第二十三章 解直角三角形 单元测试卷 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦解直角三角形，以几何图形与实际应用为载体，覆盖锐角三角函数、勾股定理等核心知识，适配单元复习，强化几何直观与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|锐角三角函数、几何图形性质|结合菱形、矩形等图形，考查概念理解| |填空题|6/18|坡比、俯角仰角、斜边中线|融入网格背景，强化空间观念| |解答题|8/72|实际测量、航海问题、几何综合|设计分层问题，如斜坡距离计算、动点对称，体现应用意识与推理能力|

第二十三章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（     ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，斜边上的中线，推出为等边三角形，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 2．如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 【答案】A 【分析】由矩形可求得，，然后由勾股定理求得，再由三角形中位线的性质求得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长，继而求得四边形的周长． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵M是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：． 3．如图，已知等边三角形的边长为5，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】计算出，可得，推出三角形为等边三角形，即可得到，即可推出． 【详解】解：∵在等边三角形中，，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 4．如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：中，，， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 5．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 6．如图所示，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先得出是直角三角形，且，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴在中，． 7．在中，，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】由非负数的性质求得，，利用特殊角的三角函数值求得，，进而可得是等边三角形． 【详解】解：由得，， 解得，， ∴，， ∴，则， 所以是等边三角形． 8．如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ＝5，则AC的长为（　　） A．5 B．5 C．10 D．15 【答案】C 【分析】设PC与AB的交点为D，在等边△ABC中，AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，由点C关于直线AB的对称点P，可得CD平分∠ACB，由PQ⊥BC，可得∠Q=90°，设BC=x，利用三角函数可求CD= ，PC=，再利用三角函数列方程QC=PCcos30°即5+x=,解之即可． 【详解】解：设PC与AB的交点为D， 在等边△ABC中，AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点C关于直线AB的对称点P， ∴PC⊥AB，PD=CD， ∵CD⊥AB，△ABC为等边三角形， ∴CD平分∠ACB， ∴∠DCB= ∵PQ⊥BC， ∴∠Q=90°， 设BC=x， ∴CD=BCcos30°=， ∴PC=2CD=， ∴QC=PCcos30°即5+x=, 解得：x=10． 故选择：C． 【点睛】本题考查等边三角形选择，轴对称性质，锐角三角函数，掌握等边三角形选择，轴对称性质，锐角三角函数，利用锐角三角函数构造方程是解题关键． 9．如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 10．在高为的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是和则这个建筑物的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD＝BE＝AB−AE即可解题． 【详解】解：如图，作CE⊥AB， 根据题意可知：∠DAB＝90°−60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°， ∴BD＝AB×tan30°＝， ∴CE＝BD＝， ∵∠ACE＝30°， ∴AE＝CEtan30°＝， ∴CD＝BE＝AB−AE＝60−20＝40（m），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，本题中求得BD的长是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，在中，，，，则______． 【答案】 【分析】根据角所对的直角边是斜边的一半，可得，结合已知条件，联立上述数量关系，求解得到和的长度，再利用勾股定理即可计算的长度． 【详解】∵在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理， ∴． 12．已知在中，，为斜边中线，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，推出，最后利用锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵为斜边中线， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 14．如图，一道斜坡坡比为，，则斜坡的高度__________． 【答案】 【分析】根据坡比得到，从而求出的值． 【详解】解：斜坡坡比为， ， ， ． 15．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 16．如图，点O为正方形的对角线的交点，点E，F分别在上运动（不与端点重合）且保持，连接．在点E，F的运动过程中，若，则的最小值是________（用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】先证明，则，由勾股定理可得，可得当最小时，最小，再由等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵正方形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当最小时，最小， ∵当时，最小，如图 ∵正方形中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的最小值是． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 18．计算 (1)计算： (2)已知是锐角，且，计算的值． 【答案】(1)1 (2)0 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可； （2）先利用锐角的正弦求解的大小，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 是锐角，且， 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 19．如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，交于点，连接，，，． (1)求的长； (2)若，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：是直角三角形．理由如下： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ∴是直角三角形． 【分析】（1）由作图知，为线段的垂直平分线，再由三角形的中位线定理求解即可； （2）由含角的直角三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，即可求出，再根据勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：由作图知，为线段的垂直平分线， ∴点D是的中点， ∵点E是的中点， ． （2）略 20．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 21．如图所示，已知是水平面，、、是斜坡．的坡角为，坡长为米，的坡角为，坡长为米，的坡比． (1)求坡顶到水平面的距离； (2)求斜坡的长度．（结果精确到米，参考数据： ，） 【答案】(1)坡顶A到水平面的距离约为210米； (2)斜坡的长度约为240米 【分析】（1）过点A作于E，根据正弦的定义求出，即可得到答案； （2）过点D作于F，于G，根据正弦的定义求出，进而求出，根据坡度的概念计算即可． 【详解】（1）解：（1）过点A作于E，  在中，米，  则（米），  答：坡顶A到水平面的距离约为210米； （2）解：过点D作于F，于G，  则四边形为矩形，  ，  在中，米，  则（米），  （米），  的坡比，  ，  ，  （米），  答：斜坡的长度约为240米． 22．清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图，某数学小组开展了测量清风阁高度的实践活动，并利用课余时间完成了实地测量．观测点和清风阁分别在包河的两侧，美美同学用高度为1米的测角仪，在点A处测得清风阁顶M的仰角为，然后她沿坡度的斜坡走了13米到达点C，又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为．求清风阁的高度（A，B，C，D，M，N在同一平面内，结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形列方程逐一推算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 根据题意， ∴点共线，点共线，点共线， 根据题意可得四边形，四边形，四边形，四边形为矩形， 米，， ∵， ∴设米，米， 根据勾股定理可得， 即， 解得（负数舍去）， 米， 米， 米， 米， 米， 设米，则米， ， 米， 米， 米， ，即， 解得， 米， 答：清风阁的高度约为米． 22．如图，中，，，点D为BC上一动点，，，点D关于直线EF的对称点为H，连接HE、HF． (1)求的值； (2)若，求DE长； (3)连接DH，点D在运动过程中，求周长的最大值，并求出此时DE长． 【答案】(1)10 (2) (3)20， 【分析】（1）根据DE∥AC，DF∥AB，推出四边形AEDF是平行四边形，∠BDE=∠C，得到DF=AE，DE=AF，由∠B=∠BDE，得到DE=BE，由此求出结果； （2）设HF与AB交于点M，设，，，则，由翻折可知，∠DFE=∠EFH =45°，利用三角函数求出EM=4x，根据，求出，即可得到DE； （3）根据（1）得到周长的最大值为20，设，，则,由，求出x得到DE． 【详解】（1）解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠BDE=∠C， ∴DF=AE，DE=AF， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠BDE， ∴DE=BE， ∴； （2）设HF与AB交于点M， 中，， 设，，，则， ∵DF∥AB， ∴∠DFH=∠EMH=90°， ∵由翻折可知，∠DFE=∠EFH， ∴∠EFH=45°， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）如图， 故当∠AFE=∠DEF=90°时，D、E、H共线，△DFH的周长最大，为20， 中，， 设，，则， ， 得， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，翻折的性质，锐角三角函数，最值问题，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 24．如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分别位于点Q，R处，且相距30海里． (1)求两船行驶多长时间分别位于点Q，R处？ (2)求的长度？ 【答案】(1)小时 (2)海里， 海里 【分析】（1）两船分别沿东北、西北方向行驶，则，，可得为直角三角形，设航行时间为,用含的式子表示两船的航程，即，的长，已知的长，使用勾股定理，可求出值，即可得到两船位于,处的航行时间． （2）用两船的航行速度乘以两船的航行时间的具体值，得到两船航程，即的长度． 【详解】（1）解：两船分别沿东北、西北方向行驶， 则， ∵， ∴为直角三角形， 设航行时间为，可得： 远征号航程： 海里，即， 和平号航程： 海里，即， 已知， 由勾股定理可得： ,即， 解得（舍去）， 所以两船行驶小时后分别位于点Q，R处． （2）解：由第一问可知，两船航行时间为小时， 所以远征号航程： （海里），即海里， 和平号航程： （海里），即海里． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十三章解直角三角形单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1,菱形HBCD的对角线AC,BD相交于点0分别以点g:C为圆心、大于BC的长为 半径作弧，两弧分别交于点M,N,作直线MN交BC于点E,连接OE.若∠ABC=60°」 AC=8,则OE的长为() ⊙ M木 米N A.4 B.4V5 c25 D.8 2.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是边AD的中点，若AB=5,AD=12, 则四边形ABOM的周长为() M A.20 B.34 C.17 D.22 3.如图，已知等边三角形ABC的边长为5，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E, 过点E作EF⊥AC于点F,连结DF,若BE=I,则DF的长为() D E C.3 D 25 B.2 试卷第1页，共3页 4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30,分别以点A和点B为圆心，大于2AB的长 为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN,交BC于点D,连接AD,若CD=3, 则BD的长为() M D B 米 A.3 B.4 c.5 D.6 5.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sinA的值是() B A 5 25 B.5 C. D.5 6.如图所示，每个小正方形的边长均为l,若点A,B,C都在格点上，则tan∠BAC= () B g 5 2N5 1 A C.5 D.5 7.在△ABC中， (2cosA-+5-an=0,则aABC是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D,锐角三角形 8.如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P,过点P作PQ⊥BC,交CB的 试卷第2页，共3页 延长线于点Q,BQ=5,则AC的长为() A.5 B.53 C.10 D.15 9如图，在AABC中，simB=4 5,tanC=。,1R5,则B的长为< A.11 B.12 C.13 D.14 10.在高为60m的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是30°和60°则这个建 筑物的高度是() A.20m B.30m c.40m D.50m 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，在R△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB+BC-=18cm,则AC=cm B A ◇ 12.己知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB中线，BC=6,AC=8,则 cOS∠ACD= 13.如图，在5×5的正方形网格中，线段AC经过格点A,E,线段AB经过格点A,B, D,则Os∠CAB= 试卷第3页，共3页 B 14.如图，一道斜坡AB坡比为1：2，AC=6m,则斜坡的高度BC= m, A 15.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为150m,这栋楼有多高！ (结果保留根号)， 16.如图，点O为正方形ABCD的对角线的交点，点E,F分别在AB,AD上运动（不与端 点重合)且保持OE⊥OF,连接EF.在点E,F的运动过程中，若BE=m,则EF的最小 值是 (用含m的式子表示)， B 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，把一个长方形的纸片ABCD沿对角线折叠（长方形ABCD中，AB‖CD且 AB=CD,ADII BC且AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°)，重合部分为△FBD. 试卷第4页，共3页 D D B (I)求证：△FBD是等腰三角形： (2)若AF=2,∠ABE=30°，求DF的长. 18.计算 √3sin60°-2cos230°+tan45° (1)计算： (②已知a是领角，且sn(a-159）,计算5-4cosa的值。 19,如图。在。MBC中，点E是4C的中点，分别以点AB为凤心，以大于方AB的长为 半径画弧，两弧相交于点M,N,直线MN交AB于点D,交AC于点F,连接DE,BF, DE=6,DF=6.5 E (①)求BC的长； (2)若∠A=30°，AC=18,判断△BCF的形状，并说明理由. 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E, EF∥CB交BD于点F. B 试卷第5页，共3页 (I)求证：△ACE∽△BAC: (2)若4C=vio,CE= 1,求EF的长 21.如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡.AB的坡角为42°，坡长为 300 D的坡角为60°，坡长为150米，CD的玻比=1：25 米，A 的坡比 (1)求坡顶A到水平面BC的距离： (②)求斜坡C0的长度。《结果精确到米，参考数据：血420,70,51,73， 22.清风阁位于安徽省合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年、弘扬包公 精神、宣传安徽悠久历史文化而建造的.如图，某数学小组开展了测量清风阁MN高度的 实践活动，并利用课余时间完成了实地测量.观测点和清风阁分别在包河AN的两侧，美 美同学用高度为1米的测角仪AB,在点A处测得清风阁顶M的仰角为45°，然后她沿坡度 i=1:24的斜坡AC走了13米到达点C,又用同样的测角仪测得清风阁顶M的仰角为34.2° 求清风阁MN的高度(A,B,C,D,M,N在同一平面内，结果精确到O.1,参考数据： sin34.2°≈0.56.cos34.2°≈0.83.tan34.2°≈0.68) M D34.2° CB∠X45° A 22.如图，A4BC中，4B=4C=0,eos1s 5,点D为BC上一动点，DE∥AC, DF∥AB,点D关于直线EF的对称点为H,连接HE、HF. 试卷第6页，共3页 D 备用图 (I)求DE+DF的值： (2)若HF⊥AB,求DE长： (3)连接DH,点D在运动过程中，求△DFH周长的最大值，并求出此时DE长， 24.如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征”号、“和平”号轮船同时离开港口， 各自沿固定方向航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北方向行驶，“远 征”号每小时航行16海里，“和平”号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后分 别位于点Q,R处，且相距30海里. AN 远征 和平 (1)求两船行驶多长时间分别位于点，R处？ (2)求PO,PR的长度？ 试卷第7页，共3页