专题2.3 求函数的值域【5类必考点分类集训】专项训练-2027届高考数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数值域求解，以“基础—复杂—应用—抽象—复合”为逻辑主线，覆盖高中数学核心题型，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常见函数值域|8题|一次、二次、反比例函数基础求解|从具体函数到定义域限制下的值域分析| |复杂函数值域|8题|根式、分式函数综合运算|通过代数变形转化为基本函数模型| |参数与值域|8题|已知值域反求参数范围|体现函数性质与方程思想的结合| |抽象函数值域|8题|定义域与值域关系判断|培养抽象思维与逻辑推理能力| |复合函数值域|8题|多层函数嵌套求值|构建内外层函数转化的数学模型|

专题2.3 求函数的值域 【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 2 【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 8 【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 12 【考点4：抽象函数的值域】 17 【考点5：复合函数的值域】 21 【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 1．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）法一：利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，；法二：利用函数的单调性即可求解， （2）利用换元法可得，利用单调性求解即可. 【详解】（1）设，则， 所以， 故在区间单调递增，所以， 所以原函数值域为. 法二：函数定义域为， 函数与函数均在区间均单调递减， 则在区间单调递减， 当时，， 所以，即原函数值域为. （2）设，则， 所以 因为在区间，单调递减，又， 所以. 所以原函数值域为. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解； （2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． 6．（3.1.1函数及其表示方法（第1课时）课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)， (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即得. （2）根据不等式性质推理计算即得. （3）利用二次根式的意义求出值域. （4）利用二次函数的性质求出值域. 【详解】（1）由，且，则， 所以函数的值域为. （2）因为，则，可得， 所以在的值域为. （3）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （4）函数图象的对称轴为，当时，， 所以函数的值域为． 7．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 8．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用一次函数代入计算求解即可； （2）利用二次函数的单调性求解即可； （3）利用换元法结合二次函数的单调性求解即可； （4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可； 【详解】（1）因为，，所以值域为. （2）因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时最小值为2，所以函数的值域为. （3）因为，令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时最小值为， 所以函数的值域为. （4）的定义域是， 由于，所以， 所以值域为. 【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 2．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________. 【答案】 【分析】法一：设，利用辅助角公式转化为求解；法二：由，转化为点到单位圆上一点连线的斜率求解. 【详解】法一：设，则， 由辅助角公式得， 所以. 解得. 法二：函数， 函数值等价于点到单位圆上一点连线的斜率， 如图所示： 设直线方程为：，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 故. 3．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________ 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得. 【详解】因为函数， 当时，，所以函数的值域为； 当时，，由基本不等式, 即，所以，因此， 当且仅当时等号成立，所以函数的值域为. 因此，函数的值域为. 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 6．（模型1具体特殊函数模型【练】--高三三轮冲刺），，则的值域为__________． 【答案】 【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 7．（第05章综合问题百战谋略【提升版】）函数的值域为______． 【答案】 【分析】通过换元，令，将求函数的值域转化为求函数，的值域，再根据当时，的单调性求解即可. 【详解】设，则， 因为，所以． 函数可化为，， 因为当时是减函数，又， 所以函数在上是减函数， 于是，即， 所以函数的值域是． 故答案为：. 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解. 【详解】构造函数， 因为恒成立，所以， 则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍. 构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图， 此时直线的方程为：，即， 联立方程得，易得交点分别为， 于是当点重合于交点或时，取得最小值. 从而的最小值为4． 【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 1．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则； 综上，． 故选：BCD 2．（25-26高一上·重庆江北·期中）（多选）已知函数在定义域上的值域为，则实数n可以取值有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】求出原函数的对称轴，分析可知f（﹣1）＝3，f（1）＝﹣1，然后根据x≥1时，函数为增函数求得使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]的实数n的取值范围． 【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x≥1时，函数为增函数， ∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]． 故选：BCD． 3．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC 4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________． 【答案】1或 【分析】变形给定等式并构造函数，将问题转化为两个函数值域的包含关系，并按分类求解即得. 【详解】方程， 记集合，, 由任意的，都有满足方程，得， ①当时，，，则，解得， 由唯一，得，解得，符合题意，因此； ②当时，，，则，解得， 由唯一，得，解得，符合题意，因此， 所以的取值为或. 故答案为：或 6．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 【答案】 【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果. 【详解】将式子变形为； 当时，；即； 所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得； 将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意. 综上，． 8．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数． (1)当时，若，求的值； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，令，当时，令求解； （2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解； 【详解】（1）当时，令，符合题意． 当时，令，，解得不符合，舍去． 综上． （2）当时，， 所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含 则当时，令， 当时，可得， 因为在上的上取值范围包含， 所以，结合可得； 当时，在上是增函数， 所以，不满足在上的上取值范围包含， 综上 【考点4：抽象函数的值域】 1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 3．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意逐个选项验证可得答案. 【详解】对于A，由可得，，故A错误； 对于B，，的图象可看作由的图象经过平移和横向伸缩变换得到，故值域不变，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 4．（25-26高二下·广东茂名·期末）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得，令，可得，得到在上的值域，进而即得. 【详解】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且， 令，则，所以； 令，，则，所以， 由于，所以，则，即在上的值域为； 所以函数在R上的值域为． 故选：C. 5．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 6．（2026综合提优（3.1~3.2）高中数学必修第一册巅峰版）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【详解】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 7．（巩固小卷3（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．是增函数 【答案】D 【分析】取，代入计算，即可判断A，取代入计算，即可判断B，取代入计算，结合基本不等即可判断C，举出反例，取，即可判断D. 【详解】对于A，取，则由已知等式得到，即， 又因为值域为，所有，故，故A正确； 对于B，取，则，即，故B正确， 对于C，令，则，即， 注意到，所以， 所以，当取得等号，故C正确； 对于D，取，则， 符合题意，但此时是减函数，故D错误． 故选：D． 8．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域. 【详解】由，得，则的定义域为， 由，得，则的值域为， 故选：BD. 【考点5：复合函数的值域】 1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和无法确定 B．和无法确定 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得， 所以函数的定义域为，由的值域得的值域为． 故选：D. 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出在上的值域及在上的值域，则可得，计算即可得解. 【详解】， 由，则， 当时，则， 则， 由任意的，均存在，使得， 则有，即. 故选：C. 4．（25-26高二下·湖北·期中）（多选）已知函数，则（    ） A． B．是函数的一个单调区间 C． D．存在，满足 【答案】ABD 【分析】对A，代入计算化简即可；对B，是复合函数，先求出单调区间，再结合的单调区间分析即可；对C，根据单调性求出最值即可；对D，化简方程，构建新函数，分析是否存在满足题意. 【详解】，则A正确； ，则是单调递增函数，因为是函数的一个单调递增区间， 由复合函数的单调性可知，是函数的一个单调递增区间，B正确； ，C错误； 因为，即只要判断是否成立即可， 令， 即D正确． 5．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知函数（，，）的图象如图所示． (1)求的最小正周期及解析式； (2)，求的值域． 【答案】(1) 最小正周期， (2) 【分析】（1）根据图象及特殊角三角函数，结合题意，可确定函数的解析式； （2）求得的解析式，结合二倍角公式，利用二次函数给定区间上的值域的求法可求得的值域. 【详解】（1）由图可知的最大值为，最小值为，所以. 由图象过，得. 因为，且在的减区间上，所以. 因为在距离原点最近的增区间上，所以. 所以. 所以的最小正周期为，解析式为； （2） . 因为，所以当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 所以的值域为． 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 7．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于的二次函数后即可求值域； （2）把看作一个整体，函数为关于的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得的最小值，然后解不等式即可. 【详解】（1）. ，即的值域为. （2）由题知：不等式对任意实数恒成立，. ，令，. 设， 由二次函数的单调性可知：当时，取得最小值，即， ，即，， 即，解得， 实数的取值范围为. 8．（25-26高一下·广东广州·期中）设函数同时满足条件和对任意都有成立． (1)求的解析式； (2)求的定义域和值域； (3)若，求使得成立的整数的取值的集合． 【答案】(1)； (2)定义域为，值域为． (3)． 【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式； （2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域； （3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合. 【详解】（1）由得，解得，故， 又得，即， 上式对任意都成立，故且，所以， 故． （2）由解得， 故定义域为； 当时，，则，则， 所以值域为． （3）若，则， 所以时或， 所以若，则或， 所以或即，或即， 综上，整数的取值集合为． 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】由于对数函数的定义域是，因此集合， 因为，所以，故C正确. 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 4．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 6．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】依题意构造函数，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数的图象关于点对称，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意，，, 令函数， 则， 所以为奇函数，图象关于对称，故的图象关于点对称， 因函数在对称区间上的值域为，故． 二、多选题 7．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABC 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 8．（25-26高一上·山西·阶段检测）下列函数中，值域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由即可判断，对于B，由，再结合对数函数单调性即可判断，对于C，通过分离常数，即可判断，对于D，通过余弦二倍角公式，结合二次函数性质即可判断. 【详解】对于A，，则的值域为.A符合题意， 对于B，，则， 则的值域为. B符合题意， 对于C，， 因为，所以，则的值域为. C不符合题意， 对于D，， 因为，所以， 即，则的值域为.D符合题意. 故选：ABD 三、填空题 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由函数的值域为，分三种情况结合对勾函数性质求解即可. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 10．（25-26高一上·北京·期末）已知函数，则的最大值为___________． 【答案】/1.125 【分析】设，结合同角三角函数的基本关系化简可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的定义域为，设，则同号， 则 ， 则时，，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由幂函数的概念得，进而或，再根据可得； （2）具体函数根据定义域求值域. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时，则符合题意； 当时，，此时，则不符合题意． 故． （2）由（1）可知，则． 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，即在上的值域为． 12．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 求函数的值域 【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 2 【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 4 【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 4 【考点4：抽象函数的值域】 6 【考点5：复合函数的值域】 7 【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】 1．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2). 4．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 6．（3.1.1函数及其表示方法（第1课时）课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)， (3)； (4)； 7．（2.2函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 8．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】 1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______. 2．（2026高三下·山东·竞赛）函数的值域为______________. 3．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数的值域为_________ 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 6．（模型1具体特殊函数模型【练】--高三三轮冲刺），，则的值域为__________． 7．（第05章综合问题百战谋略【提升版】）函数的值域为______． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______． 【考点3：根据值域求参数的值或者范围】 1．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若函数的值域为，则的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 2．（25-26高一上·重庆江北·期中）（多选）已知函数在定义域上的值域为，则实数n可以取值有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（专题11函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值为_________． 6．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 8．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数． (1)当时，若，求的值； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【考点4：抽象函数的值域】 1．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域是，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东茂名·期末）定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ） A．R B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁大连·阶段检测）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（2026综合提优（3.1~3.2）高中数学必修第一册巅峰版）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 7．（巩固小卷3（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知函数的定义域为，值域为，且，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D．是增函数 8．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 【考点5：复合函数的值域】 1．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和无法确定 B．和无法确定 C．和 D．和 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知函数，函数，若任意的，均存在，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖北·期中）（多选）已知函数，则（    ） A． B．是函数的一个单调区间 C． D．存在，满足 5．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知函数（，，）的图象如图所示． (1)求的最小正周期及解析式； (2)，求的值域． 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 7．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围. 8．（25-26高一下·广东广州·期中）设函数同时满足条件和对任意都有成立． (1)求的解析式； (2)求的定义域和值域； (3)若，求使得成立的整数的取值的集合． 一、单选题 1．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（   ） A． B．0 C． D． 2．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·模拟预测）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上的值域为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题 7．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（    ） A．的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数在的值域为 D．函数的值域为 8．（25-26高一上·山西·阶段检测）下列函数中，值域不是的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 10．（25-26高一上·北京·期末）已知函数，则的最大值为___________． 四、解答题 11．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的值域． 12．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $