专题2.2 求函数的解析式【5类必考点分类集训】2027届高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数解析式求解专题，涵盖已知函数类型、配凑法、换元法、解方程组法及分段函数五大核心考点，按方法逻辑构建知识体系。通过考点梳理明确方法适用场景，典例精讲提炼解题步骤，真题训练强化应用能力，帮助学生系统掌握解析式求解方法，突破高考高频难点。 讲义创新采用方法对比教学与分层训练策略，如换元法中引导学生通过设元、换元、回代三步规范解题，培养数学思维的运算能力。设置选择、填空、解答题分层练习适配不同学情，结合高考真题情境设计例题强化数学语言的模型表达，确保高效复习，助力学生提升解题速度与准确性，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题2.2 求函数的解析式 【考点1：已知函数类型求解析式】 1 【考点2：配凑法求解析式】 2 【考点3：换元法求解析式】 3 【考点4：解方程组法求解析式】 3 【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 3 【考点1：已知函数类型求解析式】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 2．（2025高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【考点2：配凑法求解析式】 6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【考点3：换元法求解析式】 11．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 12．（25-26高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知，则___________________． 14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【考点4：解方程组法求解析式】 16．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 17．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 18．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 19．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 21．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 22．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____． 23．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求； 24．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 25．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 一、单选题 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 5．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 三、填空题 9．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 10．（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则______. 四、解答题 11．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 12．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 求函数的解析式 【考点1：已知函数类型求解析式】 1 【考点2：配凑法求解析式】 4 【考点3：换元法求解析式】 5 【考点4：解方程组法求解析式】 7 【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 9 【考点1：已知函数类型求解析式】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 2．（2025高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 【考点2：配凑法求解析式】 6．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. 7．（24-25高一上·广东·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用配凑法得到含有的解析式，即可得. 【详解】因为函数，所以函数. 故选：A 8．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 9．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 10．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 【考点3：换元法求解析式】 11．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 12．（25-26高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 由， 可得， 所以． 13．（25-26高一上·安徽淮北·期中）已知，则___________________． 【答案】 【分析】利用换元法求函数的解析式，即可得出的表达式. 【详解】令，则, 由，得, 所以，即. 14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 15．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 【考点4：解方程组法求解析式】 16．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】用代替得到，联立即可得，再通过换元，得到结合对勾函数单调性即可求解. 【详解】因为，① 所以用代替得．② ①②得． 设．当时，； 当时，可转化为函数． 又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2， 所以当时，，则， 因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值， 当时，，则， 综上，当时，取得最大值，为． 所以当时，取得最大值，为． 故选：A． 17．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 18．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 19．（2025高三·全国·竞赛）设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 20．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】 21．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 22．（25-26高一上·福建泉州·期中）如图，菱形的边长为2，且，记菱形位于直线的左侧图形的面积为，则_____，_____． 【答案】 【分析】分情况写出函数解析式，然后求得.讨论的范围，由函数解析式，求得. 【详解】过作轴交轴于，过作轴交轴于， ∴，即，∴. ①当时，如图，， ②当时，如图，， ③当时，如图，， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴， 故答案为：， 23．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 24．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 【答案】(1) (2) 值域. 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图象即可. 【详解】（1）由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. （2）由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图象如图， 25．（25-26高一上·广东茂名·期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．    (1)求的解析式； (2)在给定的坐标系内画出的图象； (3)讨论函数（）的零点个数． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式； （2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象； （3）在（2）的基础上，得到函数零点个数 【详解】（1）设，则 因为， 故， 所以，解得， 因此； （2）当时，， 当时，，则， 为偶函数，故， 故， 综上，， 画出函数图象如下：    （3）由图可知，，， 当时，函数没有零点， 当时，函数只有两个零点， 当时，函数有四个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点 一、单选题 1．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以，所以. 故选：D 2．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数，且，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，利用换元法求出的解析式，再计算即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以， 又，即，解得， 所以的值为2. 故选：B 3．（25-26高一上·江西赣州·期中）若，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配凑法即可解答. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 【答案】C 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】令得， 令得， 联立解得. 故选：C. 5．（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案. 【详解】，①． 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 故选：A 二、多选题 7．（25-26高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对各选项解析式分别求出即可判断. 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，而， 所以，故C错误； 对于D：，则，故D正确. 故选：AD 8．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 三、填空题 9．（25-26高一上·陕西延安·期中）若，则的解析式为___________． 【答案】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】设，则，且. 所以，. 所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·重庆·期中）若，且，则______. 【答案】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 故. 故答案为：. 四、解答题 11．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数满足，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定的值，即得函数的解析式； （2）等价转化原不等式为在上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数的不等式，解之即得. 【详解】（1）设，由可得： ， 即得，解得，故得， 又的图象经过点，则， 故； （2）由可得， 依题意，对，不等式恒成立， 故，解得， 即实数的取值范围为. 12．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $