3.1.3　第二课时　函数奇偶性的应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练以函数奇偶性应用为核心，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的进阶，强化抽象能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性定义与单调性基础判断|具体函数辨析题（如第1题奇偶性与单调性判断）| |提升层|奇偶性与单调性综合应用|多选题与构造填空题（如第5题奇偶性与单调性综合分析）| |综合层|奇偶性与抽象函数性质综合探究|解答题与抽象函数分析题（如第12题奇偶性与不等式恒成立）|

第二课时　函数奇偶性的应用 1.下列四个函数中，在（0，＋∞）上为增函数且为奇函数的是（　　） A.f（x）＝3－x B.f（x）＝x2－3x C.f（x）＝－ D.f（x）＝－｜x｜ 2.已知定义域为R的偶函数f（x），则“f（1）＜f（－2）”是“函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增”的（　　） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上，函数f（x）的解析式是（　　） A.f（x）＝－x（1－x） B.f（x）＝x（1＋x） C.f（x）＝－x（1＋x） D.f（x）＝－x（x－1） 4.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，f（－3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　） A.（－∞，－3）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，＋∞） C.（－3，0）∪（0，3） D.（－3，0）∪（3，＋∞） 5.（多选）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（－x）＝f（x）；②∀m，n∈（0，＋∞），当m≠n时，都有＜0；③f（－1）＝0.则下列选项成立的是（　　） A.f（3）＞f（－4） B.若f（m－1）＜f（2），则m∈（3，＋∞） C.若＜0，x∈（－1，0）∪（1，＋∞） D.∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≤M 6.已知f（x）＝是奇函数，则f（g（－3））＝　　　　. 7.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）按从小到大的排列是　　　　. 8.已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增，写出一个满足条件的函数f（x）＝　　　　 　. 9.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b. （1）求b的值； （2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围. 10.已知函数f（x＋1）为偶函数，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c 11.若f（x）＝x2＋｜x｜，则满足f（1－a）≤f（a）的a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数. （1）当x＜0时，f（x）＝x（x－1），求当x＞0时，f（x）的解析式； （2）若f（x）在（－∞，0]上单调递增. ①判断函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的判断； ②若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0对一切实数x都成立，求实数k的取值范围. 13.函数f（x）＝x3＋x＋－8（a∈R）在区间[m，n]上的最大值为10，则函数f（x）在区间[－n，－m]上的最小值为　　　　. 14.已知函数f（x）＝x2＋（x≠0）. （1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性. 第二课时　函数奇偶性的应用 1.C　f（x）＝3－x在（0，＋∞）单调递减且不是奇函数，故A错误；f（x）＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数且为奇函数，C正确；f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x）是偶函数，D错误.故选C. 2.B　因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（－2）＝f（2）， 因为由f（1）＜f（－2）＝f（2）不能说明函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，而当函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增时，有f（1）＜f（2），即f（1）＜f（－2）， 所以“f（1）＜f（－2）”是“函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增”的必要而不充分条件，故选B. 3.B　依题意，f（x）是奇函数，当x＜0时，－x＞0， 所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）（1＋x）]＝x（1＋x）.故选B. 4.A　依题意函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上递增，f（3）＝f（－3）＝0.画出f（x）的大致图象如图所示， 由图可知，不等式xf（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（0，3）.故选A. 5.ACD　由①知函数f（x）为偶函数，由②知，函数f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递减， 则函数f（x）在x∈（－∞，0）上单调递增. 对于A，f（3）＝f（－3）＞f（－4），故A正确； 对于B，f（m－1）＜f（2），则｜m－1｜＞2，解得m∈（3，＋∞）∪（－∞，－1），故B错误； 对于C，若＜0，由题知f（－1）＝f（1）＝0，则当x＞0时，f（x）＜0，解得x＞1；当x＜0时，f（x）＞0，解得－1＜x＜0，故C正确； 对于D，根据函数单调性及函数在R上的图形连续知，函数存在最大值f（0），则只需M≥f（0），即可满足条件，故D正确.故选A、C、D. 6.－33　解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33. 7.f（－2）＜f（1）＜f（0）　解析：当m＝1时，f（x）＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称， ∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋2， ∴f（x）在（－∞，0）上递增，在（0，＋∞）上递减. 又0＜1＜2，∴f（0）＞f（1）＞f（2）＝f（－2）. 8.｜x2－1｜（答案不唯一）　解析：若f（x）＝｜x2－1｜，则f（－x）＝｜（－x）2－1｜＝｜x2－1｜＝f（x）， 所以f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝显然f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增， 故f（x）的解析式可以是f（x）＝｜x2－1｜. 9.解：（1）因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数， 所以f（0）＝0，解得b＝0. （2）因为函数f（x）在[0，2]上是增函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上单调递增， 因为f（m）＋f（m－1）＞0， 所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m）， 所以m－1＞－m， ① 又不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域范围内有意义， 所以 ② 解①②得＜m≤2，所以m的取值范围为. 10.D　因为函数f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（1－x），所以f（x）的图象关于x＝1对称，所以f＝f.又当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＜0恒成立，所以函数f（x）在（1，＋∞）上递减，所以b＞a＞c.故选D. 11.C　因为f（－x）＝x2＋｜x｜＝f（x），且函数f（x）的定义域为R，故函数f（x）为定义域R上的偶函数，又当x＞0时，f（x）＝x2＋x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（1－a）≤f（a），则有｜1－a｜≤｜a｜，解得a≥.故选C. 12.解：（1）当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以当x＞0时，f（x）＝－x（x＋1）. （2）①f（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明如下： 因为f（x）在（－∞，0]上单调递增，所以对任意x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则－x1，－x2∈（0，＋∞），且－x1＞－x2，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x1）＝－f（－x1），f（x2）＝－f（－x2），故－f（－x1）＜－f（－x2），即f（－x1）＞f（－x2），故函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增. ②因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0]上的单调递增，可得：函数f（x）在R上单调递增，又f（－2x2＋x）＜－f（－2x2－k），则f（－2x2＋x）＜f（2x2＋k），因为f（x）在R上的单调递增，故－2x2＋x＜2x2＋k恒成立，即k＞－4x2＋x＝－4＋，所以实数k的取值范围为. 13.－26　解析：由题设，令g（x）＝f（x）＋8＝x3＋x＋，易知：g（－x）＝－x3－x－＝－g（x）且x≠0， ∴g（x）＝f（x）＋8为奇函数，又f（x）在[m，n]上的最大值为10， ∴g（x）在[m，n]上的最大值为18， 由奇函数对称区间上单调性相同，∴g（x）在[－n，－m]上的最小值为－18， ∴f（x）在[－n，－m]上的最小值为－26. 14.解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函数f（x）是偶函数. 当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）. ∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （2）f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f（x）＝x2＋. 任取x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2）， 由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上单调递增. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $