23.4.1解直角三角形（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心内容，系统梳理三类依据（边关系、角关系、边角关系）及两类题型（已知两边、已知一边一角）。通过“观察与思考”引导学生分析直角三角形元素关系，衔接勾股定理与锐角三角函数，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于结合比萨铁塔倾斜、梯子安全等生活情境，用数学眼光发现问题，通过1星夯实基础、2星提升能力、3星发展素养的分层题目，培养运算能力与推理意识。解题思想小结（数形结合等）助学生用数学语言表达，学生能提升应用能力，教师可实现分层教学与高效备课。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章 解直角三角形 23．4　解直角三角形 第1课时　解直角三角形 2026年8月4日 华东师大版九年级上册23.4 解直角三角形（第1课时）练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 解直角三角形需要已知的条件个数至少是（不含直角）（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，已知斜边和一个锐角，求直角边应选用（） A.三角函数 B.勾股定理 C.仅能估算 D.无法求解 3. Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC、BC，求∠A最合适的方法是（） A.用$$\sin A$$ B.用$$\cos A$$ C.用$$\tan A$$ D.先求斜边 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，∠A=30°，则BC的长为（） A.5 B.$$5\sqrt{3}$$ C.10 D.$$10\sqrt{3}$$ 5. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则∠A约为（精确到1°）（） A.37° B.53° C.45° D.60° 6. 下列不属于解直角三角形依据的是（） A.两锐角互余 B.勾股定理 C.锐角三角函数 D.三角形外角定理 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出________元素的过程。 2. Rt△ABC中，∠C=90°，边角关系：$$\sin A=$$________，$$\cos A=$$________，$$\tan A=$$________。 3. 边的关系：直角三角形两直角边的平方和等于________。 4. 角的关系：直角三角形两锐角________。 5. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20，∠B=45°，则AC=________。 6. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，$$\tan A=\dfrac{3}{4}$$，BC=6，则AC=________。 三、解答题（共52分） 13.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知$$a=6,b=8$$，解这个直角三角形。 14.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知斜边$$c=20$$，$$\angle A=30^\circ$$，求两直角边和∠B。 15.（14分）在Rt△ABC中，∠C=90°，$$b=10$$，$$\angle B=60^\circ$$，求其余边长和角度。 16.（14分）在Rt△ABC中，∠C=90°，$$a=5$$，$$c=10$$，求锐角∠A、∠B（精确到1°）和直角边b。 参考答案 1.B  2.A  3.C  4.A  5.A  6.D 7.未知  8.$$\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c},\dfrac{a}{b}$$  9.斜边的平方  10.互余  11.$$10\sqrt{2}$$  12.$$8$$ 13.解：$$\angle C=90^\circ,a=6,b=8$$ 斜边$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$$， $$\tan A=\dfrac{6}{8}=0.75$$，得$$\angle A\approx37^\circ$$， $$\angle B=90^\circ-37^\circ=53^\circ$$。 答：$$c=10，\angle A\approx37^\circ，\angle B\approx53^\circ$$。 14.解：$$\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ$$， $$a=c\cdot\sin30^\circ=20\times\dfrac{1}{2}=10$$， $$b=c\cdot\cos30^\circ=20\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$$。 答：$$\angle B=60^\circ，a=10，b=10\sqrt{3}$$。 15.解：$$\angle A=90^\circ-60^\circ=30^\circ$$， $$\tan B=\dfrac{b}{a}\Rightarrow \tan60^\circ=\dfrac{10}{a}\Rightarrow a=\dfrac{10}{\sqrt{3}}=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$$， $$c=2a=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$$。 答：$$\angle A=30^\circ，a=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}，c=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$$。 16.解：$$\sin A=\dfrac{a}{c}=\dfrac{5}{10}=0.5$$，∴$$\angle A=30^\circ$$， $$\angle B=90^\circ-30^\circ=60^\circ$$， $$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$$。 答：$$\angle A=30^\circ，\angle B=60^\circ，b=5\sqrt{3}$$。 本节核心知识总结 1. 解直角三角形三类依据（必考） 角关系：两锐角互余；边关系：勾股定理；边角关系：三大锐角三角函数。 2. 两大题型模型 ① 已知两边：先用勾股求第三边，再用三角函数求角度； ② 已知一边一角：先求另一锐角，再用三角函数求剩余边长。 3. 解题原则 尽量使用已知原始数据计算，不使用中间近似值，减少误差。 A C B c b a (1) 三边之间的关系: a2 + b2 =_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，tan A =_____. 在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C = 90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 观察与思考 比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图），在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m. ∴∠A ≈ 5°28′ 可以求出 2001 年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？ A B C A B C 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°.现有一个长 6 m 的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角 α 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以 安全攀上多高的墙（精确到 0.1m）？ 对于问题（1），当梯子底端距离墙面 2.4 m 时，求梯子与地面所成的角 α 的问题，可以归结为：在Rt△ABC 中，已知 AC＝2.4，斜边 AB＝6，求锐角 α 的度数 由于 利用计算器求得 α ≈ 66° 因此当梯子底墙距离墙面 2.4 m 时，梯子与地面所成的角大约是 66°. 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． C A B 由 得 . 问题（2）可以归结为：在 Rt△ABC 中，已知∠A＝75°，斜边 AB＝6，求∠A 的对边 BC 的长． 问题（2）当梯子与地面所成的角 α 为 75° 时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是 5.8 m. 所以 BC ≈ 6×0.97 ≈ 5.8 . 由计算器求得 sin75° ≈ 0.97 . A C B 知识点1 已知两边解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，AB＝2，则∠A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 1星题 夯实四基 B 举一反三 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝3，则AB＝______，∠A的度数为________，∠B的度数为 ________． 60° 6 30° 举一反三 举一反三 在图中的 Rt△ABC 中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75° ） 解： 已知一边和一锐角解直角三角形 在如图的 Rt△ABC 中，根据 AC＝2.4，斜边 AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 解： 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 在直角三角形中，由已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 归纳总结 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ，解这个直角三角形. 解： A B C 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形. D A B C 6 解： ∵AD 平分∠BAC， 3.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30，b = 20； (2) ∠B＝72°，c = 14. 解：根据勾股定理得 A B C b = 20 a = 30 c (2) ∠B＝72°，c = 14. A B C b a c = 14 解： 4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B = 60°时， 答：梯子的长至少 4.62 米 C A B 知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形 4．知识初练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝8，则BC的长为________． 举一反三 5.【思维生长】 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， sin B＝0.6，则BC的长是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 C 举一反三 6.(教材改编题)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. 举一反三 举一反三 知识点3 解直角三角形的简单应用 7.【新情境】如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB的夹角为47°，它的示意图如图②所示．若AC长为a m，则窗角C到窗框AB的距离CD为(　　) D 举一反三 8．[广东广州模拟]如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40 cm，则高AD约为________ cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51) 10.2 举一反三 B 2星题 提升四能 举一反三 易错点睛：未给出具体三角形，易忽略三角形的高在外部的情况导致出错． 举一反三 45° 举一反三 举一反三 11.【新趋势·开放性问题】已知△ABC为钝角三角形，其中∠A＞90°，有下列条件： (1)你认为从中至少选择________个条件，可以求出边BC的长； (2)你选择的条件是________(直接填写序号)，并写出求BC的解答过程． 3 ①②④ 举一反三 举一反三 12.(立德树人·传统文化　江苏徐州一模节选)如图为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具——“碓”的平面示意图．在操作时，通过人力或借助畜力、水力等动力，使碓杆一端的碓头点B抬高，此时碓杆AC绕着支点C转动．当碓头B被抬升到一定高度后，释放动力，碓头在重力作用下快速落下，砸向放置在碓臼中的谷物．已知AC⊥AB于点A，AC与水平线l相交于点C，CM⊥l于点C.若AB＝6 dm，AC＝15 dm，∠ACM＝55°，求此时点B到水平线l的距离．(结果精确到1 dm，参考数据：cos 55°≈0.57，sin 55°≈0.82， tan 55°≈1.43) 举一反三 举一反三 13.(推理能力)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，将△ABE，△ADF分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好落在EF上的点G处，再将△CEF沿EF折叠，点C落在AF上的点H处，AG与EH交于点M. (1)sin∠DAF＝________； (2)若DF＝ ，则AM的长为________． 3星题 发展素养 举一反三 （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： （勾股定理） 课堂小结 1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形. 解题思想与方法小结： 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 3．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，其中a＝，c＝2 ，解这个直角三角形． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，c＝2， ∴b＝＝＝， ∴sin B＝＝＝，∴∠B＝30°， ∴∠A＝90°－∠B＝60°. 4　 向“(分类讨论思想”生长：△ABC是直角三角形，AB＝2 ， tan∠ABC＝，则AC的长为____________． 2或 (1)已知a＝5 ，∠A＝45°，求∠B，b，c； 解：∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°， ∴∠B＝∠A，∴b＝a＝5， ∴c＝＝＝10. (2)已知c＝8，cos A＝，求∠B，a，b. 解：∵∠C＝90°，cos A＝， ∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.∴b＝c＝4， ∴a＝＝＝4. A. m B. m C．acos 47° m D．asin 47° m 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°， 点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知sin B＝，AD＝2CD＝2，则BE的长为(　　) A．4 B. C. D．3 15或10 10.【思维生长】 在△ABC中，cos∠ABC＝，AB＝4，AC＝，则边BC的长为______________． 向“其他元素”生长：在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，∠B＝30°，则△ABC的面积为______________． 2－或2＋ 点拨：如图所示．因为tan∠BAD＝，tan∠CAD＝， 所以可设AD＝x，则BD＝x，CD＝x. 在Rt△ABD中，AB＝＝x. 向“设参数法”生长：在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD＝，tan∠CAD＝ ，则∠BAC的度数是________． 同理可得，AC＝ x.过点C作CE⊥AB于点E，如图． 则AB·CE＝BC·AD，所以CE＝ x. 在Rt△ACE中，sin ∠BAC＝ ＝＝， 所以∠BAC＝45°. ①AB＝10；②AC＝6 ；③tan B＝；④tan C＝. 过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.设AD＝x， ∵tan C＝＝，∴CD＝2AD＝2x. ∵AC＝6，∴x2＋(2x)2＝(6)2， 解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)， ∴AD＝6，CD＝12. ∵AB＝10，∴BD＝＝8， ∴BC＝CD＋BD＝12＋8＝20. 解：如图，延长AB交l于点D，过点B作BE⊥l于点E. ∵CM⊥l，∴∠ECM＝90°，∴∠ACD＝∠ECM－∠CM＝35°. ∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＝90°－∠ACD＝55°， 在Rt△ACD中，AD＝＝≈≈10.5(dm)， ∴BD＝AD－AB≈4.5(dm). 在Rt△BDE中，BE＝BD·sin∠BDE≈4.5×sin 55° ≈4.5×0.82≈4(dm)， ∴点B到水平线l的距离约为4 dm. 6－2 $