专题02数轴暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题02数轴暑假预习讲义 1.识记数轴三要素：牢牢记住数轴的三大核心组成 —— 原点、正方向、单位长度，能判断图形是否为数轴，查漏缺要素的错误数轴。 2.掌握画图规范：能按照标准步骤规范画出数轴，标注原点、向右的正方向箭头、统一相等的单位长度，杜绝画图缺箭头、刻度长短不一等问题。 3.实现数与点互化：会在数轴上标出给定有理数对应的点；能读出数轴上任意点所表示的有理数，区分原点左右正负数字。 4.利用数轴比较大小：掌握数轴上数的大小规律：数轴上右边的数总比左边的数大；能快速比较正数、0、负数的大小，会排列多个有理数。 5.理解数形对应关系：明白所有有理数都能在数轴上找到唯一对应点，建立数形结合基础思想。 6.拓展基础应用：能借助数轴判断整数、区间范围，读懂数轴上两点之间包含的整数；能根据点的移动规则，计算移动后点对应的数字。 7.预习落实要求：整理画图、读数、比较大小的典型例题，圈画数轴判断、点移动类难点；标记预习疑问，开学针对性听课突破。 预习必备 知识梳理 1.数轴的定义与三要素 2.数轴上的点与有理数的关系 3.利用数轴表示有理数大小 4.数轴上点的移动问题 5.数轴上两点间距离计算 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.数轴的三要素及其画法 2.用数轴上的点表示有理数 3.利用数轴比较有理数大小 4.数轴上两点之间的距离 5.数轴上点的平移 6.数轴上找原点 7.数轴上整点覆盖问题 8.数轴上的规律探究 强化题型 解答题5题 知识点01:数轴的定义与三要素（本节课核心重点） 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。 2. 数轴三要素（三者缺一不可，判断数轴必考） 原点：直线上取一点记作数字 0，是正数、负数的分界点； 正方向：规定直线向右为正方向，必须画向右的箭头；向左自然为负方向； 单位长度：选取统一长度作为标准，数轴上每一格长短完全相等，刻度均匀。 3. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 4. 规范画数轴五步标准步骤（答题书写规范） ① 画一条水平直线； ② 在直线中间选取一点，标注原点O，下方写数字 0； ③ 在直线右端画出向右的箭头（正方向）； ④ 从原点开始，向左、向右依次截取长度相等的线段； ⑤ 在刻度下方依次标注对应整数：…-3、-2、-1、0、1、2、3…。 知识点02数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 4.两类基础题型：数与点互化 题型 1：给出有理数，在数轴描点 步骤： (1)判断数字正负，确定在原点左侧还是右侧； (2)根据数字绝对值，数对应单位长度； (3)在刻度处画实心小圆点，上方标注对应数字。 例：标出-2、1.5、-0.5、3, -2：原点左侧 2 格；1.5：原点右侧 1 格半；-0.5：原点左侧半格。 题型 2：读出数轴上点代表的有理数 步骤： (1)看点在原点左边还是右边，判断正负； (2)数该点距离原点有几个单位长度，确定数值； (3)组合符号与数字，写出完整有理数。 知识点03:利用数轴比较有理数大小（必考基础题型） 1. 核心大小规律（必背） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 延伸大小关系推论 正数 > 0； 负数 < 0； 正数 > 一切负数。 3. 完整解题步骤（多个数排序模板） 例：比较 -3、0、2、-1.5 的大小 1 把所有数字全部在数轴标出； 2 从左到右读取数字，从小到大排列； 3 结果：-3 < -1.5 < 0 < 2。 知识点04:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点05:数轴上两点间距离计算 1.计算公式 数轴上两点分别表示数a、b，两点之间距离 = |a-b|（绝对值保证距离为正数） 2.简单判断技巧 同正 / 同负：大数减小数； 一正一负：两数绝对值直接相加。 例：表示-4和2的两点距离：|2-(-4)|=6。 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 标准正确要求 画图漏要素 画数轴不标原点、不画箭头 原点、向右箭头、统一单位长度三者必须齐全 正负点位混淆 把-1画在原点右侧，1画在左侧 原点左负、右正，牢记分布规律 比较大小看反左右 认为左边数字更大 数轴右大左小，从左往右数字依次增大 点移动运算出错 左移数字做加法、右移做减法 右加左减，移动方向和运算符号对应 距离计算不加绝对值 -3和2距离直接算2-3=-1 距离无负数，必须用绝对值计算 描点漏标小数、分数 只标注整数，忽略0.5、- 分数、小数同样能在数轴找到对应点 题型1.数轴的三要素及其画法 【典例】下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴． 【详解】解：A、符合所有条件，是数轴，该选项符合题意； B、没有原点，该选项不符合题意； C、单位长度不一样长，该选项不符合题意； D、原点左边数据标错，该选项不符合题意． 【跟踪专练1】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴的三要素是正确解答此题的关键．根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐个判断即可． 【详解】解：（1）中没有原点，故错误； （2）符合数轴的三要素，故正确； （3）原点左边的数字、位置不对，故错误； （4）中单位长度不相等，故错误， 故选：B． 【跟踪专练2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【跟踪专练3】关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 题型2.用数轴上的点表示有理数 【典例】点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【答案】 【详解】解：数轴上原点的右侧5个单位长度的点对应数值为5． 【跟踪专练1】如图，点A在数轴上表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小．设点A表示的数为x，则由数轴可得，再逐项分析即可得出答案． 【详解】解：设点A表示的数为x，则由数轴可得：， ，，，都不符合题意； 只有符合题意； ∴数轴上的点A表示的数可能是． 答案：B． 【跟踪专练2】数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 题型3.利用数轴比较有理数大小 【典例】数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 【答案】5 【分析】本题考查了数轴上的数，确定数轴上从到之间的所有整数，并计数即可． 【详解】解：A、B之间的整数有，，，，，共5个． 故答案为5． 【跟踪专练1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上数的特点解题即可． 【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称； 则和的位置如图， ∴． 【跟踪专练2】已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键． 观察数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，， ，， ， 故选：A． 【跟踪专练3】给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是________． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为________． 【答案】 【分析】本题考查比较有理数的大小关系，根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （1）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可； （2）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小，即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意，画出数轴如下： 由数轴可知：； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵表示数的点在原点的两侧， ∴， 画出数轴如图： ∴； 故答案为：． 题型4.数轴上两点之间的距离 【典例】已知数轴上两点，在数轴上对应的实数分别为和，则点与点间的距离是_______． 【答案】 【详解】解：点与点间的距离是． 【跟踪专练1】如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 【答案】或 【分析】根据圆的周长公式计算出圆的周长，分析点B接触数轴的规律，确定点B第二次到达数轴时圆滚动的距离，再根据滚动方向得出点C表示的数． 【详解】解：∵圆的半径为1， ∴圆的周长为， 由题意得，线段是圆片的直径，且初始时点A与原点重合， ∵点B在点A的正上方， ∴圆片向右滚动半周时，点B第一次到达数轴， 此时滚动的距离为， 当圆片再向右滚动一周时，点B第二次到达数轴，即为点C， 此时滚动的总距离为， 同理当圆片的滚动方向向左时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数是或． 【跟踪专练3】在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 题型5.数轴上点的平移 【典例】数轴上点对应的数是，将点沿数轴向左移动3个单位至点，则点对应的数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上的点的移动规律：左减右加，向左移动则减去移动的单位数即可解答． 【详解】解：点A对应的数是，向左移动3个单位， 则点B对应的数为， 故答案为． 【跟踪专练1】数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移． 点A在数轴上移动3个单位长度，可向左或向右移动，根据数轴上点的移动规律：向右移动加，向左移动减，计算点B表示的数即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点， 则点表示的数是或． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 【跟踪专练3】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 题型6.数轴上找原点 【典例】小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 【答案】向右移动4个单位长度 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键．原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故答案为：向右移动4个单位长度 【跟踪专练1】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 【跟踪专练2】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练3】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 题型7.数轴上整点覆盖问题 【典例】小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有________ 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴，整数的概念，根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于3，写出其中的整数即可． 【详解】解：根据数轴得∶墨迹盖住的整数共有，，，和0，1，2，共7个． 故答案为：7． 【跟踪专练1】如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 【跟踪专练2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【分析】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【详解】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 题型8.数轴上的规律探究 【典例】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． 【跟踪专练1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， ∵圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第一个点重合，该点表示的数字为0， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字0的点重合， 故选：A． 解答题 1．已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 【答案】(1)见详解 (2)在数轴上表示见详解， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴三要素画出数轴即可； （2）先把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】（1）解：数轴如下； （2）解：将各数在数轴上表示如图所示： 由图可知：． 2．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 3．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 4．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． 5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02数轴暑假预习讲义 1.识记数轴三要素：牢牢记住数轴的三大核心组成 —— 原点、正方向、单位长度，能判断图形是否为数轴，查漏缺要素的错误数轴。 2.掌握画图规范：能按照标准步骤规范画出数轴，标注原点、向右的正方向箭头、统一相等的单位长度，杜绝画图缺箭头、刻度长短不一等问题。 3.实现数与点互化：会在数轴上标出给定有理数对应的点；能读出数轴上任意点所表示的有理数，区分原点左右正负数字。 4.利用数轴比较大小：掌握数轴上数的大小规律：数轴上右边的数总比左边的数大；能快速比较正数、0、负数的大小，会排列多个有理数。 5.理解数形对应关系：明白所有有理数都能在数轴上找到唯一对应点，建立数形结合基础思想。 6.拓展基础应用：能借助数轴判断整数、区间范围，读懂数轴上两点之间包含的整数；能根据点的移动规则，计算移动后点对应的数字。 7.预习落实要求：整理画图、读数、比较大小的典型例题，圈画数轴判断、点移动类难点；标记预习疑问，开学针对性听课突破。 预习必备 知识梳理 1.数轴的定义与三要素 2.数轴上的点与有理数的关系 3.利用数轴表示有理数大小 4.数轴上点的移动问题 5.数轴上两点间距离计算 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.数轴的三要素及其画法 2.用数轴上的点表示有理数 3.利用数轴比较有理数大小 4.数轴上两点之间的距离 5.数轴上点的平移 6.数轴上找原点 7.数轴上整点覆盖问题 8.数轴上的规律探究 强化题型 解答题5题 知识点01:数轴的定义与三要素（本节课核心重点） 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。 2. 数轴三要素（三者缺一不可，判断数轴必考） 原点：直线上取一点记作数字 0，是正数、负数的分界点； 正方向：规定直线向右为正方向，必须画向右的箭头；向左自然为负方向； 单位长度：选取统一长度作为标准，数轴上每一格长短完全相等，刻度均匀。 3. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 4. 规范画数轴五步标准步骤（答题书写规范） ① 画一条水平直线； ② 在直线中间选取一点，标注原点O，下方写数字 0； ③ 在直线右端画出向右的箭头（正方向）； ④ 从原点开始，向左、向右依次截取长度相等的线段； ⑤ 在刻度下方依次标注对应整数：…-3、-2、-1、0、1、2、3…。 知识点02数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 4.两类基础题型：数与点互化 题型 1：给出有理数，在数轴描点 步骤： (1)判断数字正负，确定在原点左侧还是右侧； (2)根据数字绝对值，数对应单位长度； (3)在刻度处画实心小圆点，上方标注对应数字。 例：标出-2、1.5、-0.5、3, -2：原点左侧 2 格；1.5：原点右侧 1 格半；-0.5：原点左侧半格。 题型 2：读出数轴上点代表的有理数 步骤： (1)看点在原点左边还是右边，判断正负； (2)数该点距离原点有几个单位长度，确定数值； (3)组合符号与数字，写出完整有理数。 知识点03:利用数轴比较有理数大小（必考基础题型） 1. 核心大小规律（必背） 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 延伸大小关系推论 正数 > 0； 负数 < 0； 正数 > 一切负数。 3. 完整解题步骤（多个数排序模板） 例：比较 -3、0、2、-1.5 的大小 1 把所有数字全部在数轴标出； 2 从左到右读取数字，从小到大排列； 3 结果：-3 < -1.5 < 0 < 2。 知识点04:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点05:数轴上两点间距离计算 1.计算公式 数轴上两点分别表示数a、b，两点之间距离 = |a-b|（绝对值保证距离为正数） 2.简单判断技巧 同正 / 同负：大数减小数； 一正一负：两数绝对值直接相加。 例：表示-4和2的两点距离：|2-(-4)|=6。 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 标准正确要求 画图漏要素 画数轴不标原点、不画箭头 原点、向右箭头、统一单位长度三者必须齐全 正负点位混淆 把-1画在原点右侧，1画在左侧 原点左负、右正，牢记分布规律 比较大小看反左右 认为左边数字更大 数轴右大左小，从左往右数字依次增大 点移动运算出错 左移数字做加法、右移做减法 右加左减，移动方向和运算符号对应 距离计算不加绝对值 -3和2距离直接算2-3=-1 距离无负数，必须用绝对值计算 描点漏标小数、分数 只标注整数，忽略0.5、- 分数、小数同样能在数轴找到对应点 题型1.数轴的三要素及其画法 【典例】下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   题型2.用数轴上的点表示有理数 【典例】点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【跟踪专练1】如图，点A在数轴上表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 题型3.利用数轴比较有理数大小 【典例】数轴上，两点对应的数分别是和，则，之间的整数有__________个． 【跟踪专练1】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】给出数轴比较变式为画数轴比较 （1）若，用“”连接，其结果是________． （2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为________． 题型4.数轴上两点之间的距离 【典例】已知数轴上两点，在数轴上对应的实数分别为和，则点与点间的距离是_______． 【跟踪专练1】如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（   ） A．2026 B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 【跟踪专练3】在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 题型5.数轴上点的平移 【典例】数轴上点对应的数是，将点沿数轴向左移动3个单位至点，则点对应的数是____________． 【跟踪专练1】数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【跟踪专练2】如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【跟踪专练3】如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型6.数轴上找原点 【典例】小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 【跟踪专练1】如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【跟踪专练2】如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【跟踪专练3】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 题型7.数轴上整点覆盖问题 【典例】小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有________ 个． 【跟踪专练1】如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【跟踪专练2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型8.数轴上的规律探究 【典例】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 【跟踪专练1】正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向左滚动（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 解答题 1．已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 2．如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 3．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 4．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $