4.2.4 随机变量的数字特征（第一课时）导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦离散型随机变量的数学期望及性质，通过“温故”环节回顾二项分布、超几何分布概念作为学习支架，“知新”环节自然引入数学期望定义、性质及两种分布的均值公式，构建新旧知识的逻辑脉络。 资料特色在于融入数学史（惠更斯《论赌博中的计算》）培养数学眼光，基础过关题结合邮票抽取、植树成活率等实际情境，用数学语言表达现实问题，推导均值性质时注重逻辑推理，助力学生理解概念本质并提升应用意识。

4.2.4 随机变量的数字特征（第一课时） 预习提要 1.理解离散型随机变量的数学期望和性质； 2.掌握二项分布的均值，了解超几何分布的均值； 3.阅读课本P80—P83内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 1.二项分布的概念：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q=1-p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是，而且 ，，因此X的分布列如下表所示. X 0 1 k n P 上述X的分布列第二行中的概率值都是的展开式 中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p). 2.超几何分布的概念：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<N) ，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N−M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n−(N−M))，而且 ，，这里称X服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X~H(N，n，M). 二、知新：课本研习梳理 1.离散型随机变量的均值的概念：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 …… xk …… xn   P p1 p2 ……  pk …… pn 则称 为离散型随机变量的均值或数学期望（简称为期望）. 2.二项分布与超几何分布的均值： 二项分布的均值：若X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n,p)，则 ； 超几何分布的均值：若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X~H(N，n，M) ，则 . 3.均值的性质：若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b (a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)= . 基础过关 1.中国邮政某年发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽中邮票《巢湖》的枚数为X，则( ) A. B. C.1 D. 2.已知离散型随机变量，则( ) A.7 B.3 C.2.1 D.0.7 3.3月12日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了A，B两种树苗各10棵，A种树苗的成活率为0.9，B种树苗的成活率为0.8，记A，B两种树苗最终成活的棵数分别为，，则( ) A.15 B.16 C.17 D.18 4.一名职业篮球运动员在某8场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为p，且随机变量，则( ) A.7.6 B.7.4 C.7.2 D.7 5.袋中有编号为1，2，3，…，10的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个.记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________. 反思 荷兰科学家惠更斯听闻帕斯卡与费马的研究，独立深入推演，1657年发表《论赌博中的计算》，这是世界上第一部概率论著作。书中惠更斯明确提出核心命题：在公平博弈中，参与者可以获得的平均收益，就是期望值。他系统写出公式雏形：若收益a发生概率p1，收益b发生概率p2，平均价值等于ap1+bp2，也就是现代离散型随机变量均值，惠更斯把这套方法用来解决一系列赌博问题，把模糊的“平均获利”变成可计算的量。 答案及解析 温故：课前知识链接 1. 2. 知新：课本研习梳理 1. 2.E(X)=np 3.aE(X)+b 基础过关 1.答案：A 解析：依题意，X的所有可能取值有0，1，2.则，，，则.故选A. 2.答案：B 解析：因为，所以，.由二项分布的数学期望公式，得. 3.答案：C 解析：，都服从二项分布，即，则，，所以. 4.答案：A 解析：把8个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，，，所以这组数据的分位数为第5位数字，即，即，所以.故选：A. 5.答案：/1.6 解析：编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个，从10个球中取4个，X表示取出的不大于4的球的个数，X服从超几何分布，参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数，超几何分布的期望公式为，代入得：. 学科网（北京）股份有限公司 $