第05讲 有理数的乘除运算 -（暑期衔接讲义）2026--2027学年苏科版七年级数学上册

第05讲有理数的乘除运算（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法的实际应用 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题十二 数轴上的翻折 知识点一：有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东清远·阶段测试）计算：（   ） A． B．6 C． D．5 2．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）______． 知识点二：倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 【即时训练】 1．（2026·七年级上 四川成都·暑期衔接）2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（   ） A．12 B． C． D． 2．（2026·七年级上 河北唐山·暑期衔接）若，则“”表示的数为________． 知识点三：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）式子运用了乘法________律． 知识点四：多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 3. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 5. 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 6. 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）张同学在计算时，因印刷问题，□里的数无法看清，老师告知此算式的结果为正数，则□里的数可能是（  ） A．4 B． C． D．0 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：=______． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段测试）在某足球赛中，赢一场球记“分”，输一场球记“分”，某球队输3场球的得分应记为（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段测试）计算：____． 1．（25-26七年级上·广西崇左·期中）的值是（　　） A．4 B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 4．（25-26七年级上·福建泉州·阶段测试）计算：． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法中，不正确的是（    ） A．两个数的和为正数，至少有一个正数 B．两个数的差为正数，可能都是负数 C．几个有理数相乘，如果负因数有偶数个，积为正数 D．两个数的商为，这两数是互为相反数 2．（24-25七年级上·全国·暑假作业）计算：___________； 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下列各式： ①； ②； ③； ④． 其中结果为负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段测试）规定：，那么______． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·暑期衔接）计算： 【典型例题三 有理数乘法的实际应用】 1．（25-26七年级上·河南周口·阶段测试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 1．（25-26七年级上·河南郑州·阶段测试）文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 2．（25-26七年级上·青海西宁·阶段测试）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）2024年巴黎奥运会，真正体现了性别平等在体育领域的深入推进，共有运动员名，女运动员数量占运动员总数量的，女运动员有( )名． 4．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段测试）出租车司机王师傅某日早晨从地出发，在南北走向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程：（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且每次乘客都不相同） 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 载客 × ○ ○ × × (1)王师傅走完第5次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)已知载客时3千米以内收费10元，超过3千米后每千米收费1.5元，问王师傅这天早晨走完5次里程后的营业额为多少元？ 【典型例题四 倒数】 1．（2026·七年级上 黑龙江绥化·暑期衔接）下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·内蒙古乌海·暑期衔接）的相反数的倒数是_________． 1．（2023·七年级上 江苏连云港·暑期衔接）的倒数是(     ) A．7 B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 3．（24-25七年级上·上海·阶段测试）3.5的倒数是_______． 4．（24-25七年级上·吉林辽源·期中）已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级上·湖南株洲·阶段测试）计算：________． 1．（25-26七年级上·北京·阶段检测）在下面每组算式中，不能用等号连接的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）观察图，它的计算过程可以解释的运算律是（   ） A．乘法分配律 B．加法交换律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 3．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·暑期衔接）计算： 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（2026·七年级上 陕西西安·暑期衔接）若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 1．（26-27七年级上·全国）已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 2．（2026·七年级上 天津东丽·暑期衔接）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 3．（23-24七年级上·上海·阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 4．（25-26七年级上·上海松江·阶段测试）计算：． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（23-24七年级上·上海·阶段检测）甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 2．（24-25七年级上·安徽合肥·暑期衔接）一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 1．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：(单位：千米)，，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（25-26七年级上·山西长治·阶段测试）( ) A．2 B． C．1 D．4 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段测试）计算：________． 1．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段测试）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南·阶段测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·阶段测试）计算：__________． 4．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（2026·七年级上 湖南·暑期衔接）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）规定这种新的运算“*”对于任意数x，y，满足，例如，则______． 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）使的结果为负整数，“”应填（   ） A．+ B．- C．× D．÷ 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）算式的运算结果在数轴上的位置描述正确的是（  ） A．在负半轴上 B．在正半轴上 C．在原点处 D．无法判断 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算：①______；②=______；③=______；④______；⑤=______；⑥ ______． 4．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）一条直线上依次有甲、乙、丙、丁四个煤场，相邻两个煤场之间的距离都是3千米，目前甲有煤100吨，乙有煤90吨，丙有煤12吨，丁没有煤．现在要将四个煤场的煤集中到一个煤场，已知1吨运输1千米的花费是10元，那么为使得运费最少，则应该把煤集中到煤场（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2023·七年级上 江西赣州·暑期衔接）结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 1．（25-26七年级上·四川绵阳·暑期衔接）一辆汽车经过一座长500米的大桥要102秒，通过一个90米的隧道要20秒，则经过一根电线杆要（   ）秒． A． B． C．5 D．无法确定 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 4．（25-26七年级上·陕西西安·阶段测试）监管部门从某葡萄基地生产的葡萄汁中抽出样品20瓶，检测每瓶的净含量是否符合标准，若规定每瓶的标准净含量为，超过标准净含量的部分记为“”，不足标准净含量的部分记为“”．这20瓶葡萄汁的净含量记录如下表：（单位：） 实际净含量与标准净含量的差值 0 1 2 3 瓶数/瓶 2 4 8 2 3 1 求这20瓶葡萄汁的平均净含量． 【典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（25-26七年级上·广西柳州·暑期衔接）由下图可知，下面选项正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段测试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____b．（填“>”，“=”或“<”） 1．（2026·七年级上 福建·暑期衔接）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 3．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 4．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 【典型例题十二 数轴上的翻折】 1．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示2的点与表示________的点重合． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 3．（25-26七年级上·吉林·期中）把一条数轴在数处对折，使表示和两数的点恰好互相重合，则表示的点与表示______的点重合． 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知数轴的单位长度为1，点表示的数为． (1)在数轴上标出原点； (2)点所表示的数是______； (3)若将数轴折叠，点恰好与表示6的点重合，则点与表示______的点重合． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·七年级上 天津河西·暑期衔接）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 3．（25-26七年级上·山东烟台·阶段测试）某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 4．（25-26七年级上·全国·暑假作业）如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间，该两点为（     ） A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H 5．（25-26七年级上·河南新乡·期中）张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·七年级上 江苏淮安·暑期衔接）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 7．（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 10．（2026·七年级上 湖北荆州·暑期衔接）表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）的值为________． 12．（2023七年级上·湖南张家界）简便运算：________． 13．（2026·七年级上 黑龙江佳木斯·暑期衔接）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 14．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和6，点为、之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，当点A落在与点B的距离为3个单位长度时，点C表示的数是________． 15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段测试）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 16．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1)； (2)． 17．（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 18．（25-26七年级上·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 19．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某市出租车以内起步价10元，行驶以后，每千米收费1.2元（不足按计）．李想乘坐出租车下车时付给司机16元，他乘坐出租车最远行驶了多少千米？ 20．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知六个数：，，，，，； (1)在数轴上表示这六个数； (2)求这六个数中所有非负数的乘积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲有理数的乘除运算（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法的实际应用 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题十二 数轴上的翻折 知识点一：有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·广东清远·阶段测试）计算：（   ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握其运算法则是关键，根据两个负数相乘，结果为正数即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）______． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 知识点二：倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 【即时训练】 1．（2026·七年级上 四川成都·暑期衔接）2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是. 2．（2026·七年级上 河北唐山·暑期衔接）若，则“”表示的数为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 知识点三：有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，有理数加法运算律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 在计算过程中，步骤①将展开为，使用了分配律；步骤②将重新排列为，改变了加数的顺序，使用了加法交换律． 【详解】解：∵步骤①中： ， 这符合分配律：（此处为减法形式）． ∴①使用了分配律． ∵步骤②中： ， 这改变了加数的顺序，但未改变分组， 符合加法交换律：． ∴②使用了加法交换律． 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）式子运用了乘法________律． 【答案】交换 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法交换律即可求解． 【详解】解：式子应用了乘法交换律． 故答案为：交换． 知识点四：多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 3. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 5. 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 6. 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【即时训练】 1．（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）张同学在计算时，因印刷问题，□里的数无法看清，老师告知此算式的结果为正数，则□里的数可能是（  ） A．4 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”判断即可． 【详解】解：∵计算的结果为正数， ∴□里的数是负数， 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段测试）在某足球赛中，赢一场球记“分”，输一场球记“分”，某球队输3场球的得分应记为（　　） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的乘法的应用， 根据记分规则，输一场得分，输3场则总分为3乘以分，可得答案． 【详解】解：∵输一场得分， ∴输3场得（分）． 故选：C． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段测试）计算：____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则并正确计算是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·广西崇左·期中）的值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．两个有理数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘． 【详解】解：∵ ． 故选： D． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若，，则，的值可能是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法及加法运算，熟练掌握有理数的乘法及加法运算是解题的关键；由可知a、b异号，由可知正数的绝对值大于负数的绝对值，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b异号； ∵，∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值， 选项A：，，，不符合； 选项B：，，，不符合； 选项C：，，符合条件； 选项D：，，，不符合； 故选C． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 4．（25-26七年级上·福建泉州·阶段测试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则、乘法法则以及运算顺序（先算乘除，后算加减）．根据有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，根据有理数乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”，从左到右依次计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法中，不正确的是（    ） A．两个数的和为正数，至少有一个正数 B．两个数的差为正数，可能都是负数 C．几个有理数相乘，如果负因数有偶数个，积为正数 D．两个数的商为，这两数是互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，相反数，绝对值的性质等知识，掌握有理数的相关计算及概念是解题的关键． 【详解】解：A、两个数的和为正数，至少有一个正数，故原说法正确，该选项不符合题意； B、两个数的差为正数，可能都是负数，故原说法正确，该选项不符合题意； C、几个非零有理数相乘，如果负因数有偶数个，积为正数，故原说法错误，该选项符合题意； D、两个数的商为，这两数是互为相反数，故原说法正确，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·暑假作业）计算：___________； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下列各式： ①； ②； ③； ④． 其中结果为负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握多个有理数相乘的法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的法则：“几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．如果有一个乘数是，积就为”，分别计算，统计结果为负数的个数即可． 【详解】解：① ：含两个负号，负号个数为偶数，结果为正数． ② ：含因数，结果为，既非正数也非负数． ③ ：含四个负号，负号个数为偶数，结果为正数． ④ ：含五个负号，负号个数为奇数，结果为负数． 综上，仅④结果为负数，共个． 故选：A． 2．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则，几个非零数相乘，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数与0相乘得0，据此判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、，不是负数，故该选项不符合题意； B、，负因数个数为2（偶数），积不是负数，故该选项不符合题意； C、，负因数个数为2（偶数），积不是负数，故该选项不符合题意； D、，负因数个数为3（奇数），积是负数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段测试）规定：，那么______． 【答案】120 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据定义的运算规则，先计算括号内的，再计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·暑期衔接）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典型例题三 有理数乘法的实际应用】 1．（25-26七年级上·河南周口·阶段测试）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为，乙的速度为，经过2h两人相遇，则A、B两地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相遇问题的路程计算，利用“总路程=速度和×相遇时间”的公式即可求解，关键是理解相向而行时两人的路程和等于两地距离. 【详解】解：∵甲的速度为，乙的速度为，两人相向而行经过相遇 ∴A、B两地的距离为两人行驶的路程之和 ∴距离. 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 1．（25-26七年级上·河南郑州·阶段测试）文博学校教学楼共5层，美术社团要在此教学楼召开会议．如果从1层到5层每层的参会人数分别为2，1，2，1，1，要使所有参会人员到会议地点的楼层距离之和最短，则会议地点应设在（    ） A．1层 B．2层 C．3层 D．4层 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，本题可通过分别计算会议地点设在每层时所有参会人员的距离之和，再比较大小得出距离之和最短的楼层． 【详解】解：分别计算各楼层作为会议地点的总距离： ∵ 设在1层时，总距离为 设在2层时，总距离为 设在3层时，总距离为 设在4层时，总距离为 设在5层时，总距离为 又∵ ∴ 会议地点设在3层时，所有参会人员到会议地点的距离之和最短． 故选：C． 2．（25-26七年级上·青海西宁·阶段测试）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义和有理数乘法的应用，根据题目中对答对和答错的记分规定来判断答错4道题的记分. 【详解】解：∵答错1题记为， ∴4道错题记为． 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）2024年巴黎奥运会，真正体现了性别平等在体育领域的深入推进，共有运动员名，女运动员数量占运动员总数量的，女运动员有( )名． 【答案】5250 【分析】用运动员总数量乘以女运动员所占的比例，即可求出女运动员的人数． 【详解】解：由题意可得女运动员人数为 （名）． 4．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段测试）出租车司机王师傅某日早晨从地出发，在南北走向的公路上行驶营运，下表是每次行驶的里程：（单位：千米）（规定向南走为正，向北走为负；×表示空载，○表示载有乘客，且每次乘客都不相同） 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 里程 载客 × ○ ○ × × (1)王师傅走完第5次里程后，他在地的什么方向？离地有多少千米？ (2)已知载客时3千米以内收费10元，超过3千米后每千米收费1.5元，问王师傅这天早晨走完5次里程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)他在地的南面，离地有1千米 (2)38元 【分析】本题考查了有理数的加减运算及分段计费的实际应用，解题的关键是通过有理数运算确定位置，结合载客里程的分段规则计算营业额． （1）将各次里程相加，根据结果的正负与绝对值确定位置和距离； （2）找出载客里程，按分段计费规则计算每次费用后求和． 【详解】（1）解：（千米）， 故他在地的南面，离地有1千米； （2）解：第2次载客里程7千米，收费：（元）， 第3次载客里程11千米，收费：（元）， 总营业额：（元）． 答：王师傅这天早晨走完5次里程后的营业额为38元． 【典型例题四 倒数】 1．（2026·七年级上 黑龙江绥化·暑期衔接）下列有理数中，没有倒数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵乘以任何数都等于，不可能等于， ∴不存在倒数． 2．（25-26七年级上·内蒙古乌海·暑期衔接）的相反数的倒数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，可得的相反数是．再根据倒数的定义，可得的倒数是． 1．（2023·七年级上 江苏连云港·暑期衔接）的倒数是(     ) A．7 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数是． 2．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于（     ） A．1 B． C．，0 D． 【答案】D 【详解】解：一个有理数a的倒数等于它本身，那么a等于． 3．（24-25七年级上·上海·阶段测试）3.5的倒数是_______． 【答案】 【详解】解：，且， 的倒数是． 4．（24-25七年级上·吉林辽源·期中）已知与互为相反数． (1)求a、b的值； (2)求的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“互为相反数的两个数和为0”，并结合非负性求解． （1）根据互为相反数的两数和为0，结合绝对值与平方数的非负性，列方程求解； （2）代入的值计算，再求其倒数． 【详解】（1）解：由题意可得：． 解得； （2）解：将代入，得： ， 5的倒数是， 的倒数是． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·阶段测试）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 1．（25-26七年级上·北京·阶段检测）在下面每组算式中，不能用等号连接的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，掌握算理是解决问题的关键．运用有理数运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）观察图，它的计算过程可以解释的运算律是（   ） A．乘法分配律 B．加法交换律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘法运算律，理解乘法分配律、交换律、结合律是解题的关键． 根据图形得出，据此即可解答． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，带分数化为整数和分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为： 4．（24-25七年级上·安徽合肥·暑期衔接）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（2026·七年级上 陕西西安·暑期衔接）若，则□内的数字是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一个因数与积，求另一个因数，用除法计算即可． 【详解】解：设内的数字为， ∵， ∴， 因此内的数字为． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 1．（26-27七年级上·全国）已知，，那么（     ） A．4 B．6 C．18 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴． 2．（2026·七年级上 天津东丽·暑期衔接）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 3．（23-24七年级上·上海·阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快． 【答案】乙 【分析】先用除法求出甲、乙的加工速度，再比较即可． 【详解】解：甲：（个/分钟），（个/分钟）， ∵， ∴乙的加工速度快． 答：乙的加工速度快． 4．（25-26七年级上·上海松江·阶段测试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（23-24七年级上·上海·阶段检测）甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据速度公式分别计算甲乙两人的速度，比较大小后即可得出结论． 【详解】解：∵速度公式为， ∴甲的速度 米/秒， 乙的速度 米/秒． ∵，即， ∴甲的速度比乙快． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·暑期衔接）一款小排量轿车每千米耗油升，另一款大排量轿车每千米耗油升．如果两辆轿车同样行驶千米的路程，则小排量轿车比大排量轿车节省燃油( )升． 【答案】 【详解】解：根据题意得 （升）． 1．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）王师傅说“我每天加工6把椅子，”李师傅说“我4天加工20把椅子．”他们谁做得快些？（   ） A．王师傅 B．李师傅 C．一样快 【答案】A 【分析】本题主要考查了除法的应用，通过计算每天加工椅子的数量来比较工作效率，王师傅每天加工6把，根据李师傅4天加工20把，求出李师傅每天加工数量，再进行比较即可． 【详解】解：∵李师傅4天加工20把椅子， ∴李师傅每天加工数量为：（把）， ∵， ∴王师傅做得快些． 故选：A． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段测试）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法，根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】解：. 故答案为 ： 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：(单位：千米)，，，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？ (2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)东面，距离3千米； (2)44千米/小时． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数除法的应用． （1）将沈师傅营运十批乘客的里程相加，结果大于0，结合题意向东为正，向西为负，即可求解； （2）将沈师傅营运十批乘客里程的绝对值相加，可得上午沈师傅运载乘客行驶的路程，除以时间即可得平均速度． 【详解】（1）解(1)根据题意可得， (千米)， ∵，向东为正，向西为负， ∴将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在第一批乘客出发地的东面，距离3千米． （2）由题意得,上午沈师傅运载乘客行驶的路程为： （千米）， 上午沈师傅开车的时间为1小时15分钟， (时)， 故沈师傅开车的时间为1.25小时， (千米/小时)， 上午沈师傅开车的平均速度是44千米/小时． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（25-26七年级上·山西长治·阶段测试）( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段测试）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 1．（25-26七年级上·四川绵阳·阶段测试）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，先算括号内运算，再从左到右依次计算乘除运算即可解答． 【详解】解：， 故选：． 2．（25-26七年级上·河南·阶段测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加、减、乘、除运算，需依据有理数运算法则，逐一判断各选项计算的正确性即可． 【详解】解：A．，故A计算错误； B．，故B计算正确； C．乘除为同级运算，需从左到右依次计算，，故C计算错误； D．有括号先算括号内，，且除法无分配律，不能拆分计算，故D计算错误． 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·阶段测试）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先将式子省略成“和”的形式，再从左往右计算即可； （2）先确定符号，再将式子统一为“乘”的形式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（2026·七年级上 湖南·暑期衔接）水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）规定这种新的运算“*”对于任意数x，y，满足，例如，则______． 【答案】1 【分析】本题是定义新运算问题，根据新运算的规则，将所求新运算转化为常规有理数运算，再根据有理数运算法则计算即可． 【详解】∵ 对于任意有理数，满足， ∴ ． 1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段检测）使的结果为负整数，“”应填（   ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 先计算括号内的，然后根据操作符分别计算表达式的值，乘除优先级高于加减． 【详解】解：∵， ∴原式， 对于：，不是负整数； 对于：，不是负整数； 对于：，是负整数； 对于：，不是负整数． 故选：． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）算式的运算结果在数轴上的位置描述正确的是（  ） A．在负半轴上 B．在正半轴上 C．在原点处 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，实数和数轴，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则． 先进行有理数的混合运算，再根据正负确定结果的位置． 【详解】解： ∵， ∴ 在负半轴上， 故选：A． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算：①______；②=______；③=______；④______；⑤=______；⑥ ______． 【答案】 0 1 1.5 0 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，根据有理数运算法则和运算顺序，相反数、减法转化为加法、除法优先等原则进行计算即可． 【详解】解；①； ② ； ③ ； ④； ⑤ ； ⑥ ． 故答案为：，0，1，，1.5，0． 4．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算： 【答案】38 【分析】先计算绝对值和去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）一条直线上依次有甲、乙、丙、丁四个煤场，相邻两个煤场之间的距离都是3千米，目前甲有煤100吨，乙有煤90吨，丙有煤12吨，丁没有煤．现在要将四个煤场的煤集中到一个煤场，已知1吨运输1千米的花费是10元，那么为使得运费最少，则应该把煤集中到煤场（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的计算和有理数的大小比较，分别计算将煤集中到四个煤场需要的运费是解题的关键． 通过计算煤集中到每个煤场时的总运输费用，比较得出最小值． 【详解】解：集中到甲时：费用为元， 集中到乙时：费用为元， 集中到丙时：费用为元， 集中到丁时：费用为元， ∵， ∴集中到乙时运费最少， 故选：B． 2．（2023·七年级上 江西赣州·暑期衔接）结绳计数又名结绳记事，起源于大约300万年前．如图所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满8个则在左边的绳子上打一个结，请计算该部落在这段时间内所擒获的猎物总数为_______． 【答案】726 【分析】把八进制转换十进制计算即可； 【详解】解：根据题意，得这段时间内所擒获的猎物总数为： ． 1．（25-26七年级上·四川绵阳·暑期衔接）一辆汽车经过一座长500米的大桥要102秒，通过一个90米的隧道要20秒，则经过一根电线杆要（   ）秒． A． B． C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出汽车的速度，从而可求出汽车的车身长度，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：汽车的速度为：（米/秒）， 汽车车身长度为：（米）， 经过一根电线杆要（秒）， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（ ） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先将总排放量除以每盆吸收量，求得绿萝盆数盆，根据实际问题可得剩余, 因此需增加1盆，即可求解． 【详解】解：一个快递包装排放二氧化碳，每盆绿萝每天吸收． 将总排放量除以每盆吸收量，即， 由于绿萝盆数必须为整数，且盆仅能吸收， 剩余未被吸收， 因此需增加1盆，即至少需要1334盆， 1334盆可吸收满足全部吸收要求． 故选：C． 3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）春节快到的时候，小明做了一个家庭月收支记录．爸妈工资收入共9500元，春节给老人2000元，给小明和妹妹各100元压岁钱，交上个月的水电等费用400元，购买800元食品，4口人买新衣服需要1000元．请你算出小明家这个月的余额是___________元． 【答案】5100 【详解】解：（元） 4．（25-26七年级上·陕西西安·阶段测试）监管部门从某葡萄基地生产的葡萄汁中抽出样品20瓶，检测每瓶的净含量是否符合标准，若规定每瓶的标准净含量为，超过标准净含量的部分记为“”，不足标准净含量的部分记为“”．这20瓶葡萄汁的净含量记录如下表：（单位：） 实际净含量与标准净含量的差值 0 1 2 3 瓶数/瓶 2 4 8 2 3 1 求这20瓶葡萄汁的平均净含量． 【答案】 这20瓶葡萄汁的平均净含量为． 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，正负数的应用．根据题意列出算式是解题的关键．根据每瓶超出或不足标准净含量的数值以及对应的瓶数，分别计算出超出或不足的净含量，进而计算20瓶葡萄汁的共超出或不足的净含量，再求平均净含量即可解题． 【详解】解： 答：这20瓶葡萄汁的平均净含量为． 【典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（25-26七年级上·广西柳州·暑期衔接）由下图可知，下面选项正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的特点进行解答即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，故A正确，BCD错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上的点越向右越大． 2．（25-26七年级上·重庆·阶段测试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a____b．（填“>”，“=”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了数轴大小的比较，由数轴的性质可知，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：>． 1．（2026·七年级上 福建·暑期衔接）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 3．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据数轴判断式子大小，相反数的意义，以及有理数的运算法则． 根据数轴得到，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 4．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的位置如图所示． (1)填空：_______0；_______0；_______0；（填“”“”或“”） (2)已知，表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴及数轴上点的特征，绝对值的意义，相反数和倒数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置关系及有理数的加减运算判定即可； （2）根据绝对值的意义，相反数和倒数的定义得到，，，代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，所以，，． 故填：，，． （2）解：因为表示数a的点到原点距离为4，且m与c互为相反数，n与b互为倒数， 所以，，， 所以． 【典型例题十二 数轴上的翻折】 1．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示2的点与表示________的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先求出折痕与数轴交点的数，即和6的中点，再进行列式计算，得出表示2的点与表示0的点重合，即可作答． 【详解】解：∵折叠后，与6重合， 则折痕经过的点为， 表示2的点与表示1的点之间的距离为， 则， 因此表示2的点与表示0的点重合， 故答案为：0． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2024对应的字“振”， 故选：A． 3．（25-26七年级上·吉林·期中）把一条数轴在数处对折，使表示和两数的点恰好互相重合，则表示的点与表示______的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了有理数与数轴，数轴上点的特征，利用数轴对折时折痕点所对应的数为，然后列出算式即可求解，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【详解】解：∵和两数的点恰好互相重合， ∴折痕点所对应的数为， ∴表示的点与表示的点重合． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，已知数轴的单位长度为1，点表示的数为． (1)在数轴上标出原点； (2)点所表示的数是______； (3)若将数轴折叠，点恰好与表示6的点重合，则点与表示______的点重合． 【答案】(1)图见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查数轴与有理数，数轴上的折叠，熟练掌握数轴上两点间的距离，是解题的关键： （1）根据点表示的数，判断出原点的位置，画图即可； （2）根据点在数轴上的位置，进行判断即可； （3）先求出对称中心，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的位置如图所示： （2）由数轴可知：点表示的数为3， 故答案为：3； （3）由题意，对称中心为， ∴点与表示的点重合； 故答案为：． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 2．（2023·七年级上 天津河西·暑期衔接）下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 3．（25-26七年级上·山东烟台·阶段测试）某地气象统计资料表明，海拔高度每增加100米，气温就下降．甲、乙两人攀登同一座高峰，途中同一时刻，甲发信息说他所在地的气温为，海拔为2500米，乙发信息说他所在地的气温为，则乙所在地的海拔为（    ） A．1100米 B．1300米 C．1500米 D．1700米 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，解题的关键是根据气温差计算出海拔差，再结合已知海拔求出目标海拔． 先计算甲乙两地的气温差；再根据海拔每增加100米气温下降的规律，计算出两地的海拔差；最后用甲地海拔减去海拔差得到乙地海拔． 【详解】解：， ， ， ． 所以乙所在地的海拔为1300米． 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·暑假作业）如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间，该两点为（     ） A．点E和点F B．点F和点G C．点F和点G D．点G和点H 【答案】D 【分析】先求出的倒数是，再结合数轴解答即可； 【详解】解：的倒数是， 从数轴可知，点对应数字，点对应数字，满足， ∴的倒数位于点和点之间． 5．（25-26七年级上·河南新乡·期中）张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法运算律（结合律、分配律）的灵活应用，熟练掌握运算律对算式进行等价变形是解题的关键． 将原式通过运算律（乘法结合律、分配律）变形，避开数字“9”，逐一验证选项是否与原式等价． 【详解】解：原式：， 选项A：， ； 选项B：， ； 选项C：， ； 选项D：，， ； 故选：B． 6．（2026·七年级上 江苏淮安·暑期衔接）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 7．（25-26七年级上·山东日照·期中）已知：，且a，b，c都均为正数，则a，b，c中最小的数是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除的应用． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴a，b，c中最小的数是b． 故选：B． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 9．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较选择费用最低的商店． 【详解】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为： 甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付（元），但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付800元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满100元返15元现金，实际支付（元）； ， 乙商店实际支付金额最少，为640元， 故选：B． 10．（2026·七年级上 湖北荆州·暑期衔接）表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的特点，数形结合确定代数式的符号，由此即可求解． 【详解】解：由数轴可知：，B选项正确，不符合题意； ∴，A选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）的值为________． 【答案】 【分析】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【详解】解： 12．（2023七年级上·湖南张家界）简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 13．（2026·七年级上 黑龙江佳木斯·暑期衔接）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 14．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和6，点为、之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，当点A落在与点B的距离为3个单位长度时，点C表示的数是________． 【答案】或0 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的翻折；设点C表示的数为x，根据题意列式或计算即可， 【详解】解：设点C表示的数为x， 点A表示的数为，点B表示的数为6， ∴， ∵对折后点A的对应点与点B的距离为3， ∴解得， 或解得． 故答案为：或0． 15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段测试）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 17．（25-26七年级上·广东茂名·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘法，再计算除法，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26七年级上·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 19．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某市出租车以内起步价10元，行驶以后，每千米收费1.2元（不足按计）．李想乘坐出租车下车时付给司机16元，他乘坐出租车最远行驶了多少千米？ 【答案】9千米 【分析】用超出起步价的费用除以每千米的费用求出超出部分的行程再加上起步行程，即可. 【详解】解：. 答：最远行驶了9千米. 20．（25-26七年级上·福建泉州·期中）已知六个数：，，，，，； (1)在数轴上表示这六个数； (2)求这六个数中所有非负数的乘积． 【答案】(1)数轴见解析 (2)0 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握绝对值的定义、正负数的定义是解题的关键． （1）正数在原点右侧，负数在原点左侧，先化简各数，再在数轴上表示出来即可； （2）由（1）数轴可知，非负数有，，，，再求出乘积即可． 【详解】（1）解：，， 各数在数轴上表示为： （2）解：非负数有：，，，， 则所有非负数的乘积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $