2.2.4第二课时均值不等式的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件核心内容为均值不等式的应用，通过养殖场用100米篱笆围矩形鸡舍的情境导入，引导学生从实际问题抽象出数学模型，衔接课前预习的“一正二定三相等”条件与知识点梳理，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“情境—知识—例题—应用”为主线，通过数学建模（如绿化问题、货物购买问题）、逻辑推理（均值不等式条件严格应用）和数学运算（常数代换法、拆并配变形）培养核心素养。提炼“通性通法”如求最值的变形方法、应用题四步骤，帮助学生形成解题策略，既提升学生数学能力，也为教师提供系统教学资源。

第二课时　 均值不等式的应用 新课程标准解读 核心素养 1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题 数学抽象、逻辑 推理 2.会用均值不等式求解实际应用问题 数学建模、数学 运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍. 【问题】　怎样设计才能使鸡舍面积最大？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点　均值不等式与最值 已知 x ＞0， y ＞0，则 （1）若 x ＋ y ＝ s （和为定值），则当 x ＝ y 时，积 xy 取得最大值 ； （2）若 xy ＝ p （积为定值），则当 x ＝ y 时，和 x ＋ y 取得最小值2 . 即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 目录 数学·必修第一册（B版） 提醒　在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个 条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可. ①一正：符合均值不等式 ≥ 成立的前提条件， a ＞0， b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 已知 x ＞0，则 x ＋ 的最小值为（　　） B. 2 D. 4 解析：　因为 x ＞0，则 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ ， 即 x ＝ 时取“＝”，所以 x ＋ 的最小值为2 .故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知实数 x ， y 满足 x2＋ y2＝2，那么 xy 的最大值为（　　） C. 1 D. 2 解析：　由 x2＋ y2＝2≥2 xy ，可得 xy ≤1，当且仅当 x ＝ y ＝1或 x ＝ y ＝－1时等号成立.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 　​ 　，此时 x ＝ 　​ 　. 解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤ ＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时“＝”成 立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 . ​ ​ 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用均值不等式求最值 【例1】　（链接教科书第78页例4）（1）若 x ＞0，则12 x ＋ 的最 小值为 ⁠； 4 解析：因为 x ＞0，所以12 x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当12 x ＝ ，即 x ＝ 时等号成立. 所以12 x ＋ 的最小值为4. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）已知 x ＞2，则 x ＋ 的最小值为 ⁠； 解析：因为 x ＞2，所以 x －2＞0， 所以 x ＋ ＝ x －2＋ ＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当 x －2＝ ，即 x ＝4时，等号成立. 所以 x ＋ 的最小值为6. 6 目录 数学·必修第一册（B版） （3）若0＜ x ＜ ，则 x （1－2 x ）的最大值是 　​ 　. 解析：因为0＜ x ＜ ， 所以1－2 x ＞0， 所以 x （1－2 x ）＝ ×2 x ×（1－2 x ）≤ ＝ × ＝ ， 当且仅当2 x ＝1－2 x ，即当 x ＝ 时等号成立， 所以 x （1－2 x ）的最大值为 . ​ 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定 值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整 式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母 的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； 目录 数学·必修第一册（B版） （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等 式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用 均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值， 常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式 与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的 系数后，使积式中的两因式之和为定值. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 下列函数中，最小值是2 的是（　　） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　A：当 x 取负数，显然函数值小于2 ，不符合； B：由基本不等式得： ＋ ≥2 ＝2 （当且仅当 x ＝2 时取等号），符合；C：当 x ＝0时， y ＝ ＜2 ，不符合； D：同A，当 x 取负数，显然函数值小于2 ，不符合；故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知0＜ x ＜4，则 x （4－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝ ⁠. 解析：因0＜ x ＜4，则4－ x ＞0，于是得 x （4－ x ）≤ ＝4，当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时取“＝”，所以 x （4－ x ）的最大值为4. 4 2 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 利用均值不等式求条件最值 【例2】　已知 x ＞0， y ＞0，且满足 ＋ ＝1.求 x ＋2 y 的最小值. 目录 数学·必修第一册（B版） 解：∵ x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1， ∴ x ＋2 y ＝ （ x ＋2 y ）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18， 当且仅当时，等号成立， 故当 x ＝12， y ＝3时，（ x ＋2 y ）min＝18. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和 或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 已知正实数 a ， b 满足4 a ＋ b ＝18，使得 ＋ 取最小值时，实数 a ， b 的值为（　　） B. a ＝2， b ＝10 C. a ＝3， b ＝6 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　∵4 a ＋ b ＝18，∴ ＋ ＝1， ∴ ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ， 当且仅当 ＝时等号成立. 故当 a ＝3， b ＝6时， ＋ 取最小值.故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知 a ＞0， b ＞0，3 a ＋ b ＝2 ab ，则 a ＋ b 的最小值为（　　） A. 2 B. 3 解析：　根据题意，3 a ＋ b ＝2 ab ⇒ ＋ ＝1， ∴ a ＋ b ＝ （ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝2＋ ，当且仅当 b ＝ a 且3 a ＋ b ＝2 ab 时等号成立，∴ a ＋ b 的最 小为2＋ ，故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 利用均值不等式解应用题 【例3】　要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿 化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面 积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是 ⁠. （0，100] 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：设花卉宽度为 x m，显然0＜ x ＜300，则草皮面积为 S ＝（800 －2 x ）（600－2 x ），由（800－2 x ）（600－2 x ）≥ ×800×600， （ x －100）·（ x －600）≥0， 又0＜ x ＜300，故解得0＜ x ≤100. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语 言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学 模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对 应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均 值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的 结论. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 x 吨，运费为6万元/次，一 年的总存储费用为4 x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最 小，则 x 的值是（　　） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和 y ＝ ×6＋ 4 x ＝4 ≥4×2 ＝240，当且仅当 ＝ x 即 x ＝30时取等 号，∴要使一年的总运费与总存储费用之和 y 最小，则 x 的值是30.故 选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 　均值不等式的拓广应用 二元均值不等式：设 a ， b 为正数，则 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时 等式成立. 证明：因为（ a ＋ b ）2－4 ab ＝（ a － b ）2≥0，所以（ a ＋ b ）2≥4 ab ，从而得 ≥ ，当且仅当 a ＝ b 时等式成立. 三元均值不等式：设 a ， b ， c 为正数，则 ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等式成立. 目录 数学·必修第一册（B版） 证明：设 d 为正数，由二元均值不等式，得 ＝ ≥ ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ d 时，等式成立.令 d ＝ ，即 a ＋ b ＋ c ＝3 d ，代入上述不等式，得 d ≥ ， 由此推出 d3≥ abc ，因此 ≥ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等式 成立. 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题探究】 当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求 的最小值？ 提示：当 a ， b ， c 均为正数，且 a ， b ， c 能取到相等的值时，可以利 用三元均值不等式求 的最小值. 目录 数学·必修第一册（B版） 证明：∵ a ， b ， c 均为正实数，∴ a ＋ b ＋ c ≥3 ＞0， ＋ ＋ ≥3 ＞0， ∴（ a ＋ b ＋ c ）· ≥3 ·3 ＝9. 【迁移应用】 　已知 a ， b ， c 均为正实数，求证：（ a ＋ b ＋ c ）· ≥9. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 设 x ＞0，则3－3 x － 的最大值是（　　） A. 3 C. －1 解析：　∵ x ＞0，∴3 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ 时 取等号，∴－ ≤－2 ，则3－3 x － ≤3－2 ，故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 已知 （ x ＞1）在 x ＝ t 时取得最小值，则 t 等于（　　） B. 2 C. 3 D. 4 解析：　 ＝ ＝ x ＋ ＝ x －1＋ ＋1≥2＋1＝3， 当且仅当 x －1＝ ，即 x ＝2时，等号成立. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框 架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的 是（　　） A. 6.5 m B. 6.8 m C. 7 m D. 7.2 m 解析：　设两直角边分别为 a ， b ，直角三角形的框架的周长为 l ，则 ab ＝2，∴ ab ＝4， l ＝ a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝4 ＋2 ≈6.828（m）.∵要求够用且浪费最少，故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）设正实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝1，则下列结论正确的是 （　　） 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　A：由题设， ＋ ＝ （ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，正确；B：由 a ， b ＞0，则 a ＋ b ＝1≥2 ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ ，错误；C：由 a ， b ＞0，则 a ＋ b ＝1≥ ＋ ≤ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号 成立，正确；D： a2＋ b2≥ ＝ ，当且仅当 a ＝ b ＝ 时等号成立，正确.故选A、C、D. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 已知正数 a ， b 满足 a ＋2 b ＝2，求 ＋ 的最小值. 解： ＋ ＝ × （ a ＋2 b ） ＝ ≥ （4＋2 ）＝4. 当且仅当即 a ＝1， b ＝ 时等号成立， ∴ ＋ 的最小值为4. 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ $