第2讲数轴暑假预习讲义（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第2讲 数轴 目录 知识点1 数轴的定义与三要素 2 知识点2 数轴的画法步骤 2 知识点3 数轴与有理数的对应关系 2 知识点4 数轴比较有理数大小 3 知识点5 数轴两点距离与点平移 3 知识点6 数轴整点与覆盖规律 3 题型 1 数轴的三要素及其画法 3 题型 2 用数轴上的点表示有理数 4 题型 3 利用数轴比较有理数的大小 5 题型 4 数轴上两点之间的距离 5 题型 5 数轴上点的平移（动点问题） 6 题型 6 数轴上找原点 7 题型 7 数轴上整点覆盖问题 8 题型 8 数轴上的规律探究 9 解答题 10 1. 知识目标：掌握数轴的定义、三要素与规范画法，理解数轴与有理数的对应关系，熟记数轴比较大小、求距离的核心规律。 2. 能力目标：能规范绘制数轴、用数轴表示有理数，熟练求解数轴上两点距离、点平移问题，掌握整点覆盖、找原点、规律探究题型解法。 3. 素养目标：建立数形结合数学思维，学会用数轴直观分析有理数问题，提升几何直观与动点解题能力。 知识点1 数轴的定义与三要素 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2. 三要素详解：原点（表示0的基准点）、正方向（默认向右为正，画箭头标注）、单位长度（统一均等的刻度长度，同一数轴长度一致）。 3. 基础特征：数轴是向两端无限延伸的直线，并非线段或射线。 知识点2 数轴的画法步骤 1. 画水平直线，居中选取一点作为原点，标注数字0； 2. 向右标注箭头，规定为正方向； 3. 选取统一单位长度，从原点向右依次标注正有理数，向左依次标注负有理数； 4. 规范要求：刻度均匀、标注清晰、三要素完整，无遗漏、无错标。 知识点3 数轴与有理数的对应关系 1. 所有有理数都可以用数轴上的唯一的点表示；但数轴上的点不都表示有理数。 2. 位置规律：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处。 3. 距离规律：数轴上表示数a的点与原点的距离，为该数的绝对值。 知识点4 数轴比较有理数大小 1. 核心规律：数轴上右边的数永远大于左边的数； 2. 大小关系：正数＞0＞负数，右侧数恒大于左侧数； 3. 可直观对比多个有理数大小，快速排序。 知识点5 数轴两点距离与点平移 1. 距离公式：数轴上两点对应数为a、b，两点距离 ； 2. 平移规律：点向右平移加对应单位，向左平移减对应单位； 3. 平移口诀：右加左减，数值随平移方向变化。 知识点6 数轴整点与覆盖规律 1. 整点：数轴上对应整数的点； 2. 线段覆盖整点规律：根据线段端点是否为整点，分情况计算覆盖整点个数； 3. 规律探究：依据刻度排布、点平移规律，推导周期性、递推性数字规律。 题型 1 数轴的三要素及其画法 解题技巧（三要素齐全、刻度均匀、规范作图） 1. 判定数轴必看三点：有原点、有正方向箭头、单位长度全程统一； 2. 常见错误排查：无原点、无箭头、刻度长短不一、线段未无限延伸； 3. 画图步骤：先画线、定原点、标方向、均分刻度、标注关键数字； 4. 核心原则：三要素缺一即错，刻度均匀是画图核心要求。 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 3．悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 4．数轴：规定了原点、正方向和_____________的直线． 5．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 题型 2 用数轴上的点表示有理数 解题技巧（定左右、找刻度、精准描点） 1. 先判正负：正数原点右侧找点，负数原点左侧找点，0对应原点； 2. 整数直接对应刻度，分数、小数找准相邻刻度中间位置； 3. 描点清晰，对应数字标注在点的正下方，不重叠、不错位； 4. 避坑：有理数均可找点，但数轴上的点不全是有理数。 6．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 8．在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 9．小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______． 10．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 题型 3 利用数轴比较有理数的大小 解题技巧（右大左小、直观排序、快速对比） 1. 核心口诀：数轴上右大左小，越靠右数值越大； 2. 通用大小关系：正数＞0＞负数，无需计算可直接判定； 3. 多个数排序：按数轴从左到右的顺序，依次从小到大排列； 4. 适合多数字、正负混杂的大小比较，直观不易出错。 11．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 12．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 13．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 14．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 15．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 题型 4 数轴上两点之间的距离 解题技巧（大数减小数、绝对值求值） 1. 简易算法：右侧大数 − 左侧小数，结果即为距离； 2. 通用公式：两点数a、b，距离 ，无需区分大小； 3. 距离恒为非负数，不存在负距离； 4. 已知距离求数：分类讨论点在左侧、右侧两种情况。 16．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 17．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 18．如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 19．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 20．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 题型 5 数轴上点的平移（动点问题） 解题技巧（右加左减、分步运算、分类讨论） 1. 固定规律：向右平移加单位，向左平移减单位； 2. 多次平移：按顺序依次加减，分步计算最终位置； 3. 动点求值：设初始数，根据平移规则列算式求解； 4. 复杂题型：结合距离公式，分类讨论动点位置，不漏解。 21．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 22．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 23．在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 24．如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 25．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 题型 6 数轴上找原点 解题技巧（定间距、推刻度、锁定零点） 1. 根据已知两点数值与间距，算出单位长度； 2. 以已知点为基准，反向推导原点位置； 3. 验证法：确定原点后，核对所有刻度间距统一； 4. 核心：单位长度恒定是找原点的唯一依据。 26．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 27．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 28．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 29．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 30．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 题型 7 数轴上整点覆盖问题 解题技巧（分端点、算区间、精准计数） 1. 端点均为整数：覆盖整点个数 = 末端数 − 首端数 + 1； 2. 端点非整数：覆盖整点个数 = 末端整数 − 首端整数； 3. 线段越长，覆盖整点越多，严格区分开闭区间； 4. 杜绝漏数、多数，按区间范围逐段核对。 31．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 32．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 33．如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 34．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 35．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 题型 8 数轴上的规律探究 解题技巧（找周期、列序列、归纳通项） 1. 先列出前几组对应数值，观察变化规律； 2. 判断周期循环、等差增减、奇偶分布规律； 3. 总结通用公式或周期规律，代入求解第n项数值； 4. 结合点平移、对称、跳动模型，精准归纳变化特征。 36．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 37．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 38．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 39．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 40．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 解答题 41．在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 42．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 43．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 44．“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 45．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 数轴 目录 知识点1 数轴的定义与三要素 2 知识点2 数轴的画法步骤 2 知识点3 数轴与有理数的对应关系 2 知识点4 数轴比较有理数大小 3 知识点5 数轴两点距离与点平移 3 知识点6 数轴整点与覆盖规律 3 题型 1 数轴的三要素及其画法 3 题型 2 用数轴上的点表示有理数 5 题型 3 利用数轴比较有理数的大小 7 题型 4 数轴上两点之间的距离 9 题型 5 数轴上点的平移（动点问题） 10 题型 6 数轴上找原点 12 题型 7 数轴上整点覆盖问题 15 题型 8 数轴上的规律探究 17 解答题 20 1. 知识目标：掌握数轴的定义、三要素与规范画法，理解数轴与有理数的对应关系，熟记数轴比较大小、求距离的核心规律。 2. 能力目标：能规范绘制数轴、用数轴表示有理数，熟练求解数轴上两点距离、点平移问题，掌握整点覆盖、找原点、规律探究题型解法。 3. 素养目标：建立数形结合数学思维，学会用数轴直观分析有理数问题，提升几何直观与动点解题能力。 知识点1 数轴的定义与三要素 1. 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 2. 三要素详解：原点（表示0的基准点）、正方向（默认向右为正，画箭头标注）、单位长度（统一均等的刻度长度，同一数轴长度一致）。 3. 基础特征：数轴是向两端无限延伸的直线，并非线段或射线。 知识点2 数轴的画法步骤 1. 画水平直线，居中选取一点作为原点，标注数字0； 2. 向右标注箭头，规定为正方向； 3. 选取统一单位长度，从原点向右依次标注正有理数，向左依次标注负有理数； 4. 规范要求：刻度均匀、标注清晰、三要素完整，无遗漏、无错标。 知识点3 数轴与有理数的对应关系 1. 所有有理数都可以用数轴上的唯一的点表示；但数轴上的点不都表示有理数。 2. 位置规律：正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点处。 3. 距离规律：数轴上表示数a的点与原点的距离，为该数的绝对值。 知识点4 数轴比较有理数大小 1. 核心规律：数轴上右边的数永远大于左边的数； 2. 大小关系：正数＞0＞负数，右侧数恒大于左侧数； 3. 可直观对比多个有理数大小，快速排序。 知识点5 数轴两点距离与点平移 1. 距离公式：数轴上两点对应数为a、b，两点距离 ； 2. 平移规律：点向右平移加对应单位，向左平移减对应单位； 3. 平移口诀：右加左减，数值随平移方向变化。 知识点6 数轴整点与覆盖规律 1. 整点：数轴上对应整数的点； 2. 线段覆盖整点规律：根据线段端点是否为整点，分情况计算覆盖整点个数； 3. 规律探究：依据刻度排布、点平移规律，推导周期性、递推性数字规律。 题型 1 数轴的三要素及其画法 解题技巧（三要素齐全、刻度均匀、规范作图） 1. 判定数轴必看三点：有原点、有正方向箭头、单位长度全程统一； 2. 常见错误排查：无原点、无箭头、刻度长短不一、线段未无限延伸； 3. 画图步骤：先画线、定原点、标方向、均分刻度、标注关键数字； 4. 核心原则：三要素缺一即错，刻度均匀是画图核心要求。 1．下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 3．悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧， ∴选项A和选项C错误； 选项B单位长度错误，间隔不相等； 选项D正确． 4．数轴：规定了原点、正方向和_____________的直线． 【答案】单位长度 【分析】根据数轴的定义，即可完成填空． 【详解】解：根据数轴的定义可知，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 5．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】 如图： 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】略 题型 2 用数轴上的点表示有理数 解题技巧（定左右、找刻度、精准描点） 1. 先判正负：正数原点右侧找点，负数原点左侧找点，0对应原点； 2. 整数直接对应刻度，分数、小数找准相邻刻度中间位置； 3. 描点清晰，对应数字标注在点的正下方，不重叠、不错位； 4. 避坑：有理数均可找点，但数轴上的点不全是有理数。 6．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置即可判断． 【详解】解：由数轴可知，点在1和2之间， ∴点表示的数可能是． 7．如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上原点右边的数表示正数， 所以数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为2． 8．在数轴上任取一条长度为的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：求一条长度为的线段最多能覆盖的整数点个数，分两种情况： 情况一：当线段的两个端点与数轴上的整数点重合时，设线段左端点对应整数为，则右端点对应整数为，此时覆盖的整数点为，，，，，总个数为 ； 情况二：当线段的两个端点不与数轴上的整数点重合时，设线段左端点位于整数为和之间，则右端点位于整数为和之间，此时覆盖的整数点为，，，，总个数为； 所以，对比两种情况的覆盖个数，，因此最多能覆盖个整数点． 9．小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______． 【答案】 【分析】利用数轴确定整数的个数． 【详解】解：和之间的整数为共4个， 和之间的整数为共3个， ∴被墨迹盖住部分的整数的个数为（个）． 10．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 【答案】 【分析】观察数轴可知，原点到点之间平均分成5份，已知点表示，可求出每份的长度，再根据点在原点左侧份处，即可确定点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，原点到点之间平均分成5份， 因为点表示的数是， 所以每份的长度为， 因为点在原点左侧，且距离原点份， 所以点表示的数为． 题型 3 利用数轴比较有理数的大小 解题技巧（右大左小、直观排序、快速对比） 1. 核心口诀：数轴上右大左小，越靠右数值越大； 2. 通用大小关系：正数＞0＞负数，无需计算可直接判定； 3. 多个数排序：按数轴从左到右的顺序，依次从小到大排列； 4. 适合多数字、正负混杂的大小比较，直观不易出错。 11．如图，下列各数中比数轴上的 小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：根据数轴可得 故比数轴上的 小的数是 12．实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 13．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 14．如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 【详解】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 15．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小这一性质是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，判断出数与的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可． 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型 4 数轴上两点之间的距离 解题技巧（大数减小数、绝对值求值） 1. 简易算法：右侧大数 − 左侧小数，结果即为距离； 2. 通用公式：两点数a、b，距离 ，无需区分大小； 3. 距离恒为非负数，不存在负距离； 4. 已知距离求数：分类讨论点在左侧、右侧两种情况。 16．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 17．如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 18．如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 19．已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 20．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 题型 5 数轴上点的平移（动点问题） 解题技巧（右加左减、分步运算、分类讨论） 1. 固定规律：向右平移加单位，向左平移减单位； 2. 多次平移：按顺序依次加减，分步计算最终位置； 3. 动点求值：设初始数，根据平移规则列算式求解； 4. 复杂题型：结合距离公式，分类讨论动点位置，不漏解。 21．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 22．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 故此时该点对应的数是． 23．在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 24．如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置， ∴点表示的数为 ∵点在数轴上与点距离个单位长度， ∴点表示的数为或． 25．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 题型 6 数轴上找原点 解题技巧（定间距、推刻度、锁定零点） 1. 根据已知两点数值与间距，算出单位长度； 2. 以已知点为基准，反向推导原点位置； 3. 验证法：确定原点后，核对所有刻度间距统一； 4. 核心：单位长度恒定是找原点的唯一依据。 26．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 27．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 28．如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是数轴上找原点、用数轴上的点表示有理数，解题关键是熟练掌握数轴的相关知识点． 依题得：，分别假设数轴的原点是，，，，判断是否满足题意即可． 【详解】解：依题得：， 当数轴的原点是点时，，，不满足 当数轴的原点是点时，，，不满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 综上，点或点都有可能是数轴的原点． 故选：． 29．如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 30．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 【答案】向右移动4个单位长度 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键．原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故答案为：向右移动4个单位长度 题型 7 数轴上整点覆盖问题 解题技巧（分端点、算区间、精准计数） 1. 端点均为整数：覆盖整点个数 = 末端数 − 首端数 + 1； 2. 端点非整数：覆盖整点个数 = 末端整数 − 首端整数； 3. 线段越长，覆盖整点越多，严格区分开闭区间； 4. 杜绝漏数、多数，按区间范围逐段核对。 31．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 32．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 33．如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 34．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 35．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． 题型 8 数轴上的规律探究 解题技巧（找周期、列序列、归纳通项） 1. 先列出前几组对应数值，观察变化规律； 2. 判断周期循环、等差增减、奇偶分布规律； 3. 总结通用公式或周期规律，代入求解第n项数值； 4. 结合点平移、对称、跳动模型，精准归纳变化特征。 36．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 37．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 38．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 39．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 40．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 解答题 41．在数轴上表示出下列各数，并用“”连起来，，，，． 【答案】， 【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：数轴表示见答案， 由数轴可得． 42．如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 43．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 44．“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2) 如图即为所求： (3) B点表示的数为4，如图，在数轴上标出原点O： 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）略 （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 45．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $