3.1.3　第一课时　函数的奇偶性 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合应用、拓展创新三层设计，实现从奇偶性概念辨析到性质综合运用的递进，培养数学抽象与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-8题）|奇偶性定义判断、简单性质应用|选择填空结合，如第1题辨析函数奇偶性与值域，第6题求奇函数参数| |综合层（9-12题）|奇偶性与图象、最值、充要条件综合|解答题为主，如第9题作图分析单调性，第12题抽象函数奇偶性证明| |拓展层（13-14题）|奇偶性推广及生成函数应用|创新题型，如第13题对称中心探究，第14题生成偶函数求解|

3.1.3　函数的奇偶性 第一课时　函数的奇偶性 1.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（　　） A.y＝x＋1 B.y＝x2 C.y＝ D.y＝x｜x｜ 2.已知f（x）＝3ax2＋bx－5a＋5b是偶函数，且其定义域为[3a－1，a]，则a＋b＝（　　） A. B. C. D.7 3.函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝4x＋m，则f＝（　　） A.1 B.－2 C.－1 D.－ 4.函数f（x）＝的图象大致为（　　） 5.（多选）定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式f（x）＝x（1＋x），则f（x）在[0，＋∞）上正确的结论是（　　） A.f（0）＝0 B.f（1）＝0 C.最大值 D.最小值－ 6.若定义在（－1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m，n的值分别为　　　　. 7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝　　　　. 8.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2－x，则f（1）－g（1）＝　　　. 9.已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示. （1）请补出函数y＝f（x）的完整图象； （2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间； （3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合. 10.已知函数f（x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜，则“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知定义在R上的偶函数f（x）＝｜x－m＋1｜－2.若正实数a，b满足f（a）＋f（2b）＝m，则＋的最小值为（　　） A.9 B.5 C.25 D. 12.已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）. （1）判断函数f（x）的奇偶性，并给与证明； （2）若f（－3）＝a，试用a表示f（15）. 13.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.则函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心为（　　） A.（－1，2） B.（－1，－2） C.（1，2） D.（1，－2） 14.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h（x）＝mf（x）＋ng（x），那么称h（x）为f（x），g（x）在R上生成的函数.设f（x）＝x2＋x，g（x）＝x＋2，若h（x）为f（x），g（x）在R上生成的一个偶函数，且h（1）＝3，求函数h（x）. 第一课时　函数的奇偶性 1.D　y＝x＋1是非奇非偶函数，A错误；y＝x2是偶函数，B错误；y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），C错误；y＝x｜x｜的值域为R，且为奇函数，D正确.故选D. 2.C　根据偶函数的性质，由f（x）＝3ax2＋bx－5a＋5b是偶函数，可得b＝0.又由定义域[3a－1，a]关于原点对称，可得3a－1＋a＝4a－1＝0，所以a＝，所以a＋b＝， 故选C. 3.B　由函数f（x）为定义在R上的奇函数，得f（0）＝0，解得m＝0，所以f（x）＝4x（x≥0）. 所以f＝4×＝2.所以f＝－f＝－2.故选B. 4.A　因为f（x）定义域为R，且f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项B、D；又x＞0时，f（x）＞0，排除选项C，故选项A正确.故选A. 5.ABC　因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0.f（x）在（－∞，0）上的图象与在（0，＋∞）上的图象关于原点对称.画出f（x）在R上的图象如图.易得A、B、C正确. 6.0，0　解析：由已知得f（0）＝0，故m＝0. 由f（x）是奇函数，知f（－x）＝－f（x）， 即＝－， ∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0. 7.－21　解析：设g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）为奇函数.由题设可得f（－3）＝g（－3）－8＝5，得g（－3）＝13.又g（x）为奇函数，所以g（3）＝－g（－3）＝－13，于是f（3）＝g（3）－8＝－13－8＝－21. 8.2　解析：因为f（x）＋g（x）＝x2－x，所以有f（－1）＋g（－1）＝（－1）2－（－1）＝2， 因为f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），因此由f（－1）＋g（－1）＝2⇒f（1）－g（1）＝2. 9.解：（1）由题意作出函数图象如图： （2）由图可知，单调增区间为（－1，0），（1，＋∞）. （3）由图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）. 10.C　法一　若函数f（x）为奇函数，且函数f（x）的定义域为R， 则f（x）＋f（－x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜－x－1｜＋a｜－x＋1｜＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜x＋1｜＋a｜x－1｜＝（a＋1）（｜x－1｜＋｜x＋1｜）＝0，∴a＋1＝0，解得a＝－1. ∴“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的充要条件.故选C. 法二　若f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝1＋a＝0， ∴a＝－1，必要性成立. 若a＝－1则f（x）＝｜x－1｜－｜x＋1｜， ∴f（－x）＝｜－x－1｜－｜－x＋1｜ ＝－（｜x－1｜－｜x＋1｜）＝－f（x）， ∴f（x）是R上的奇函数，充分性成立. ∴a＝－1是f（x）为奇函数的充要条件. 11.B　因f（x）＝｜x－m＋1｜－2是R上的偶函数，则∀x∈R，f（－x）＝f（x），即｜x－m＋1｜＝｜－x－m＋1｜恒成立，平方整理得：4x（m－1）＝0，则有m＝1，此时f（x）＝｜x｜－2，由正实数a，b满足f（a）＋f（2b）＝m得a＋2b＝5， ＋＝（a＋2b）＝≥＝5，当且仅当＝，即b＝2a＝2时取“＝”，所以当a＝1，b＝2时，＋取最小值，为5.故选B. 12.解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝0， 令y＝－x，即f（x＋y）＝f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0， 则f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数. （2）∵f（x）是奇函数，∴f（3）＝－f（－3）＝－a， 又∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），∴f（15）＝5f（3）＝－5a. 13.A　设（a，b）为f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心， 则有y＝f（x＋a）－b＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b为奇函数， 设g（x）＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b，则g（x）为奇函数， g（x）＝x3＋3（a＋1）x2＋3（a2＋2a）x＋a3＋3a2－b，又g（－x）＋g（x）＝0， 可得3（a＋1）x2＋a3＋3a2－b＝0， 所以解得 所以函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心的坐标为（－1，2）.故选A. 14.解：h（x）＝mf（x）＋ng（x）＝m（x2＋x）＋n（x＋2）＝mx2＋（m＋n）x＋2n. ∵h（x）为偶函数，∴m＋n＝0， ① 又h（1）＝3，∴m＋m＋n＋2n＝3， ② 联立①②解得m＝－3，n＝3， ∴h（x）＝－3x2＋6. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $