2.2.4 均值不等式及其应用【考点突破+强化训练】2026年新高一暑假预习数学人教B版必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用 知识点1、对均值不等式的理解 算术平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当a=b时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 【注意】(1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤. (2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 知识点2、利用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. 【注意】(1)口诀：和定积最大，积定和最小. (2)应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等. 考点一　由基本不等式比较大小 考点二　基本不等式“1”的妙用求最值 考点三　消元法解最值 考点四　二次与二次(或一次)的商式的最值 考点五　基本不等式的恒成立问题 考点六　由基本不等式证明不等关系 考点七　基本(均值)不等式的应用 考点一　由基本不等式比较大小 1．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知实数且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·辽宁·期中）（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 考点二　基本不等式“1”的妙用求最值 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 6．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7．（25-26高三上·河北·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高三上·河北·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 9．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）若，且．则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 10．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 考点三　消元法解最值 11．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 12．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 15．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 16．（25-26高一上·福建莆田·期末）若，，，则的最小值为_______． 17．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 18．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点四　二次与二次(或一次)的商式的最值 19．（25-26高一上·全国·专项练习）已知，求的最小值； 20．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 21．（25-26高一上·全国·专项练习）函数 的最大值为________. 22．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小值为_________． 23．（25-26高一上·河南·期末）已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 24．（25-26高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是__________． 考点五　基本不等式的恒成立问题 25．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 26．（25-26高一上·山东日照·阶段检测）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 27．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 28．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 30．（25-26高一上·山东日照·阶段检测）（多选）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 考点六　由基本不等式证明不等关系 31．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 32．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 33．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 34．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 考点七　基本(均值)不等式的应用 35．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 36．（25-26高一上·广东深圳·期末）第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 37．（25-26高一上·山东滨州·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 38．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）设，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 4．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 5．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 10．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 11．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 12．（25-26高一上·新疆·期中）（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 14．（25-26高一上·全国·专项练习）已知，则的最大值是______ 15．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）若，且，则的最小值为_____. 16．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，且，则的取值范围为_________． 17．（25-26高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 18．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 19．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 20．（25-26高一上·全国·专项练习）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4 均值不等式及其应用 知识点1、对均值不等式的理解 算术平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值 几何平均值 给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值 均值不等式 如果a，b都是正数，那么≥当且仅当a=b时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 【注意】(1)均值不等式常见的变形：①若a>0，b>0，则a+b≥2；②若a>0，b>0，则ab≤. (2)均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 知识点2、利用均值不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2. 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2. 【注意】(1)口诀：和定积最大，积定和最小. (2)应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等. 考点一　由基本不等式比较大小 考点二　基本不等式“1”的妙用求最值 考点三　消元法解最值 考点四　二次与二次(或一次)的商式的最值 考点五　基本不等式的恒成立问题 考点六　由基本不等式证明不等关系 考点七　基本(均值)不等式的应用 考点一　由基本不等式比较大小 1．（25-26高三上·山东泰安·期末）已知实数且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，通过取特殊值，即可判断A、B和D的正误，对C，根据条件，利用不等式的性质，即可求解. 【详解】对于A，取，显然满足且， 但，所以A错误， 对于B，取，显然满足且，但，所以B错误， 对于C，因为，则，，所以，故C正确， 对于D，，显然满足且，但，所以D错误， 故选：C. 2．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用重要不等式，可判断A，C；利用特值法，可判断B，D. 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 4．（25-26高三上·辽宁·期中）（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 考点二　基本不等式“1”的妙用求最值 5．（2026·河南开封·模拟预测）已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】4 【详解】， ， ， ， ， 当且仅当，即，结合得时等号成立， 的最小值为4． 6．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为，所以， 设， 则，则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 7．（25-26高三上·河北·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式，结合常数代换法即可求解. 【详解】，由题意得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：D. 8．（25-26高三上·河北·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】对乘因式进行等价变形，再利用均值不等式求解即可． 【详解】由题意得，当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C． 9．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）若，且．则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】由题可得，再结合基本不等式“1”的代换即可求解. 【详解】若，且，则得， 所以， 当且仅当即，时取等号，故A正确. 故选：A. 10．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 考点三　消元法解最值 11．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 12．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 13．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将转化为，由得到，从而得到，将代入，进行整理，利用基本不等式求解即可得解. 【详解】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 15．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 16．（25-26高一上·福建莆田·期末）若，，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由得到，代入，利用基本不等式求解. 【详解】，，， ，，， 当且仅当，即 时，此时，等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 17．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【分析】对进行化简，再利用均值不等式求解. 【详解】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 18．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化为，令，把目标分式转化齐次式，，再用基本不等式求出最大值. 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 考点四　二次与二次(或一次)的商式的最值 19．（25-26高一上·全国·专项练习）已知，求的最小值； 【答案】 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 20．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为． 21．（25-26高一上·全国·专项练习）函数 的最大值为________. 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 22．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的最小值为_________． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 23．（25-26高一上·河南·期末）已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为3. （2） ， 因为，所以， 所以原式 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为. 24．（25-26高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是__________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 考点五　基本不等式的恒成立问题 25．（25-26高二下·天津河西·期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 26．（25-26高一上·山东日照·阶段检测）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以. 所以，即，所以， 解得，则实数m的取值范围是. 故答案为：. 27．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，且不等式恒成立，则的最大值为___________. 【答案】3 【分析】令，则，，，当且仅当时不等式取等号，即时取等号，所以，则. 【详解】令，因为，所以， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当，即时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故的最大值为3. 故答案为：3 28．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式得出，结合题干信息得出，利用即可. 【详解】因，则，等号成立时， 因，则，即， 解得，即， 因不等式恒成立，则，故实数的最小值是. 故选：D 29．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知对任意正实数、，恒有，则实数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】证明，由，即，，结合基本不等式求出，即可得出答案. 【详解】因为，则， 则，即， 又， 因为，所以，所以， 即，当且仅当时，取等号， 所以， 所以，即实数的最小值是2. 故选：C 30．（25-26高一上·山东日照·阶段检测）（多选）已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】BCD 【分析】利用“1”的妙用和基本不等式求出的最小值，再由不等式恒成立，解不等式求出的范围，再逐一检验各选项即可. 【详解】因，，故，又， 则，当且仅当时等号成立， 依题意，可得恒成立，即，解得. 当时，由，解得，此时恒成立； 当时，由，解得此时恒成立； 当时，由，解得，此时恒成立. 故选：BCD. 考点六　由基本不等式证明不等关系 31．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用基本不等式进行累加求和证明即可； （2）利用三元完全平方和公式来进行证明即可； （3）利用代换法，结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）由基本不等式可得， 累加得， 即，当且仅当时取等号； （2）由（1）得， 变形得 配方得， 因为，所以，当且仅当取等号； （3）因为，所以 ， 因为是正实数，所以，同理可得， 即， 当且仅当时取等号. 32．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知，证明：． （2）已知均为正数，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）先利用不等式的乘法法则得，然后利用不等式的加法法则证明即可； （2）结合不等式的加法法则，利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以， 所以. （2）因为，所以，当且仅当时，等号成立. 同理，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立. 33．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 34．（25-26高一上·江西景德镇·阶段检测）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据不等式，可得，，，相加后化简即可得证； （2）将等式两边平方，整理得，再根据不等式，， 即，解不等式即可得证. 【详解】（1）因为，，， 所以，，， 所以， 即，故， 当且仅当，即时，等号成立． （2）由，两边平方得， 故， 所以 其中， 即，解得. 当且仅当时，等号成立. 考点七　基本(均值)不等式的应用 35．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 36．（25-26高一上·广东深圳·期末）第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 37．（25-26高一上·山东滨州·期末）现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 38．（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 1．（25-26高三上·北京·阶段检测）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 2．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，巧用“1”化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 3．（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 【答案】A 【分析】把变成，再根据均值不等式即可求出. 【详解】因为，所以， 又，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 4．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 5．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得答案. 【详解】解：因为，，恒成立， 即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最大值为. 故选：A. 6．（25-26高一上·江苏徐州·阶段检测）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 7．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 8．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 9．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 10．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 11．（2026·云南玉溪·模拟预测）（多选）若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 12．（25-26高一上·新疆·期中）（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 13．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 14．（25-26高一上·全国·专项练习）已知，则的最大值是______ 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得原函数的最大值. 【详解】，则， 所以，， 当且仅当时，因为，即当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）若，且，则的最小值为_____. 【答案】31 【分析】由“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为得， 所以 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】方法一：将题设条件化成关于和的方程，利用基本不等式将放大得到关于的一元二次不等式，求解即得；方法二：先将所求式整理成，利用“乘1”法和基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】方法一：由去分母，可得，整理得（*）， 因，，即，当且仅当时等号成立， 由（*）可得，即，解得或（不合题意舍去）， 故的取值范围为； 方法二：因为，所以， 而， 当且仅当时等号成立，由，解得， 当时，取得最小值为， 此时取得最小值为. 即的取值范围为. 故答案为：. 17．（25-26高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 18．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 (4)1 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值； （4）利用基本不等式得求出最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． 19．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）4. 【分析】（1）应用基本不等式计算求解； （2）化简应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）. 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. （2）. . 4. 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4. 20．（25-26高一上·全国·专项练习）已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明：由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $