A=90°， 又：∠AMB=∠FME, △AMB≌△FME(AAS) a4M=PM=号4=2， ②由(2)①得AM=2=AD, 又：∠A=∠A,AB=AC, △ABM≌△ACD(SAS) S△ABM=S△HCD SABM-S边形HDM=S△MCD一S四边形ADNW SABDN SACMN S1-S2 =(S:+S.CMN)-(S2+S.BDN) SABCM-SAABM 6x6-2-6x2 =6: (3)略 12.阅读以下材料，完成以下两个问题 【阅读材料】己知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 B D E G D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF; 3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 【答案】I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, D E G 在△DFE和aCGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴.△DFE≌ACGE(SAS) ∴.DF=CG.∠DFE=∠G, DF=AC, ..CG=AC. .∠CAG=∠G, DF∥AB, ∠BAE=∠DFE, .∠BAE=∠CAG, ∴.AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, B D G 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴.△ACE≌△GDE(SAS) ∴AC=DG,∠CAE=∠G DF=AC. :DG=DF, ∠DFG=LG, DF∥AB, .∠DFG=∠BAE, ∴.∠BAE=∠CAE, ∴AE平分∠BAC: (②)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, 是 边上的中线， .AD BC ∴.BD=CD 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴.△ACD≌AGBD(SAS) ∴.BG=AC,∠ACD=∠GBD, BG∥AC .∠ABG+∠BAC=180° AC=AF, ..BG=AF. ∠BAE=∠CAF=90° ∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=18O°-∠BAC, ∴.∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△AEF≌△BAG(SAS) :.∠AEF=∠BAG 设AD与EF交于点H, .∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又：∠AEF=∠BAG, .∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF, (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下： 由(2)可知△ACD≌aGBD S.ACD =S.GBD .c+SG.o0 S△AMBC=S△ABG 由(2)可知△AEF≌aBAG. S.AEF=S.4BG S.AEF=S.ABC 【分析】(1)方法O:延长FE至点G,使GE=FE,连接CG,证明9 △DFE≌aCGE(SAS ,得到 DF=CG,∠DFE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=∠CAG,即可证明： 方法@：延长1E至点C,使GE=A5,连接DG,证明△1CE≌aGDE(SAS) ,得到4C=DG ∠CAE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=∠CAG,即可证明： (②)延长AD至点G,使GD=AD,连接BG,证明△1CD2,GBD(SAS),得到BG=AC, ∠ACD=∠GBD,进而推出BG=AF,∠EAF=∠ABG,再证明 AEF≌△BAG(SAS) 即可得出 ∠AEF=∠BAG,设AD与EF交于点H,由LBAE=90°，即可得出∠BAG+∠EAH=90°，等量代换可得 出∠AEF+∠EAH=90°，由三角形内角和定理即可得出∠AHE=90°. 【详解】(1)证明：略； (2)证明：略： (3)解：略： 13.【问题探究】 B G D 图① 图② (I)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D,过点D作AD的垂线，交AB边于点E、交AC 的延长线于点F,过点E作EG∥AC交BC边于点G.试说明：BC-BG=2CD: 探究如下：某同学思考这道题时，想通过推理△ADE和△ADF全等，得到DE=DF,进而可得△DEG和 △DFC全等，最终得出结论.请你据此写出推理过程。 【问题解决】 (②)如图②为一个工业区示意图，点A为入口，B、C为两个仓库，小路AD平分△ABC的外角∠CAE,E、 F分别在BA、AC的延长线上，点D为装配厂，点E、F分别是粗加工厂和精密加工厂，且AD⊥EF于点 D,EG、DG是两条运输公路，EG∥AC交BC的延长线于点G,G处修建一个配送中心，现要沿BG修 建一条笔直的运输轨道(C、D在BG上)，请你帮助管理人员探究BC、BG、CD之间的数量关系，并 说明理由.（仓库、装配厂、配送中心、粗加工厂和精密加工厂的大小及小路、公路、运输轨道等的宽度 均忽略不计) 【答案】I)AD平分∠BAC, ∴.∠DAE=∠DAC, AD⊥EF, ∴.∠ADE=∠ADF=90°， 又AD=AD, ∴.△ADE≌△ADF(ASA) .DE=DF, EG∥AC, ∠DEG=∠F 又∠EDG=∠FDC, ∴.ADEG≌△DFC(ASA) ∴.DG=DC ..BC-BG=CG=2CD (2)BG-BC=2CD 理由：：AD平分△ABC的外角∠CAE, ·∠DAE=∠DAF, AD⊥EF, .∠ADE=∠ADF=90°， 又：AD=AD, ∴.△ADE≌△ADF(ASA) :DE =DF, △DEG≌ADFC(ASA) 同理可证， .CD=DG .BG-BC=CG=2CD ADE≌AADF(ASA) 【分析】(1)利用角平分线和垂线，先证明 再结合平行线的性质，证明 △DEG≌ADFC(ASA ,得到DG=DC,即可得证： (2)同()理，先证明△1DE≌a4DF(AA) 再证明 DEG≌△DFC(ASA) 即可求解， 【详解】(1)略 (2)略 14.【问题解决】 B 图1 图2 图3 (I)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌△EDB,其中判定全等的依据为—： 【问题应用】 (②)如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，连接AE,且AC平分∠DAE,∠E=∠BAD, 延长AD至M,使DM=AD,连接CM,试探究线段AE与AD之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 )如图3，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成.工人师 傅以A点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂AB、AE( AB=AE,∠BAE=90°)，第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂AC、AF(AC=AF,∠FAC=90° ),连接CB交AE于点D,且AD为△ABC的中线，为保证配件受力均衡，在线段DE上截取DH=AD, AE>AH,连接CH用于加固结构，最后连接EF形成辅助平衡边.为精准把控配件尺寸与安装角度，请 探究AD与EF之间的数量关系，并说明理由， 【答案】I)SAS (②)AE=2AD,理由如下： ABD≌AMCD(SAS) 由(1)知 ∴.∠M=∠BAD, ,∠E=∠BAD, ∠M=∠E, :AC平分∠DAE, .∠MAC=∠EAC, 在△ACM和△ACE中， [∠M=∠E ∠MAC=∠EAC AC=AC △ACM≌△ACE(AAS) .AE=AM, DM=AD, .AE=AM=2AD: 3)EF=2AD,理由如下： ,AD为△ABC的中线， .BD=CD 在△ABD和△HCD中， BD=CD ∠ADB=∠HDC AD=HD △ABD≌△HCD(AAS) .AB=CH,∠CHD=∠BAD=90°， 又，AB=AE, .AE=CH, :∠FAC=∠CHD=90° :.∠FAE=∠ACH=90°-∠CAH, 在△AEF和△CHA中， AE=CH ∠FAE=∠ACH AF=CA △AEF≌△CHA(S,A,S） .'EF=AH, DH=AD .EF AH=2AD 【分析】(I)根据中线的定义得BD=CD,再结合∠ADC=∠EDB、AD=ED,即可由SAS证明 AADC≌AEDB； (2)由(1)知 1BD2,MCD(SAS),则∠M=∠B1D,再证明MCMa1CE(1HS）,则4E=AM,然 后由DM=AD,等量代换即可得出结论： (3)先证明 D,CD(S4B=Cn,∠CD=aD=0,勇E到4EaCH45A得 EF=AH,进而可得结论， 【详解】(I)解：：AD是△ABC的中线， ..BD=CD. 在△ADC和△EDB中， DC=DB ∠ADC=∠EDB AD=ED △ADC≌△EDB(SAS) (2)略 (3)略 15,一次综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含60°角的直角三角尺△EFG( ∠EFG=90°，∠EGF=60°)的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动. D M S G 图① 图② 图③ (1)【初步体验】如图①，三角尺的60°角的顶点G在CD上.若∠2=50°，则∠I的度数为°. (②)【基础巩固】如图②，小彬把60°角三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在AB和CD上，请你探索 ∠AEF与∠EGD之间的数量关系，并说明理由， )【强化应用】如图③，小强将一把含45°角三角尺的三个顶点E、F、G分别放在三条平行线AB、CD、 上当直角顶点”上时，若点、点的分别落B、w上过h作公LD于内 MN F CD G 于点， 交AB,MN于点O,S,且QF=lcm,FS=2cm,求△EFG的面积. 4)【拓展探究】在(3)的条件下，AB与CD间的距离为lcm,CD与MN间的距离为2cm,是否存在等 腰直角△EFG的直角顶点F分别在AB或MN上时，点E、点G也恰好在其他两条直线上的情况？若存在， 则此时△EFG的面积为cm2(只写答案不用写解答过程)， 【答案】1)70 2)∠EGD=∠AEF+30°，理由如下： AB II CD .∠AEG=∠EGD, .∠AEG=∠AEF+∠EF,∠GEF=180°-∠EFG-∠EG=30°， ∴.∠EGD=∠AEF+30°. 5 6)2cm 13 ④5cm2或2cm 【分析】(1)根据题意可计算出∠EGD=70°，由AB‖CD可得∠1=∠EGD=70°： (2)由AB‖CD可得，∠AEG=∠EGD,结合∠GEF=30°可得∠EGD=∠AEF+30: (3)容易证明 EF02aFGS(41S）,则GS=0F=lcm.E0=PS=2cm,用梯形Q5c △EFQ 的面积减去 和△F5的面积即可得到△EFG的面积： (4)分两类讨论，当点F在AB上时，作EH⊥AB于点H,作GI⊥AB于点I,容易证明 △EFH≌AFGI(AAS ,则F1=EH=lm,FH=G1=3cm,用梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可： 当点F在MN上时，作EJ⊥MN于点J,作GK⊥MN于点K,同样的方法进行计算即可. 【详解】(1)解：：∠EGF=60°，∠2=50°， .∠EGD=180°-∠EGE-∠2=70°， .AB‖CD, ∴.∠1=∠EGD=70°： (2)略 (3)解：根据题意，△EFG是等腰直角三角形， ∴.EF=FG,∠EFG=90° “∠QFE+∠SFG=180°-∠EFG=90. .OS⊥CD, 又AB∥CD∥MN, :QS⊥AB,⊥MW, ∴.∠FQCE=∠FSG=90 .∠QFE+∠QF=180°-∠FQE=90°. :.∠QEF=∠SFG 在△EFO和△FG中， ∠QEF=∠SFG ∠FQE=∠FSG EF=FG △EFQ≌△FGS(AAS) ..GS=OF =1cm,EO=FS=2cm, :S0=0F+S=3em) SAE6=S梯形5E-S△E0-S△Fs -(SG+EQ)-SQ-1EQ-OF-]Fs.GS 0+2x31x2分 ×1×2 -em方 (4)解：①当点F在AB上时，如图，作EH⊥AB于点H,作GI⊥AB于点I, A F E M -M :EH⊥AB,GI⊥AB, .∠EH=∠FIG=90°， ∴.∠EFH+∠FEH=180°-∠EH=90°， 由题意可知， EH=1cm GI=1+2=3(cm) :△EFG是等腰直角三角形， .EF=FG,∠EFG=90°， ∴.∠EFH+∠GFI=90°， .∠FEH=∠GFI, 在△EFH和△FGI中， I∠FEH=∠GFI ∠EHF=∠FIG EF=FG ,△EFH≌△FGI(AAS) .FI=EH =1cm,FH =GI=3cm, H=FH+FI-4(cm) S△EF6=S梯形EaH-S△EFH-S△Fa (GI+EH)-GIF 0+3水4-x3x1-x3x1 2 =8-33 22 =5(cm）. ②当点F在MN上时，如图，作EJ⊥MN于点J,作GK⊥MN于点K, B GD -N .EJ⊥MW,GK⊥MN, ..EJ=3cm,GK=2cm, EFJ≌△FGK(AAS) 同理①可证明 ..FJ=GK =2cm,FK=EJ=3cm, ..JK=FJ+FK-5(cm) SAE6=S梯形EG-SA明-SArG -(GK+EJ)JK-iFJ-EJ-iGK-FK =×+30k5-2x3x2x3 -3-3 13。 综上所述，△EFG的面积为5cm或2cm 16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,O为BC边上的点（不与两端点B、C重合），过点B作 BE⊥AO的延长线于点E,BE交AC的延长线于点D. 备用图1 备用图2 (I)试说明：△AOC≌△BDC (2)若BE=6,ED=14,点P从点B出发，沿射线BD以每秒5个单位长度的速度运动，设点P的运动时间 为t秒，求t为何值时，△AOP的面积为l0 3)在(2)的条件下，点旦从点O出发，沿线段OA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P,Q两点同 时出发，当点Q到达A点时，P,Q两点同时停止运动.点F是射线AC上的一点，若DF=BO,问是否 存在t值，使得以点B,O,Q为顶点的三角形与以点D,F,P为顶点的三角形全等？若存在，请求出 符合条件的t值；若不存在，请说明理由. 【答案】I)证明：：∠ACB=90°， .∠BCD=180°-∠ACB=90°， ∴.∠ADB+∠CBD=90°， :BE⊥AO ∴∠AED=90° .∠ADB+∠CAO=90°， ∴.∠CAO=∠CBD 又：∠ACO=∠BCD=90°，AC=BC, ∴.△AOC≌ABDC(ASA) 2)1=1或'3 8存在，当=或1=号秒时，△00与△DFP全等 20 【分析】(I)根据题意先推出∠CAO=∠CBD,再由∠ACO=∠BCD=90°，AC=BC,即可证明 △AOC≌△BDC: (2)根据题意，分两种情况讨论：①当点P在线段BE上时；②当点P在射线ED上时，综合两种情况 即可得到△AOP的面积为l0时，t的值： (3)根据题意，分为两种情况讨论：①当点P在线段DE上时：②当点P在BD的延长线上时，根据全 等可反推出DP=OO时，然后列方程求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图1，由(1)知△AOC≌△BDC, ..0A=BD=BE+ED=6+14=20. ① 当点P在线段E上时， PE=BE-BP=6-5t ∴S60=)0A.PE=×20x6-5010,解得1=19 当点在射线 上时， E B② ED PE BP-BE=5t-6 Sm=01PE=20x51-6=0,解得，- 综上所述，当f=1或'“了秒时，Sao0, 7 (3)解：存在 由(1)知△AOC≌△BDC, ∴.∠AOC=∠BDC. ∴.180°-∠AOC=180°-∠BDC∠BOQ=∠PDF ,即 ① DE 如图2，当点在线段上时， ,且 0 E A B 图2 ∠BOQ=∠PDF DF=BO DP=00 △OBO≌△DFP 时， 此时DP=20-5t,O0=2t, 20 20-51=21,解得=7， ② P BD 如图3，当点在的延长线上时， ,且 OE 图3 ∠BOQ=∠PDF DF=BO 当 P=O0 △OBQ≌△DFP 时， 此时DP=5t-20,O0=2t, .51-20=21,解得t=?. 20 20 综上所述，当1=气或t=3秒时，△0BQ与△DFP全等. 17.我们已经学习了很多有关角平分线的知识，例如：角平分线的性质.实际上，还有另一个重要的定理： “三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点”，即如下图在△ABC中，∠ABC、 ∠DAC、∠ACE的角平分线交于同一点P.根据上述材料回答以下问题： H 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC的三条内角平分线交于点O,过点O分别作AB、BC、CA边上的垂线段O)J、OH、 OI.若△ABC的周长为16，OH=2,求△ABC的面积： (②)如图2，在△ABC中，D、E分别在BA、BC的延长线上，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点P,连接 BP,若∠DAP=45°，∠PCE=65°，求∠PBC的度数： B)如图3，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于点D,延长AD至点E,使AD=DE,连 接EC.过点C作∠ACB的角平分线交AD于点F.若CF⊥CE,BD=L,求△ABC的周长. 【答案】(1)16 2)20° 6)8 【分析】(I)首先根据角平分线的性质求出OH=OJ=O1=2,然后利用△ABC的面积 =SAo+S4oc+Saoc0整体求解即可： (2)首先根据角平分线的定义得到∠DAC=2∠DAP=90°，∠ACE=2∠PCE=130°，然后结合平角的定义 和三角形内角和定理求出∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=40°，然后得到BP平分∠ABC,进而求解即可： (3)过点F作FG⊥BC,FI⊥AB,FJ⊥AC,过点E作EH⊥BC,连接BF,连接BE,延长AC到N, 延长AB到点M,由题意可得BF平分∠ABC,BE平分∠MBC,得到BH=EH，,由 △ABD≌△EHD(AAS),可得BH=EH=AB=2,由 t△FIB≌Rt△FGB(HL) R△AF≌R△AUF(H),R△CF≌Rt△CGF(HL),可得BI=BG,MI=AW,C=CG,再由 △FGC≌△CHE(AAS ,可得C=GC=2,最后由AMBC的周长为I+B1+CG)x2 可求出结果。 【详解】(1)解：：△ABC的三条内角平分线交于点O,OH⊥BC,OJ⊥AB,OI⊥AC, .0H=0J=01=2. ,S△MBc=S△4OB+S△Moc+S△Boc =AB.0J+1AC.01+1BC.OH =ABx2+4Cx2+BC×2 =AB+AC+BC =16 (2)解：∠DAC和∠ACE的角平分线交于点P,∠DAP=45°，∠PCE=65°， .∠DAC=2∠DAP=90°，∠ACE=2∠PCE=130° :.∠BAC=180°-∠DAC=90°，∠ACB=180°-∠ACE=50°， :.∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=40°， ,三角形的一条内角平分线，和另外两个内角的外角平分线交于同一点， .BP平分∠ABC, :4P8c-号48c=20 (3)解：过点F作FG⊥BC于点G,FILAB于点L,F⊥AC于点J,过点E作EH⊥BC于点H,连接 BF,连接BE,延长AC到N,延长AB到点M, D M ,△ABC的内角∠BAC、∠ACB的平分线AD、CF交于点F, 六BF平分ABC,∠FCB=)∠ACB. .FI=FG=FJ, :∠ACB=180°-∠BCN, 3∠FCB-I80P-∠BCN)=0-5∠BCw, :CF⊥CE, &∠BCE=90°-∠PCB=∠BCN. :.CE平分∠BCN,即CE是△ABC的外角平分线， ∴.BE平分∠MBC, .∠EBH=45°， ∴.△BHE是等腰直角三角形， ∴.BH=EH, .∠ABC=90°，EH⊥BC, ∴.∠ABD=∠EHD=90°，AB∥EH, 在△ABD与△EHD中 ∠ABD=∠EHD ∠ADB=∠EDH AD=ED △ABD≌△EHD(AAS) .BD=DH=1,AB=EH. .BH=EH AB=2, 在Rt△FIB与Rt△FGB中 FB=FB FI=FG Rt△FIB≌Rt△FGB(HL) .BI=BG Rt△AIF≌Rt△AJF(HL)Rt△CJF≌Rt△CGF(HL) 同理： ..AI=AJ,CJ=CG, :FC⊥CE,EH⊥BC, .∠FCG+∠ECH=90°，∠HEC+∠ECH=90°， ∴.∠FCG=∠HEC, ,△ABC的内角∠BAC、∠ACB的平分线AD、CF交于点F, ∠BAD+∠RcG3B4C+4CB∠BHC+LACB)=45, :AB∥EH, ∴.∠BAD=∠DEH, .∠DEH+∠HEC=45°， “.△FCE是等腰直角三角形， ..FC=EC, 在△FGC与△CHE中 ∠FGC=∠CHE ∠FCG=∠HEC FC=EC △FGC≌△CHE(AAS) “.GC=EH=2, ..CJ=GC=2, :△ABC的周长为 A+BI+CG)x2=(AB+CG)×2=(2+2)×2=8 18.如图，AD为△ABC的高，O为AD上一点，连接BO并延长交AC于点E,OD=CD,AD=BD, AC-12,且c4 A E δ O D D 图1 图2 备用图 (1)CE= AE= (②)请求出B0的长度： 3)判断BO和AC的位置关系，并说明理由； 4)有一动点Q从点A出发沿射线AE以每秒4个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒. ① AE △BOO 18 智慧小组提出问题：当点在线段上时，满足 的面积为，请直接写出的值： ② OB 1 为了更好的研究动态几何中的全等三角形，博学小组提出问题：动点”从点出发沿线段以每秒 个单位长度的速度向终点B运动，P,Q两点同时出发，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动， 点F是直线BC上一点，且CF=AO,当△AOP≌△FCO时，请直接写出t的值. 【答案】1)4,8： (2)12 3)BO⊥AC,理由如下： ,△BDO≌△ADC, .∠OBD=∠CAD, :∠BOD=∠AOE,∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，∠AOE+∠OAE+∠AEO=180°， ∴.∠AEO=∠ODB=90°. .BO⊥AC: 512 ④)①4：②5或4 【分析】 ()根据线段的和与差即可求解： (2)证明△BDO2△1DC(S4S）,然后通过全等三角形的性质即可求出OB=4C=12, (3)由BDO2aADC,则有∠OBD=∠CAD,又∠BOD=∠A0E,∠OBD+∠ODB+∠BOD=180° ∠AOE+∠OAE+∠AEO=180°， 从而可得∠AE0=∠ODB=90°： (④0(2)得B0=12由B)得B014C,通过Sae号80xQE,求得OE=3,所以40-5：从而求 I F 分》当厂在线段8C上，P在线段4C上时.川当厂在线段BC上，2在线段1C的延长线上时， ②I)F BC AC AC ) 当F在线段BC延长线上，O在线段AC上时，V)如图，当F在线段BC延长线上，O在线段AC的延长 线上时，四种情况即可求解 【详解】（山解：AC-12.CE4证 CE=54C=4, .AE=AC-CE=12-4=8. 故答案为：4,8： (2)解：，AD为△ABC的高， ∴.∠ADB=∠ADC=90°， ..OD=CD,AD=BD, △BDO≌AADC(SAS) .OB=AC=12, .B0的长为12： (3)略： (A解：①如图，由2)得B0=12,由3)得801AC, Q B D S.wo0-1BOxOE 2 ∴2B0x0E=18,即2×12×0E=18, .QE=3 .AQ=AE-QE=8-3=5, 5 .1=4: ②ID F BC AC 如图，当在线段上，一在线段上时， 此时不存在△AOP≌△FCQ, D F BC Q AC 如图，当在线段上，在线段的延长线上时， OE PL B F ..OP=t,AO=4t. .CQ=AC-A0=4t-12 :△AOP≌△FCQ. ∴OP=Cg, .t=4t-12,解得t=4: ID)如图，当F在线段BC延长线上，卫在线段AC上时， A P Q B D ..OP=t,AO=41, ..CO=AC-A0=12-41 :△AOP≌AFCO, ..OP=co. 1=12-4,解得1=12 5 IV) F BC AC 如图，当在线段延长线上，在线段的延长线上时， C D 此时不存在△AOP≌△FCQ 12 综上可得：的值为5或4 19.数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学 知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地， B B 图1 图2 备用图 ()发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=30°，连接BE,CF, 延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系： ,∠BDC= (2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠AEF=∠ABC=30° ∠BAC=∠EAF=120°，连接BE,CF,延长BE,FC交于点D.请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的 度数，并说明理由： 3)拓展应用：在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°，连接BE,CF,将 △AEF绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B,E,F三点刚好在同一直线上，直接写出此时∠AFC 的度数。 【答案】I)BE=CF,30 (②)BE=CF,∠BDC=60°，理由见解析 3)∠AFC=135°或45° 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转模型及角度计算，解题的关键是 通过角的和差关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质推导线段关系与角度大小，结合特殊三角形 的角度特征进行分类讨论. (1)通过证明△ABE≌△ACF,直接得到线段相等关系，再利用对顶角与三角形内角和推导∠BDC的度 数： (2)类比(1)的全等证明思路，结合等腰三角形的底角特征，通过角度转化推导∠BDC的度数： (3)分点E在B、F之间和点F在B、E之间两种情况，结合等腰直角三角形的性质与全等三角形的结 论，计算∠AFC的度数. 【详解】(1)解：如图1，设AC交BD于点G, 图1 ,∠BAC=∠EAF=30°. .∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF △ABE≌△ACF(SAS) .∠ABE=∠ACF,BE=CF, .∠BDC=∠AGD-∠ACF=∠AGD-∠ABE=∠BAC=30°. 故答案为：BE=CF,30 (2)解：BE=CF,∠BDC=60°，理由如下： :∠BAC=∠EAF=120°， .∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF, 在△ABE和△ACF中， 「AB=AC ∠BAE=∠CAF AE=AF △ABE≌AACF(SAS) .BE=CF,∠AEB=∠AFC, ·∠EAF=120°，AE=AF, ∴.∠AEF=∠AFE=30°， ∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30)=60° (3)解：如图所示： E ,△ABC和△AEF都是等腰三角形， ·.∠CAB=∠EAF=90,AB=AC,AE=AF, ∴.∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE,即：∠BAE=∠CAF, :.△BAE≌△CAF(SAS) .∠AFC=∠AEB,, :∠EAF=90°，AE=AF, .∠AEF=45°， ,.∠AEB=180°-∠AEF=135°， .∠AFC=∠AEB=135°： 当F点在线段BE上时， 同法可证得：△BAE≌aCAF, ∴.∠AFC=∠AEB ∠EAF=90°，AE=AF, ∠AEF=45°， ∠AFC=45°； 综上，∠AFC=135°或45° 20.“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征， 灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题.某数学小组借助以下数学 问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形ABCD中， AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. G B D E B B E D D 图1 图2 图3 a)如图L,若AB⊥CB,AD⊥CD,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EMF= ∠BAD. 2 试探究线段 EF,BE,DF之间的数量关系. 数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,先证△ABG与△ADF的全等， 再证△AEF与△AEG的全等，可得到EF,BE,DF之间的数量关系.经过以上分析，直接写出线段EF, BE,FD之间的数量关系为 Q)如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，点E,点F分别在线段CB,DC的延长线上，且满足 ∠EP-BD,试探凳线段E印：船.DP之间的数量关系。并请说所理由。 B)如图3，若∠ABC+∠ADC=180°不变，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,试探究∠EAF与∠BAD的数量关系，并说明理由. 【答案】I)EF=BE+DF (2) DF=BE+EF,理由如下： 在DF上截取DG=BE,连接AG, D G B 图2 ∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180° .∠ABE=∠D, 在△ADG和△ABE中， DG=BE ∠ABE=∠D AD=AB ∴.△ADG≌△ABE(SAS) .∠DAG=∠EAB,AE=AG, ∴.∠EAG=∠BAD. 1 ZFAE-74BAD 1 ∠FME=24E1G, ∠EAF=∠GAE, 在△EAF和△GAF中， AF=AF ∠EAF=∠GAF AE=AG .△EAF≌AGAF(SAS) ∴.EF=FG, DF=FG+DG, ∴DF=EF+BE. 6)∠EAF=180°-∠BAD 2 理由：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G 、C B F 图3 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180 ∠ADG=∠ABE, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG EB=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS) .AG=AE,∠DAG=∠BAE EF =BE+DF,DG=BE .EF =DG+DF=FG, 在△AEF和△AFG中 AF=AF EA=AG EF=FG ∴.△AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG, '∠FAE+∠EAG+∠GAF=360°， ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠EAF+∠DAB=360°， C∠EAF=180°-∠BAD 【分析】(1)延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,可判定△ABG≌△ADF(SAS),进而得出 ∠BAG=∠DAF,AF=AG,再判定△AEF≌△AEG,可得结论： (2)如图2：在DF上截取DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG(SAS),进而得出 ∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AEG,可得结论： (3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接4G,先判定 △ABE≌aADG(SAS) 再判定 △AEF≌△AGF(SSS) 得出∠FAE=∠FAG,最后根据∠FAE+∠EAG+∠GMF=360°，推导得到 2∠EAF+∠DAB=360°，即可得出结论. 【详解】(I)解：结论：EF=BE+DF 理由：如图1，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, B F D 图1 在△ABG和△ADF中， BA=DA ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) ∴.∠BAG=∠DAF,AF=AG, ∴.∠FAG=∠DAB」 :∠EAF=1 ∠DAB ·∠EAF=1∠FAG 2 .∠EAF=∠EAG, 在△AEF和△AEG中， AE=AE ∠EAF=∠EAG AF=AG ∴△AEF≌AAEG(SSS) ∴.EF=EG=BE+BG, .EF BE+DF. (2)略 (3)略