23.3.1锐角三角函数（课件）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数，系统讲解正弦、余弦、正切的定义、性质及取值范围。课堂导入通过回顾直角三角形边长计算和30°角性质，搭建勾股定理等旧知到新知的学习支架，引导学生逐步理解概念。 其亮点在于通过探究归纳（用相似三角形证明三角函数值与边长无关）培养推理意识，分层习题（从基础定义题到“好玩三角形”“菱形中的三角函数”等高阶题）发展抽象能力与创新意识，课堂小结梳理定义及注意事项帮助学生用数学语言规范表达。学生能夯实基础提升思维，教师可获得系统教学资源。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章 解直角三角形 23.3.1锐角三角函数 2026年8月5日 华东师大版九年级上册24.3.1 锐角三角函数练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，关于锐角三角函数定义说法正确的是（） A.$$\sin A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$ B.$$\cos A=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$ C.$$\tan A=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$ D.$$\tan A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{对边}}$$ 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则$$\sin A$$的值为（） A.$$\dfrac{3}{4}$$ B.$$\dfrac{4}{3}$$ C.$$\dfrac{3}{5}$$ D.$$\dfrac{4}{5}$$ 6. 锐角三角函数的值的取值范围正确的是（） A.$$0<\sin\alpha<1$$ B.$$\tan\alpha<0$$ C.$$\cos\alpha>1$$ D.$$\sin\alpha>1$$ 6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的三角函数值（） A.都扩大2倍 B.都缩小一半 C.不变 D.无法确定 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦：$$\sin A=$$________。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的余弦：$$\cos A=$$________。 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的正切：$$\tan A=$$________。 6. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则$$\sin B=$$________。 8. 直角三角形中，斜边是最长边，所以锐角的正弦、余弦值一定介于________和________之间。 8. 边长扩大或缩小，锐角的大小不变，因此锐角的________值不变。 三、解答题（共52分） 13.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。 求：$$\sin A、\cos A、\tan A$$的值。 14.（12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5。 求：$$\sin B、\cos B、\tan B$$的值。 15.（14分）在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\sin A=\dfrac{3}{5}$$，BC=6，求AC、AB的长。 16.（14分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，AB=15，求锐角B的三个三角函数值。 参考答案 1.C &nbsp;2.D &nbsp;3.B &nbsp;4.A &nbsp;5.A &nbsp;6.C 7.$$\dfrac{\angle A\text{的对边}}{\text{斜边}}$$ &nbsp;8.$$\dfrac{\angle A\text{的邻边}}{\text{斜边}}$$ &nbsp;9.$$\dfrac{\angle A\text{的对边}}{\angle A\text{的邻边}}$$ &nbsp;10.$$\dfrac{5}{13}$$ &nbsp;11.0、1 &nbsp;12.三角函数 13.解：由勾股定理得：$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$$， $$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$$， $$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$$， $$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$$。 14.解：由勾股定理得：$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$$， $$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{13}$$， $$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{13}$$， $$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5}{12}$$。 15.解：$$\because\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{5}$$，$$BC=6$$， $$\therefore\dfrac{6}{AB}=\dfrac{3}{5}$$，解得$$AB=10$$。 由勾股定理：$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$$。 答：$$AC=8，AB=10$$。 16.解：由勾股定理得：$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$$， $$\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$$， $$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$$， $$\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$$。 本节核心知识点总结 1. 三大三角函数定义（Rt△，∠C=90°） 正弦：$$\sin A=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$，余弦：$$\cos A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$，正切：$$\tan A=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$。 2. 核心性质 锐角三角函数值只与锐角大小有关，与直角三角形边长无关；边长等比例缩放，三角函数值不变。 3. 取值范围 锐角$$\alpha$$：$$0<\sin\alpha<1$$，$$0<\cos\alpha<1$$，$$\tan\alpha>0$$。 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6， AC = ______. 2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°， AB = 10 cm，则 BC = cm，理由是 回顾与思考 8 5 30°所对直角边是斜边的一半 . 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 探究归纳 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值． A B C A' B' C' 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作 sin A ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中， ∠A 的对边记作 a， ∠B 的对边记作 b， ∠C 的对边记作 c 归纳 例如，当∠A＝30° 时，我们有 当∠A＝45° 时，我们有 A B C c a b 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ B 对边 a A C 邻边 b 斜边 c 探究归纳 知识点1 锐角三角函数的定义 1.【思维生长】 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sin A＝ __________，cos A＝__________，tan A＝__________． 1星题 夯实四基 举一反三 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则∠B的正切值(　　) A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 C 举一反三 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能试着分析一下吗？ A B C A' B' C' 探究归纳 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值． 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC ∽ Rt△A'B'C' A B C A' B' C' ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine），记作 cos A，即 归纳 A B C c a b 对边 斜边 在图中， ∠A 的对边记作 a， ∠B 的对边记作 b， ∠C 的对边记作 c 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 正弦 余弦 注意： 1. sinA、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sinA、 cosA 是一个比值（数值）. 3. sinA、 cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求 sinA、cosA、tanA 的值． 解：∵ ， 又∵ A B C 6 10 3．在△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝8∶15，则sin B的值为________． 举一反三 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，cos B＝ ， 则AC＝________. 举一反三 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？ 探究归纳 如图，Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，∠C =∠C′ = 90°，∠A =∠A′ = α，问： 有什么关系？ AC BC A′C′ B′C′ 与 A B C A' B' C' ∵∠C =∠C′ = 90°，∠A =∠A′ = α， ∴Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ 在直角三角形中，当锐角∠A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与邻边的比是一个固定值. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tan），记作 tan A ， 即 A B C c a b 对边 斜边 在图中， ∠A 的对边记作 a， ∠B 的对边记作 b， ∠C 的对边记作 c 归纳 一个角的正切表示定值、比值、正值. A B C ┌ 思考：锐角∠A的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于 1 吗？ 对于锐角∠A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应. 答：可以等于 1，此时为等腰直角三角形；也可以大于 1. 延伸 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，分别求出∠A，∠B的三个三角函数值． 举一反三 知识点2 锐角三角函数值的范围 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠B的度数不断增大时，sin B的值的变化情况是(　　) A．不断增大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定 A 举一反三 7．若∠A是锐角，cos A ＝3m－2，则m的取值范围是 (　　) A 举一反三 知识点3 锐角三角函数之间的关系 8．若sin2A＋cos245°＝1，则锐角A的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° B 举一反三 举一反三 10.(转化思想)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示出sin α的值，正确的是(　　) B 2星题 提升四能 举一反三 11．点点家部分吊灯的框架是等腰三角形形状，其边长分别为 16 cm和24 cm，则这个等腰三角形底角的余弦值为____________． 举一反三 0 举一反三 13.【新考法】如果三角形有一边上的中线长等于这条边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝ ____________． 举一反三 易错点睛：本题未明确具体是哪条边的中线，易因考虑不全面导致漏解． 举一反三 14.(高阶思维·批判性思维)如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8. (1)求sin ∠ABD 的值； 举一反三 (2)小明发现∠ABC＝2∠ABD，于是他推测：sin ∠ABC＝2sin∠ABD.小明的推测正确吗？请说明理由． 举一反三 在 Rt△ABC 中 课堂小结 定义中应该注意的几个问题： 1. sin A、cos A、tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sin A、 cos A、tan A 是一个比值（数值）. 3. sin A、 cos A 、tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 2 解：由题意得AC＝＝4. ∴sin A＝＝＝，cos A＝＝＝， tan A＝＝＝，sin B＝＝＝， cos B＝＝＝，tan B＝＝＝2. A.<m<1 B．2<m<3 C．0<m<1 D.<m< 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A＝________． A. B. C. D. 或 12.(整体思想)已知α为锐角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为________． 或 点拨：分两种情况：①如图①，当AB边上的中线CD＝AB时，CD＝2AD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝＝AD. 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ ＝＝. ②如图②，当AC边上的中线BE＝AC时，BE＝2AE. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝＝AE. 在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ ＝＝. 综上所述，tan∠ABC＝ 或. 解：设AC，BD相交于点O. ∵四边形 ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，∴AO⊥BO，AO＝3，BO＝4.根据勾股定理，得AB＝＝5， ∴sin ∠ABD＝＝. 解：不正确．理由如下： 过点A作AE⊥BC，垂足为点E.易知AB＝BC＝5. 菱形 ABCD的面积为AC·BD＝BC·AE， 即×6×8＝5AE.解得AE＝，∴sin ∠ABC＝＝＝. 由(1)得sin ∠ABD＝，∴2sin ∠ABD＝≠sin ∠ABC， ∴小明的推测不正确． $