4.2.5 正态分布-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

20 60 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=20× +60x 2 =40. (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以 先寻找期望为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的 情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60是面值之和的最 大值，所以期望不可能为60：如果选择(50,50,50,10)的方案 因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60，因此 可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20， 20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20， 40.40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额 (单位：元)为X1,则X的分布列为 四 60 100 2 6 6 所以X,的期望为E(X1)=20× 1 +60× 2 6 -+100× 3 6 60,X的方差为D(X)=(20-60)2×石+(60-60)2×号 (10-602×6-160 3 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额 (单位：元)为X2,则X的分布列为 40 60 80 1 P 2 6 6 2 所以X2的期望为E(X2)=40× 6+60×5+80×6 60,名的方差为D()=(40-60)2×石+(60-60)尸×号+ (80-60)2×石-9 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2的奖 励额的方差比方案1的小，故应该选择方案2. 例4：设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为 1、2、3、4、5 X=k表示前k-1次没打开此门，第k次才打开了此门. P(X=)=5,P(X=2)= 4,11 4=5 P(X=3)= C.11 3=5, P(X=4)= 11 Cs 2=5 p(X=5)=C 1=5 1 故随机变量X的概率分布列为： 2 4 5 5 16 B(0=1x写+2x写+3x5+4x5+5x5=3. 00=(1-3)2×5+(2-3》2×5+(3-3)产×5+ (4-3)2×5+(5-3)2×5 =5×(2+1P+02+1+2)=2 课堂检测固双基 1.C由题意得E(X)=np=6,D(X)=仰(1-p)=3,六p=2, n=12P(x=)=Cx(2）x(分) =3×20.故选C 2.B设摸得白球的概率为p, 由题意得，X~B(4,p), D0=4p(1-p）=1p=3 B(0=4p=4x7=2 故选B. .A由题意可知~B(,号) 子=B(E)=24n=36 又D)=nx号×(1-号)=号×36=8 214 4.C:E(X)=3x+3=3 =4-20=(告-x号+（告-x3=子 5 解得{ 3' 2 x=3 4由题意得，石+p+号=1， p=2 由期望公式得()=0×行+2×号+a×兮=2， ∴.a=3. D(0=0-22×6+(2-22×7+(3-22×号=1. 故D(2X-3)=22×D(X)=4. 4.2.5正态分布 必备知识探新知 知识点一(2)①x=4中间高两边低②1③σ越大 o越小(3)0.34130.13590.0215 思考1：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所 以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强， 所以曲线越“瘦”. 知识点二(1)面积9。(x)均值标准差方差 (2)68.3%95.4%99.7%(3)0.3% 知识点三(1)μ=0且σ=1(3)1 关键能力攻重难 例1：(1)证明：X~N(10,1), .正态曲线94。(x)关于直线x=10对称，而区间(1,2)和 (18,19)关于直线x=10对称， 即P(1<X<2)=P(18<X<19). (2).:P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(10<X<18)+ P(X≥18)=1，u=10, ∴.P(X≤2)=P(X≥18)=a,P(2<X≤10)=P(10< X<18), .2a+2P(10<X<18)=1 即P(10<X<18)=1,24=1 2-a. 对点训练1：(1)CP(-2<<2)=1-2P(>2)=1-2 ×0.023=0.954. (2)BC依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1, 0.1),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈ 0.8413>0.5.C正确，D错误：因为XN(1.8,0.1),所以P(X >2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.8413， 所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.8413=0.1587<0.2，而P(X> 2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确，A 错误.故选BC. 例2：由题意可知，分数X~W(110,20),4=110,σ=20， P(X≥90)=P(X≥110-20)=P(X≥4-σ)， 因为P(X≤μ-o)+P(u-o≤X+o)+P(X≥u+O) =2P(X≤4-σ)+0.683=1， 所以P(X≤4-σ)=0.1585， 所以P(X≥90)=1-P(X≤w-σ）=1-0.1585=0.8415. 例3：由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),由正态 分布的特征可知，X在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)（即(2.5， 5.5))之外取值的概率约为0.0027.而5.7(2.5,5.5)，这说 明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统 计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合 格的. 对点训练2：：专~N(90,100),∴.4=90,0=10. (1)在该正态分布中，4-20=70,4+20=110， .P(u-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545 .∴.考试成绩位于区间(70,110]内的概率为0.9545. (2)u-0=80,4+0=100, .P(4-σ<X≤4+σ)=0.6827， ∴.考试成绩位于区间(80,100]内的概率为0.6827. 由共有2000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大约 有2000×0.6827≈1365（人）. 例4：(1)设参赛学生的分数为 因为5N0,100,所以0.N0.1). 由条件知，P(5≥90)=1-P(传<90》 =1-0909）1-(2)=1-Q972=0028 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参 赛人数的2.28%， 12 ·参赛总人数约为0.028≈526（人） ②)假定设奖的分数线为x分，则X~N(70,100),放0 ~N(0,1).又P(≥x)=1-P(5<x) =1-(09）-器-0.w51 即(x-70 10 0049,查表得8013引， 解得x=83.1. 故设奖的分数线约为83分 对点训练3：(1)因为X~W(0,1), 所以Φ(-3)=P(X<-3) =2[1-P(-3≤X≤3)]=2(1-0.997)=0.015. 16 (2)因为X~N(0,1)且Φ(0.42)=0.6628， 所以由(-a)+Φ(a）=1得，(-0.42)=1-D(0.42) =1-0.6628=0.3372. 例5：0.0215因为5-N(1,4),所以u=1,0=2, P(5<<7)=P(-5<<-3), 则P(5<<7) =[P(-5<5<7)-P(-3≤5≤5] =2[P(1-6<5<1+6)-P(1-4≤≤1+4] =2[Pu-3a<5<u+3a)-Pu-2a≤S≤+2a月 =7×(0.97-0.954) =0.0215 课堂检测固双基 1.D正态曲线函数的图像关于直线x=4>0对称，故选D. 2.B由X~N-2,4）知u=-2,0=2, .P(-3.5<X≤-0.5)= P(-2-3×0.5<X≤-2+3×0.5)=0.9973. 3.B随机变量X~N(u,o2), .·P(X≤a)=P(X>a),P(X≤a)+P(X>a)=1, ∴x=a为相应正态曲线的对称轴， ∴.a=u. 正态曲线函数的图像关于直线x=M>0对称，故选B. 4.B由专~N(1,4)知4=1,0=2， ∴.4-σ=-14+σ=3， P(1<5≤3)=)P(-1<6≤3)=0.3413，故选B 5.0.8.XN(1,σ2)，且P(0<X≤1)=0.4， ∴.P(0<X≤2)=2P(0<X≤1)=0.8. 4.3统计模型 4.3.1一元线性回归模型 必备知识探新知 知识点一(1)确定性随机性（2)平面直角坐标系 (3)一次函数(4)增大减少 思考1：不对，正相关与负相关是针对线性相关关系而 言的. 知识点二(1)(y-y1)2+(y2-2)2+…+(y.-少n)2= 含(-)2(2) (x-x)(y-) (3)①(x,y)②8>0 (x,-x)2 1 思考2：回归直线方程确定之后，就可用于预测. 含0(%-列 知识点三(1) √含(x-)22(-列2 多X-n】 (2)①1Y>0y<0②小 √2-n)(8-n子) 弱大强③回归直线 知识点四线性相关 思考3：可以通过作出散点图，结合已学的函数模型进行 猜测.074 4.2.5正态分布 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.了解二项分布与正态曲线的关系，能借助 1.通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学 正态曲线理解正态曲线的性质 抽象与直观想象的素养 2.掌握正态分布的定义，会利用正态分布解 2.借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态 决实际问题 分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X~N(u, 3.了解正态分布与标准正态分布的转换，能 σ)在某一区间内取值的概率，提升数学运算的 利用标准正态分布表求得标准正态分布在 素养 某一区间内取值的概率。 必备知识探新知 知识点一正态曲线 (1)定义：当n充分大时，X~B(n,p)的直观表示总是具有中间高、两边 低的“钟形”.具体地(x)=。c罗，p(x)的解析式中含有：和σ两个 02T 参数，其中u=E(X),即X的均值，σ=√D(X),即X的标准差.一般地p(x) 对应的图像称为正态曲线。 (2)性质： ①正态曲线关于直线 对称，具有 ”的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为 ③曲线的形态由参数σ确定， ,曲线越“胖”； ,曲线越 思考：为什么σ决定 “瘦” 正态曲线的“胖瘦”？ (3)面积：正态曲线与x轴在区间[，u+σ]内所围面积约为 在区间[4+σ，4+2σ]内所围面积约为 ,在区间[+2σ，4+3σ]内 所围面积约为 如图. 0.3413 0.0215 0.1359 4-3Gμ-2- μ+ μ+2Gμ+3g P[思考] 知识点二正态分布 (1)定义：一般地，如果随机变量X落在区间[α，b]内的概率，总是等于 94,a(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的 ,则称X服从 参数为L与σ的正态分布，记作X~N(u,σ2)，此时 称为X的概率 密度函数，私是X的 ,0是X的，σ2是X的 075 (2)三个特殊区间内取值的概率值： P(u-o≤X≤u+o)≈ P(u-2o≤X≤u+2σ)≈ P(u-3σ≤X≤u+3σ)≈ (3)“3σ原则”：由P(u-3σ≤X≤u+3σ)≈99.7%知，正态变量X在区间[-3σ，4+3σ]之 外取值的概率约为 (这样的事件可看成小概率事件). 知识点三标准正态分布 (1)标准正态分布的定义： 的正态分布称为标准正态分布， (2)Φ(a)的概念：如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X<a),即Φ(a)表示 N(0,1)对应的正态曲线与x轴的区间(-∞，a)内所围的面积. (3)Φ(a)的性质：Φ(-a)+Φ(a)= 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一利用正态分布的对称性求概率 例1.设~N(10,1). 规律方法： (1)求证：P(1<X<2)=P(18<X<19); 正态总体在某个区间 内取值概率的求解 (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). 策略 (1)充分利用正态曲 线对称性和曲线与x 轴之间面积为1. (2)熟记P(μ-σ <X≤+σ)，P(u -2g<X≤+2σ) P(μ-3σ<X≤μ+ 3σ)的值 (3)注意概率值的求 解转化： [规律方法] ①P(X<a)=1-P(X )》对点训练1 ≥a)； (1)已知随机变量服从正态分布N(0,σ2)，若P(5>2)=0.023,则P(-2< ②P（X<-a)= <2)= P(X≥μ+a); A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977 ③若b<μ，则P(X<b) (2)(多选)(2024·新课标I卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶 =1-PL-b<X<μ+b) 2 叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元） 特别提醒：正态曲 情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本线，并非都关于y轴 方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.1),假对称，只有标准正态 设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则（若随机变量Z服从正分布曲线才关于y轴 态分布N(u,o2),P(Z<u+)≈0.8413) ()对称. A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 076 题型二实际问题中的正态分布 角度1求给定区间的概率 例2数学考试试卷消分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近 似服从正态分布，且均值为110，标准差为20.求这个班在这次数学考 试中分数在90分以上的概率. 角度2实际应用问题 例3.某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25).质检人员从该厂 生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm,试问该 厂生产的这批零件是否合格？ [分析]判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思 想.欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是 在(u-3σ，+3σ)之内还是在(-3σ，+3σ）之外 规律方法： 解答正态分布的实际 应用题的关注点 (1)方法：转化法 把普通的区间转化为 3σ区间，由特殊区 ·[规律方法] 间的概率值求出。 (2)理论基础：①正 》对点训练2 态曲线的对称性： 在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即飞~N(90,100). ②曲线与x轴之间的 (1)试求考试成绩位于区间(70,110]内的概率； 面积为1：③P(山- (2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生▣≤X≤μ+σ)， 大约有多少人 P（h-2σ≤X≤ +2σ)，P(u 3σ≤X≤u+3σ)的 概率值. ●077 题型三标准正态分布及其应用 例4在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的克赛成绩近似服从正态分 布N(70,100).已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名. (1)试问此次参赛学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约 为多少分？ 可供查阅的（部分）标准正态分布表Φ(x,)=P(x<x,) 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.8849 08869 0.888 0.89077 0.8925 08944 0.8962 0.8980 0897 0.9015 L.3 0.9032 09049 0.9066 09082 0.9099 09115 0.9131 09147 09162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 09222Q9236 09251 09265 0.9278 Q9292 0.9306 0.9316 1.90.97713 0.9719 0972609732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 09762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 Q9788 Q.9793 0.9798 0.9803 Q.9808 Q9812 0.9817 2.1 0.9821 Q.9826 Q.9830 Q.9834 09838 Q942 09846 Q950 a9854 0.9857 [分析](1)先求出90分以上（含90分）的学生所占的百分比，再计算 规律方法： 参赛学生的总数A; 1.任何一个一般的正 (2)利用P(≥)-结合P(5<)=0求解 态分布都可以通过线 性变换转化为标准正 态分布 即：如果X~N(, σ2)，则Z=X-业 N(0.1). 2.Φ(a)=P(x< a)即标准正态曲线与 x轴在区间(-∞，a) 上的概率，解題时要 P[规律方法] 熟记该要点 】对点训练3 设随机变量X~N(0,1), (1)求Φ(-3)的值； (2)若Φ(0.42)=0.6628，求Φ(-0.42). 078 ●易错警示 对正态曲线的性质理解不准确致错 例5设~N1,4),那么P(5<<7) [错解]因为~N(1,4),所以u=1,σ=2， P(5<ξ<7)=P(-5<专<-3). 则P(5<<7) =P(-5<专<7)-P(-3≤≤5) =P(1-6<5<1+6)-P(1-4≤ξ≤1+4) =P(u-3o<专<u+3o)-P(u-2σ≤专≤u+2σ） ≈0.997-0.954 =0.043. 上述错解中，由正态曲线关于直线x=1对称，得到P(5<专<7)=P(-5<<-3)=P(-5<<7) P(-3≤≤5)，事实上，P(5<6<7)=[P(-5<6<7)-P(-3≤≤5)]： [正解] [点评]因为正态曲线关于直线x=和对称，所以随机变量在对称轴两侧的对称区间上的概率相等 在求概率的转化过程中易漏乘，，从而出现错误 课堂检测 固双基 1.正态曲线函数f(x)= √/2T ,xeR,其中μ2若X~N-2,4),则X落在(-35，-05]内的 >0的图像是下图中的 概率是 () A95.45% B.99.73% 4女小 C.4.55% D.0.27% 3.若随机变量X~N(,2),且P(X≤a)=P(X> a),则a的值为 () A.0 B.u C.-p D. ●079 4.已知随机变量服从正态分布N(1,4),则P(1<5.在某项测量中，测量结果X服从正态分布 ≤3)= N(1,σ2)（σ>0），若X在(0,1]内取值的概率 (参考数据：若随机变量专~N(u,σ2)，则P(u- 为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为 σ<5<u+σ)=0.6826，P(u-2o<ξ<u+2σ) 夯基提能作业 =0.9544,P(u-3σ<E<u+3σ）=0.9974) 请同学们认真完成练案[16】 A.0.6826 B.0.3413 C.0.9544 D.0.4772 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 素养目标 定方向 课程标准 学法解读 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义， 1.了解变量间的相关关系.（数学抽象) 了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理， 2.能根据散点图，判断两个变量是否具有相 掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方 关关系 法，会使用相关的统计软件。 3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程. 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行 4.会判断相关性的强弱，能根据回归直线方 预测 程进行预测 3.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，会通5.能利用回归分析解决实际问题，能解决非 过相关系数比较多组成对数据的相关性 线性回归问题. 必备知识 探新知 知识点一 相关关系 (1)两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 两变量关系具有 两变量关系带有 特征 (2)散点图：将样本中n对数据(x,y:)(i=1,2,…,n)描在 思考1：正相关与负相 中得到的图形 关是对所有具有相关 (3)线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用 关系的两个变量而言 来刻画，则称x与y线性相关 的，对吗？ (4)正相关与负相关 正相关 负相关 一个变量增大，另 个变量增大，另 个变量大体上也 一个变量大体上 >[思考1]