3.1.2 函数的单调性导学案（核心考点+典型例题+分层训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数的单调性，承接3.1.1函数及其表示方法，通过核心考点精讲搭建学习支架，帮助学生从函数表示过渡到性质研究，为后续函数最值等学习铺垫。 特色在于严格贴合人教B版教材逻辑，通过定义辨析、标准证明步骤及分层训练，培养学生数学思维与数学语言，助力夯实基础、突破难点，提升单调性应用能力。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 3.1.2 函数的单调性 导学案 （核心考点+典型例题+分层训练） 【教材依据】本导学案严格依据人教B版普通高中教科书数学必修第一册第三章3.1.2小节内容编写，完全贴合B版教材章节排布、单调性定义、几何特征与课后习题体系，承接上一节3.1.1函数及其表示方法知识，区别于人教A版教材讲解逻辑，适配B版课堂同步学习、课后巩固与培优提升。 【学习目标】 1. 理解人教B版函数单调性与单调区间的严格定义，掌握增函数、减函数的概念本质，区分图象直观判断与定义严谨证明的差异； 2. 熟练掌握函数单调性的判断方法、证明步骤，能准确求解、书写函数的单调区间； 3. 能利用函数单调性解决比较函数值大小、解不等式、求最值等基础题型； 4. 通过分层训练夯实基础、突破难点，适配人教B版教材A、B组习题及同步考题难度。 【重难点】 重点：人教B版增函数与减函数的定义辨析、函数单调区间的求解与书写、单调性的基础应用； 难点：利用定义证明函数单调性、分段函数单调性判断、含参函数的单调性分析与区间求解。 一、核心考点精讲（贴合人教B版教材原文） 考点1：函数单调性的定义（教材P84 人教B版核心定义） 人教B版教材采用区间内任意取值作差判定的严格定义，是本节核心考点，也是区别于A版侧重直观识图的关键：设函数的定义域为，区间。 1. 增函数：如果对于区间内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称在区间上是增函数，区间为单调递增区间； 2. 减函数：如果对于区间内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称在区间上是减函数，区间为单调递减区间。 【B版专属重点辨析】 ① 单调性是区间性质，必须指明对应区间，不能脱离区间谈论函数增减性； ② 定义中“任意”二字是核心，不能用特殊值替代验证； ③ 单个点不具备单调性，单调区间端点开闭不影响单调性，书写时遵循“能开则开、端点可取则闭”原则。 考点2：单调性的几何意义（教材P85 人教B版图文解析） 1. 增函数：函数图象在对应区间内从左到右持续上升，自变量越大，函数值越大； 2. 减函数：函数图象在对应区间内从左到右持续下降，自变量越大，函数值越小。 补充（B版教材实用结论）：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可结合图象快速判断，复杂函数必须用定义严格证明。 考点3：定义法证明单调性标准步骤（B版必考答题模板） 人教B版教材明确规范了单调性证明的四步标准流程，为考试得分核心要点： 1.取值：在指定区间内任取，且设； 2. 作差：计算； 3. 判号：对差值因式分解、化简，判断的正负； 4. 定论：根据差值正负，判定函数在区间内的增减性。 考点4：单调性的核心应用（教材P86 课后习题核心考法） 1. 比较同一单调区间内两个函数值的大小； 2. 利用单调性脱去函数符号，求解抽象函数不等式； 3. 结合单调区间求解函数的最值、值域； 4. 根据函数单调性，求解解析式中参数的取值范围。 二、典型例题剖析（人教B版教材变式题） 说明：所有例题均为人教B版必修第一册3.1.2小节课后A、B组习题改编，严格贴合B版考查逻辑与答题规范，适配同步课堂教学与作业训练。 例题1【教材变式·基础】单调性定义辨析 下列关于函数单调性的说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上是增函数 B. 减函数区间端点必须用开区间书写 C. 函数的单调性只能在定义域的子区间上讨论 D. 单调函数在定义域内一定有最值 例题2【课后A组变式·重点】定义法证明函数单调性 证明：函数在上是增函数。 例题3【课后B组变式·提升】求函数单调区间 求二次函数的单调递增区间与单调递减区间。 例题4【综合提升】单调性比较函数值大小 已知函数在区间上单调递增，比较与的大小。 三、分层梯度训练（适配人教B版教材难度） 基础层（适配教材随堂练习+A组习题） 1. 下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 函数的单调递增区间是________。 3. 已知在上单调递增，比较与的大小。 提升层（适配教材B组习题变式） 1. 用定义证明：函数在上是减函数。 2. 求函数的单调区间。 3. 已知函数在区间上单调递减，且，求参数取值范围。 培优层（适配B版同步统考题型） 1. 已知分段函数，判断函数在上的单调性。 2. 若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围。 四、本节小结（人教B版教材体系衔接） 本节承接3.1.1函数的概念与表示方法，是人教B版函数性质模块的首个核心知识点。函数单调性是研究函数变化规律的基础，也是后续学习函数最值、奇偶性、指数与对数函数性质的核心铺垫。本节重点掌握定义法证明单调性的标准步骤、单调区间的求解与书写、单调性的基础应用，务必强化“区间优先、任意取值”的B版解题思维，规避常见概念误区。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 3.1.2 函数的单调性 导学案 （核心考点+典型例题+分层训练） 【教材依据】本导学案严格依据人教B版普通高中教科书数学必修第一册第三章3.1.2小节内容编写，完全贴合B版教材章节排布、单调性定义、几何特征与课后习题体系，承接上一节3.1.1函数及其表示方法知识，区别于人教A版教材讲解逻辑，适配B版课堂同步学习、课后巩固与培优提升。 【学习目标】 1. 理解人教B版函数单调性与单调区间的严格定义，掌握增函数、减函数的概念本质，区分图象直观判断与定义严谨证明的差异； 2. 熟练掌握函数单调性的判断方法、证明步骤，能准确求解、书写函数的单调区间； 3. 能利用函数单调性解决比较函数值大小、解不等式、求最值等基础题型； 4. 通过分层训练夯实基础、突破难点，适配人教B版教材A、B组习题及同步考题难度。 【重难点】 重点：人教B版增函数与减函数的定义辨析、函数单调区间的求解与书写、单调性的基础应用； 难点：利用定义证明函数单调性、分段函数单调性判断、含参函数的单调性分析与区间求解。 一、核心考点精讲（贴合人教B版教材原文） 考点1：函数单调性的定义（教材P84 人教B版核心定义） 人教B版教材采用区间内任意取值作差判定的严格定义，是本节核心考点，也是区别于A版侧重直观识图的关键：设函数的定义域为，区间。 1. 增函数：如果对于区间内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称在区间上是增函数，区间为单调递增区间； 2. 减函数：如果对于区间内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称在区间上是减函数，区间为单调递减区间。 【B版专属重点辨析】 ① 单调性是区间性质，必须指明对应区间，不能脱离区间谈论函数增减性； ② 定义中“任意”二字是核心，不能用特殊值替代验证； ③ 单个点不具备单调性，单调区间端点开闭不影响单调性，书写时遵循“能开则开、端点可取则闭”原则。 考点2：单调性的几何意义（教材P85 人教B版图文解析） 1. 增函数：函数图象在对应区间内从左到右持续上升，自变量越大，函数值越大； 2. 减函数：函数图象在对应区间内从左到右持续下降，自变量越大，函数值越小。 补充（B版教材实用结论）：一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可结合图象快速判断，复杂函数必须用定义严格证明。 考点3：定义法证明单调性标准步骤（B版必考答题模板） 人教B版教材明确规范了单调性证明的四步标准流程，为考试得分核心要点： 1.取值：在指定区间内任取，且设； 2. 作差：计算； 3. 判号：对差值因式分解、化简，判断的正负； 4. 定论：根据差值正负，判定函数在区间内的增减性。 考点4：单调性的核心应用（教材P86 课后习题核心考法） 1. 比较同一单调区间内两个函数值的大小； 2. 利用单调性脱去函数符号，求解抽象函数不等式； 3. 结合单调区间求解函数的最值、值域； 4. 根据函数单调性，求解解析式中参数的取值范围。 二、典型例题剖析（人教B版教材变式题） 说明：所有例题均为人教B版必修第一册3.1.2小节课后A、B组习题改编，严格贴合B版考查逻辑与答题规范，适配同步课堂教学与作业训练。 例题1【教材变式·基础】单调性定义辨析 下列关于函数单调性的说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上是增函数 B. 减函数区间端点必须用开区间书写 C. 函数的单调性只能在定义域的子区间上讨论 D. 单调函数在定义域内一定有最值 【解析】根据人教B版单调性定义逐一辨析： A错误：单调性要求区间内任意自变量，不能用两个特殊值判定整体单调性； B错误：单调区间端点开闭不影响单调性，端点有定义可写闭区间； C正确：单调性是区间性质，仅能在定义域子区间讨论； D错误：如在上单调递增，无最值。 【答案】C 例题2【课后A组变式·重点】定义法证明函数单调性 证明：函数在上是增函数。 【解析】严格按照B版四步标准解题步骤书写： 1. 取值：任取，且； 2. 作差：； 3. 判号：由，得，故，即； 4. 定论：因此在上是增函数。 【结论】函数在定义域上单调递增 例题3【课后B组变式·提升】求函数单调区间 求二次函数的单调递增区间与单调递减区间。 【解析】先配方确定对称轴，结合二次函数图象与B版单调性规则求解： 配方得：，定义域为，对称轴为直线，开口向上； 根据二次函数单调性规律：对称轴左侧单调递减，右侧单调递增； 故单调递减区间为，单调递增区间为。 【答案】递减区间：；递增区间： 例题4【综合提升】单调性比较函数值大小 已知函数在区间上单调递增，比较与的大小。 【解析】根据增函数定义：同一单调区间内，自变量越大，函数值越大； 由，且函数在上递增，可得。 【答案】 三、分层梯度训练（适配人教B版教材难度） 基础层（适配教材随堂练习+A组习题） 1. 下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 函数的单调递增区间是________。 3. 已知在上单调递增，比较与的大小。 提升层（适配教材B组习题变式） 1. 用定义证明：函数在上是减函数。 2. 求函数的单调区间。 3. 已知函数在区间上单调递减，且，求参数取值范围。 培优层（适配B版同步统考题型） 1. 已知分段函数，判断函数在上的单调性。 2. 若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围。 四、本节小结（人教B版教材体系衔接） 本节承接3.1.1函数的概念与表示方法，是人教B版函数性质模块的首个核心知识点。函数单调性是研究函数变化规律的基础，也是后续学习函数最值、奇偶性、指数与对数函数性质的核心铺垫。本节重点掌握定义法证明单调性的标准步骤、单调区间的求解与书写、单调性的基础应用，务必强化“区间优先、任意取值”的B版解题思维，规避常见概念误区。 五、训练参考答案及详细解析 基础层答案及解析 1. 答案：C 解析：一次函数斜率，根据一次函数单调性规律，函数在全体实数上单调递减。 2. 答案： 解析：函数为开口向上的二次函数，对称轴为，依据B版单调性判定规则，对称轴右侧区间为单调递增区间。 3. 答案： 解析：函数在上单调递增，满足“自变量越大，函数值越大”；由，可直接判定。 提升层答案及解析 1. 证明： ① 取值：任取，且； ② 作差：； ③ 判号：由，得，即，； ④ 定论：故在上是减函数。 2. 答案：递减区间，递增区间 解析：配方得，开口向上，对称轴；依据二次函数单调性，对称轴左侧递减、右侧递增，对应区间如上。 3. 答案： 解析：函数在递减，单调性应用需同时满足定义域和自变量大小关系： 列式，解得。 培优层答案及解析 1. 答案：函数在上单调递增 解析：分段拆分判定： ① 当时，，斜率为正，单调递增，最小值为； ② 当时，，斜率为负，单调递减，值域为； 结合分段点衔接性，整体函数在上单调递增。 2. 答案： 解析：二次函数开口向上，对称轴为； 函数在上递增，说明区间在对称轴右侧，即，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $