23.1 测量（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”中的测量问题，核心知识点为利用相似三角形、勾股定理解决不可及物体的高宽测量。通过“测量旗杆高度”的观察思考导入，衔接相似三角形知识，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其特色在于以真实情境驱动，通过影长法、标杆法等方案设计，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理比例关系、用数学语言规范表达。如镜面反射测高体现模型意识，分层习题助力差异化教学，既提升学生应用能力，又为教师提供丰富教学资源。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章 解直角三角形 23.1 测量 2026年8月4日 华东师大版九年级上册23.1 测量练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 生活中测量无法直接到达的物体高度、宽度，主要利用的数学知识是（） A.全等三角形 B.相似三角形 C.勾股定理 D.平移性质 2. 同一时刻、同一地点，太阳光下竖直物体的高度和影长的关系是（） A.成正比例 B.成反比例 C.无比例关系 D.高度相等，影长相等 3. 一根高2m的竹竿，影长1.6m，同一时刻一棵树影长8m，则树的高度为（） A.8m B.10m C.12m D.16m 4. 利用标杆测量建筑物高度时，构造的两个三角形为（） A.全等直角三角形 B.相似直角三角形 C.任意相似三角形 D.任意全等三角形 5. 测量河宽时，为构造相似三角形，常利用的条件是（） A.两直线平行，同位角相等 B.对顶角互补 C.直角互余 D.内角和相等 6. 下列测量场景，**不能**用相似三角形求解的是（） A.测量大树高度 B.测量河面宽度 C.测量楼房高度 D.测量书本厚度 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 测量不可及物体的高、宽的核心原理：构造________三角形，利用对应边成比例计算。 2. 平行光测高模型中：$$\dfrac{\text{物体高度}_1}{\text{影长}_1}=\boldsymbol{________}$$。 3. 标杆测高、镜面测高、河宽测量的共同数学模型是________。 4. 身高1.5m的同学影长2m，同一时刻楼房影长20m，则楼房高________m。 5. 镜面反射测高利用：反射角等于入射角，构造两个________的直角三角形。 6. 相似测量的关键：找准________三角形，列出正确比例式。 三、解答题（共52分） 13.（12分）阳光测高问题： 在同一时刻，一根高1.5米的竹竿竖直放置，影长1.2米，此时一栋教学楼的影长24米，求教学楼的高度。 14.（12分）标杆测高问题： 为测量一棵大树高度，观察者眼睛离地面高度1.6m，手持标杆高2.4m，人距离标杆2m，标杆距离大树18m，所有人、标杆、大树在同一竖直平面内，求大树的高度。 15.（14分）河面宽度测量问题： 如图，为测量河宽AB，在岸边取点C、D，使CD∥AB，连接BD、AC交于点O，已知CD=5m，OD=4m，OB=12m，求河宽AB的长度。 16.（14分）镜面反射测高问题： 测量一棵垂直地面的树高，在地面水平放置一面平面镜，平面镜距离树根16m，人站在镜前2m处，人眼高度1.5m，恰好通过镜面看到树顶，求大树的高度。 参考答案 1.B  2.A  3.B  4.B  5.A  6.D 7.相似  8.$$\dfrac{\text{物体高度}_2}{\text{影长}_2}$$  9.相似三角形  10.$$15$$  11.相似  12.相似 13.解：设教学楼高为$$x$$ m，同一时刻物高与影长成比例： $$\dfrac{1.5}{1.2}=\dfrac{x}{24}$$，解得$$x=30$$。 答：教学楼高度为30m。 14.解：标杆高出人眼：$$2.4-1.6=0.8\mathrm{m}$$，设大树高出人眼部分为$$h$$， 由相似得：$$\dfrac{0.8}{h}=\dfrac{2}{2+18}$$，解得$$h=8\mathrm{m}$$， 大树总高：$$8+1.6=9.6\mathrm{m}$$。 答：大树高度为9.6m。 15.解：∵$$CD\parallel AB$$，∴$$\triangle COD\backsim\triangle AOB$$， $$\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{OD}{OB}$$，代入$$\dfrac{5}{AB}=\dfrac{4}{12}$$，解得$$AB=15$$。 答：河宽AB为15m。 16.解：由镜面反射原理，两角相等，构造相似直角三角形， 设树高为$$h$$，$$\dfrac{h}{1.5}=\dfrac{16}{2}$$，解得$$h=12$$。 答：大树高度为12m。 本节核心知识总结 1. 核心原理：利用相似三角形对应边成比例，将不可直接测量的长度转化为可计算的数值。 2. 三大必考模型 （1）平行光影子模型：同一时刻物高与影长成正比； （2）标杆测量模型：构造上下两组相似直角三角形，注意扣除人眼高度； （3）镜面反射模型：反射角=入射角，直角三角形AA相似。 3. 解题通用步骤：构造相似→找对应边→列比例式→解方程→写答。 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 可能你会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 你能设计出一种测量的方案吗？ 观察与思考 要求 ：（1）画出测量图形； （2）写出需要测量的数据(可以用字母表示 需要测量的数据)； （3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比 例式. 用不同的方案进行测量 旗杆影长 A B C D E F 标杆影长 影长法： 比例式： 人 平面镜 平面镜法 比例式： A F E C D B A B C D E F G H 标杆法 人 标杆 比例式： ∴AB = AE + EB 知识点1 应用勾股定理测量 1．如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条10 m长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是(　　) A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m 1星题 夯实四基 C 举一反三 2.(数学文化).在《九章算术》中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面(如图)，则这个水池水的深度是________尺． 12 举一反三 D A B E C 34° 你能利用这些数据算出旗杆的高度吗？ 测倾器法 1.在测点 D 安置测倾器，测得点 B 的仰角∠BAC = 34°； 2.量出测点 D 到物体底部 E 的水平距离 DE = l0 米； 3.量出测倾器的高度 AD = 1.5 米. D A B E C 34° B′ C′ A′ 1.在测点 D 安置测倾器，测得点 B 的仰角∠BAC = 34°； 2.量出测点 D 到物体底部 E 的水平距离 DE = 10 m； 3.量出测倾器的高度 AD = 1.5 m. 你知道计算的方法吗？ D A B E C 34° 实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系． 我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？ 本章主要探究的内容就是直角三角形中的边角关系 [朝阳中考]某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边 B 点，选对岸正对的一棵树 A；②沿河岸直走 20 步有一树 C，继续前行 20 步到达 D 处；③从 D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 A 树正好被 C 树遮挡住的E 处停止行走； ④测得 DE 的长就是河宽 AB． 请你证明他们做法的正确性．                        【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证两个三角形全等即可说明其做法的正确性． 【解答】证明：如图， 在 Rt△ABC 和 Rt△EDC 中，                                            ∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB = ED. 即他们的做法是正确的． 3.【新情境】如图，点点超市为了给顾客更好的购物体验，在超市门口离地高4.5 m的墙上装了一个由传感器控制的迎宾门铃A，人只要移至距门铃A 5 m及5 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，求该学生此时到 门口的距离BD. 举一反三 举一反三 知识点2 应用相似三角形测量 4．如图，经测量，BE＝60 m，CE＝30 m，CD＝35 m，则河的宽度AB为(　　) A．30 m B．35 m C．60 m D．70 m D 举一反三 5．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC.已知路灯高PO＝5 m，树影AC＝3 m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5 m，则树的高度AB是(　　) A 举一反三 6．如图，王海同学为了测量校园内一棵大树EF的高度，他走到了校园的围墙CD外(如图所示)，然后他沿着过点F与墙CD垂直的直线从远处向围墙靠近至B处，使大树的顶端E恰好被围墙的顶端C挡住(A，C，E三点在同一条直线上)．若BD＝2 m，CD＝3 m，FD＝8 m， AB＝1.6 m，求大树的高度． 举一反三 举一反三 7．河南新乡模拟如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20 cm，滑块B距O点15 cm，则当滑块A向下滑动13 cm时，滑块B向右滑动了________cm. 9 2星题 提升四能 举一反三 8.(数学文化).据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D)．若物体AB的高度为12 cm，实像CD的高度为4 cm，则小孔O的高度OE为________ cm. 3 举一反三 9.(跨学科·物理)如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光在平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5 m，点F到地面的高度CF＝1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4 m，墙到木板的水平距离CD＝4 m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．求灯泡到地面的高度AG. 举一反三 举一反三 利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例. 利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. 构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.根据题意易得CD＝BE＝1.5 m，BD＝CE，∴AE＝4.5－1.5＝3(m)． 在Rt△ACE中，AE2＋CE2＝AC2， ∴CE＝＝＝4(m)． ∴BD＝4 m. 答：该学生此时到门口的距离BD为4 m. A．2 m B．3 m C. m D. m 解：过点A作AH⊥EF于点H，交CD于点G，则易得 AG＝BD＝2 m，GH＝DF＝8 m，AB＝DG＝HF＝1.6 m， ∴CG＝CD－DG＝3－1.6＝1.4(m)． ∵CG∥EH，∴△AGC∽△AHE，∴＝， 即＝，∴EH＝7 m，∴EF＝EH＋HF＝7＋1.6＝8.6(m)． 答：大树的高度为8.6m. 解：由题意，可得FC∥DE，则△BFC∽△BED， ∴＝，即＝，解得BC＝3 m. ∵AC＝5.4 m，∴AB＝AC－BC＝5.4－3＝2.4(m)． 由题意，易得∠GBA＝∠FBC，∠GAB＝∠FCB＝90°， ∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝， 解得AG＝1.2 m. 答：灯泡到地面的高度AG为1.2 m. $