专题2.3 绝对值与相反数（暑假预习讲义） 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题2.3 绝对值与相反数 【本节预习目标】 1.借助数轴理解绝对值和相反数的几何意义，掌握两者的代数定义，初步建立数形结合的数学思想。 2.能熟练求出任意有理数的绝对值和相反数，掌握多重符号化简的“奇负偶正”规则。 3.掌握绝对值的非负性，能利用绝对值的性质解决相关求值问题。 4.掌握利用绝对值比较两个负数大小的方法，完善有理数大小比较的知识体系。 5.能运用绝对值与相反数的知识解决生产检测、生活测量等实际问题，提升数学应用意识与几何直观核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学及前节已学旧知 本节新知关联 数轴的认识 数轴的三要素；数轴上点与有理数的对应关系；点到原点的距离 用点到原点的距离定义绝对值；用原点两侧对称的点定义相反数的几何意义 正负数概念 正数、负数、0的符号特征；相反意义的量 从符号差异角度定义相反数；从距离角度赋予正负数新的几何内涵 数的大小比较 正数大于0，0大于负数；数轴上左小右大的顺序 补充两个负数比较大小的方法：通过绝对值间接比较，将负数比较转化为正数比较 知识点1：绝对值 1.定义与基本性质 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作，读作“的绝对值”。 非负性：距离不可能为负数，因此任意有理数的绝对值都是非负数，即。 代数性质： 数的类型 绝对值的结果 符号表示 正数 等于它本身 若，则 0 等于0 若，则 负数 等于它的相反数 若，则 2.重要推论 绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，即若，则。 绝对值等于它本身的数是非负数（正数和0）；绝对值等于它的相反数的数是非正数（负数和0）。 互为相反数的两个数绝对值相等，即。 知识点2：相反数 1.定义与几何意义 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；特别地，的相反数是。 表示方法：数的相反数是，这里可以是正数、负数或0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 2.多重符号的化简 化简依据：相反数的定义，负号表示“取相反数”。 化简规则：奇负偶正。结果的符号只由负号的个数决定：负号有奇数个时，结果为负；负号有偶数个时，结果为正。所有正号可以直接省略，不影响结果。 示例：（2个负号，偶数，结果为正）；（3个负号，奇数，结果为负）。 【基础巩固题型】 【题型1】绝对值的计算与识别 1.核心知识点 绝对值的几何与代数定义；绝对值的非负性 2.解题方法技巧 ①求一个数的绝对值，先判断数的正负，再按“正数本身、负数相反、0为0”的规则计算； ②含有多重符号的数，先化简符号再求绝对值； ③绝对值运算优先级高于加减运算，注意运算顺序。 【例题1】.（2026·河南新乡·模拟预测）下列哪个数在数轴上离原点最近（   ） A． B．2 C．3.14 D．1.6 【变式题1-1】.（2026·山东东营·二模）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【变式题1-2】.（2026年陕西省中考数学试题）计算：（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【题型2】相反数的概念与求解 1.核心知识点 相反数的定义；特殊数的相反数 2.解题方法技巧 ①求一个数的相反数，只需在这个数的前面添上“-”号即可； ②牢记特殊结论：0的相反数是它本身，互为相反数的两个数和为0； ③判断两个数是否互为相反数，需同时满足“数字部分相同、符号相反”两个条件。 【例题2】.（2026·广东广州·二模）2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·四川内江·中考真题）2的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·广西崇左·二模）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3】多重符号的化简 1.核心知识点 相反数的意义；多重符号化简的奇负偶正规则 2.解题方法技巧 ①先去掉所有正号，只统计负号的个数； ②负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负； ③多层括号可从内向外逐层化简，也可直接统计所有负号总数，一步得出结果。 【例题3】.（25-26七年级上·湖北荆州·阶段检测）化简：________． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26六年级下·全国·单元复习）化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·新疆和田·阶段检测）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【培优提升题型】 【题型4】已知绝对值求原数 1.核心知识点 绝对值的几何意义；绝对值的性质 2.解题方法技巧 ①绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数，解题时谨防漏解； ②若题目附加大小、符号等限制条件，需结合条件对两个解进行筛选； ③绝对值为0的数只有一个，就是0本身。 【例题4】.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）若，则 ____． 【变式题4-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则_________． 【变式题4-2】.（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·广东广州·一模）已知，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 【题型5】绝对值的非负性应用 1.核心知识点 绝对值的非负性；“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论 2.解题方法技巧 ①若多个绝对值相加等于0，则每个绝对值内部的代数式的值都为0，据此列方程求出字母的值； ②单个绝对值的最小值为0，当绝对值内部的式子等于0时，整个式子取得最小值； ③代入求值时注意符号运算，避免计算错误。 【例题5】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【变式题5-1】.（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【变式题5-2】.（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）若，则的值为_________． 【变式题5-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【题型6】相反数与数轴的综合应用 1.核心知识点 相反数的几何意义；数轴的中点性质 2.解题方法技巧 ①互为相反数的两点关于原点对称，原点是两点连线的中点，可利用中点关系确定原点位置； ②已知两点距离且两点互为相反数，则每个数的绝对值等于距离的一半，再结合左右位置确定符号； ③可借助数轴直观判断数的大小、符号关系，降低思考难度。 【例题6】.（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）（1）如图，在数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． （2）请在数轴上用点表示数的相反数，点表示数． （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，数轴上的单位长度为1，点所表示的数字分别为． (1)若点为原点，则_____，_____，_____； (2)若点，所表示的数字互为相反数，求的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，数轴上有，两点． (1)，两点表示的数分别是_____，_____； (2)若点表示，请你把点表示在如图所示的数轴上； (3)若点与点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是_____； (4)将，，，四个点所表示的数用“>”连接起来； 【变式题6-3】.（25-26七年级上·云南昭通·期中）如图，在数轴上，点与点表示的数互为相反数，点和点分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等，点，和互不重合． (1)若点表示的数为，求点表示的数； (2)若点表示的数为，点表示的数为6，求点到点的距离； (3)若点表示的数为，点表示的数为5．当的值改变时，点到点的距离是否会发生改变?若不变，求出点到点的距离，若改变，请说明理由． 【题型7】绝对值的生产生活实际应用 1.核心知识点 绝对值的实际意义；合格范围的判断 2.解题方法技巧 ①产品偏差类问题中，绝对值越小，表示与标准值的偏差越小，质量越好； ②判断是否合格，先求出每个数据的绝对值，再与允许的最大偏差比较，小于等于偏差值即为合格； ③解题时先将实际问题转化为绝对值的数学问题，求解后再还原为实际结论。 【例题7】.（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果如下表． 型号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 长短/mm (1)哪个零件的质量最好，请用绝对值的知识进行说明． (2)若规定与标准直径相差不大于为合格产品，则这6件产品中有哪几件产品不合格? 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江西上饶·期中）我省宜春市的奉新大米种植、生产历史悠久，早在《宋史》和《天工开物》中就有记载，是江南优秀稻米．现有袋奉新大米，每袋以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重、记录数据如下表所示： 与基准的偏差/千克 袋数/袋 (1)这袋奉新大米中，最重的一袋和最轻的一袋相差多少千克？ (2)若每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，求这袋奉新大米的合格率． (3)求这袋奉新大米的总质量． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）中秋节时，小宇陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计枚），回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）： 第枚 质量 (1)小宇为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整），请把下列表格补充完整： 第枚 质量 则_______；______；______； (2)小宇看到包装说明上标记的总质量为（）克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的．小宇说的对吗？请通过计算说明． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏常州·期中）2025江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈．据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第13轮常州对苏州的比赛现场观众人数约43800人．常州通过“足球＋文旅”模式，推出景区免票、观赛礼包等政策．例如，端午假期对扬州旅客免票，当日酒店订单暴涨1776%，异地文旅消费就达到4.3亿元． (1)将4.3亿元用科学记数法表示为______元． (2)为迎常州对苏州的比赛，组委会对其中的6个足球进行了质量抽测，结果如下表（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）： 足球序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量相比 ①第______号足球的质量最好． ②质量最重的足球比质量最轻的足球重多少克？ ③若每个足球的标准质量是400克，则这6个足球的总质量是多少克？ 【题型8】相反数的代数求值 1.核心知识点 相反数的性质；特殊有理数的概念 2.解题方法技巧 ①先根据相反数、特殊数的定义，分别求出每个字母代表的数值； ②牢记常见特殊数：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，相反数等于本身的数是0； ③将字母的值代入目标代数式，按运算规则计算最终结果。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·云南怒江·阶段检测）已知的相反数是，的倒数是，是多项式的项数，求的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则__________． （2）已知当时，的值是2023；求当时，的值． 【拓展提高】 （3）已知，求的值． （4）关于的一元一次方程的解是，求关于的一元一次方程的解． 【压轴素养题型】 【题型9】结合数轴的绝对值化简 1.核心知识点 绝对值的代数性质；数轴上数的符号与大小判断 2.解题方法技巧 ①第一步根据数轴上点的位置，判断绝对值内部式子的正负性； ②第二步根据绝对值的性质去掉绝对值符号：正数直接去掉绝对值，负数去掉绝对值后整体加负号； ③第三步对去掉绝对值后的式子进行去括号、合并同类项，得到最终化简结果。 【例题9】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示（，且）． (1)化简． (2)若，，，求（1）中化简后式子的值． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）（1）若a，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简代数式； （2）若有理数a，b满足，求（1）中化简后式子的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知，，满足，． (1)求出，，的值； (2)，，在数轴上所对应的点分别为，，，为数轴上一动点，其对应的数为，当点在点与点之间时，化简式子（写出化简过程） 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江西抚州·期中）“数形结合”是一个重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上原点的左侧时，．试用这种方法解决下列问题． (1)当时， ； (2)请根据、、三个数在数轴上的位置∶ ①求的值； ②化简∶． 【题型10】跨学科情境综合应用 1.核心知识点 绝对值、相反数的综合应用；跨学科信息提取与建模 2.解题方法技巧 ①从地理海拔、物理测量、体育测试等跨学科素材中，提取基准、偏差、距离等数学信息； ②将跨学科问题转化为绝对值计算、大小比较、相反数判断等数学问题，运用本节知识求解； ③结合学科常识验证结果的合理性，体现数学的工具性与应用性。 【例题10】.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【变式题10-1】.（25-26七年级上·河北唐山·期中）黄桃罐头为乐亭特产，因其上好的品质受到百姓喜爱．嘉嘉家代售黄桃罐头产品．某天库房进出罐头数量统计如下（运进库房用正数记录，运出库房用负数记录）： 每次进出罐头数量（单位：箱） 2 3 进出次数 3 1 3 5 2 表中一处统计数据因破损无法识别，嘉嘉记得破损数据为3的相反数． (1)破损数据为 ． (2)若某天进货较多，则第二天应拓宽销售渠道，出货较多，则第二天应拓宽进货渠道，根据统计量计算说明嘉嘉家第二天是应拓宽销售渠道还是进货渠道． (3)若运出每箱罐头费用为2元，运进为每箱3元，求这天运送罐头的总费用． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山东济南·期中）济南轨道交通6号线是贯穿济南东西方向的主干线，东段预计2025年底通车．标志色为泉之蓝（天蓝色）．线路西起位里庄站，东至梁王站，全长约39.2公里，均为地下线，共设32座地下车站，大致呈东西走向．近日山东大学至梁王车辆基地，顺利完成联调联试，正式进入试运行阶段，其中的15个站点如图所示． 王华从山东大学开始乘坐地铁，在图中15个地铁站点做值勤志愿服务，约定向梁王方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）： ，，，，，，，． (1)请你通过计算说明最后王华是否回到起点山东大学． (2)已知相邻两站之间的平均距离约为千米，求王华在志愿者服务期间乘坐地铁一共行驶了多少千米？ 【变式题10-3】.（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 易错点 1、已知绝对值求数时漏解：只写出正数解，忽略对应的负数解；误认为绝对值等于本身的数只有正数，漏掉0这种特殊情况。 2、多重符号化简出错：记错“奇负偶正”规则，误将正号个数纳入统计；化简多层括号时运算顺序混乱，导致符号错误。 3、负数大小比较规则混淆：两个负数比较时，直接按绝对值大小排序，误认为绝对值大的数更大，最终结果颠倒。 4、相反数概念理解片面：认为带负号的数一定是负数，忽略字母可表示任意数；仅关注符号相反，忽略“数字部分相同”的要求。 5、去绝对值符号失误：化简含字母的绝对值时，未判断内部式子的正负就直接去掉符号，或负数去绝对值时忘记变号。 重点 1、绝对值和相反数的概念与性质，能熟练求出任意有理数的绝对值和相反数。 2、绝对值的非负性及其应用，利用绝对值比较两个负数大小的方法。 难点 1、结合数轴的绝对值化简，分类讨论思想在绝对值问题中的规范应用。 2、绝对值与相反数的综合探究问题，数形结合思想的灵活运用。 一、单选题 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 2．地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（1）______；（2）______；（3）______． 5．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 三、解答题 7．已知，若a与b互为相反数，求m的值． 8．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 9．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 10．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 绝对值与相反数 【本节预习目标】 1.借助数轴理解绝对值和相反数的几何意义，掌握两者的代数定义，初步建立数形结合的数学思想。 2.能熟练求出任意有理数的绝对值和相反数，掌握多重符号化简的“奇负偶正”规则。 3.掌握绝对值的非负性，能利用绝对值的性质解决相关求值问题。 4.掌握利用绝对值比较两个负数大小的方法，完善有理数大小比较的知识体系。 5.能运用绝对值与相反数的知识解决生产检测、生活测量等实际问题，提升数学应用意识与几何直观核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 小学及前节已学旧知 本节新知关联 数轴的认识 数轴的三要素；数轴上点与有理数的对应关系；点到原点的距离 用点到原点的距离定义绝对值；用原点两侧对称的点定义相反数的几何意义 正负数概念 正数、负数、0的符号特征；相反意义的量 从符号差异角度定义相反数；从距离角度赋予正负数新的几何内涵 数的大小比较 正数大于0，0大于负数；数轴上左小右大的顺序 补充两个负数比较大小的方法：通过绝对值间接比较，将负数比较转化为正数比较 知识点1：绝对值 1.定义与基本性质 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作，读作“的绝对值”。 非负性：距离不可能为负数，因此任意有理数的绝对值都是非负数，即。 代数性质： 数的类型 绝对值的结果 符号表示 正数 等于它本身 若，则 0 等于0 若，则 负数 等于它的相反数 若，则 2.重要推论 绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，即若，则。 绝对值等于它本身的数是非负数（正数和0）；绝对值等于它的相反数的数是非正数（负数和0）。 互为相反数的两个数绝对值相等，即。 知识点2：相反数 1.定义与几何意义 代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；特别地，的相反数是。 表示方法：数的相反数是，这里可以是正数、负数或0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 2.多重符号的化简 化简依据：相反数的定义，负号表示“取相反数”。 化简规则：奇负偶正。结果的符号只由负号的个数决定：负号有奇数个时，结果为负；负号有偶数个时，结果为正。所有正号可以直接省略，不影响结果。 示例：（2个负号，偶数，结果为正）；（3个负号，奇数，结果为负）。 【基础巩固题型】 【题型1】绝对值的计算与识别 1.核心知识点 绝对值的几何与代数定义；绝对值的非负性 2.解题方法技巧 ①求一个数的绝对值，先判断数的正负，再按“正数本身、负数相反、0为0”的规则计算； ②含有多重符号的数，先化简符号再求绝对值； ③绝对值运算优先级高于加减运算，注意运算顺序。 【例题1】.（2026·河南新乡·模拟预测）下列哪个数在数轴上离原点最近（   ） A． B．2 C．3.14 D．1.6 【答案】A 【分析】数轴上数到原点的距离等于该数的绝对值，比较四个数的绝对值大小，绝对值最小的数离原点最近． 【详解】解：，， ， ， ∵， ∴的绝对值最小，即离原点最近． 【变式题1-1】.（2026·山东东营·二模）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 【变式题1-2】.（2026年陕西省中考数学试题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【题型2】相反数的概念与求解 1.核心知识点 相反数的定义；特殊数的相反数 2.解题方法技巧 ①求一个数的相反数，只需在这个数的前面添上“-”号即可； ②牢记特殊结论：0的相反数是它本身，互为相反数的两个数和为0； ③判断两个数是否互为相反数，需同时满足“数字部分相同、符号相反”两个条件。 【例题2】.（2026·广东广州·二模）2026年是农历丙午马年，的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 【变式题2-1】.（2026·四川内江·中考真题）2的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 【变式题2-2】.（2026·广西崇左·二模）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴. 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是0，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：与1互为相反数，故①说法不正确； 当时，则是非负数，故②说法不正确； 的相反数是0，故③说法不正确； ，与互为相反数，故④说法不正确； 任何一个有理数都有相反数，故⑤说法正确； ∴其中正确的有1个 故选：A 【题型3】多重符号的化简 1.核心知识点 相反数的意义；多重符号化简的奇负偶正规则 2.解题方法技巧 ①先去掉所有正号，只统计负号的个数； ②负号个数为偶数，结果为正；负号个数为奇数，结果为负； ③多层括号可从内向外逐层化简，也可直接统计所有负号总数，一步得出结果。 【例题3】.（25-26七年级上·湖北荆州·阶段检测）化简：________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了相反数，灵活运用相反数化简多重符号是解题的关键． 运用相反数的定义从内向外逐步化简即可． 【详解】解：． 故答案为：11． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项正确，不符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26六年级下·全国·单元复习）化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·新疆和田·阶段检测）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了相反数中多重符号的化简，多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”负，有偶数个“”号结果为正． （1 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （2 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （3 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （4 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题； （5 ）根据多重符号的化简法则求解，即可解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【培优提升题型】 【题型4】已知绝对值求原数 1.核心知识点 绝对值的几何意义；绝对值的性质 2.解题方法技巧 ①绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数，解题时谨防漏解； ②若题目附加大小、符号等限制条件，需结合条件对两个解进行筛选； ③绝对值为0的数只有一个，就是0本身。 【例题4】.（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）若，则 ____． 【答案】 【详解】解：， ． 【变式题4-1】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 【变式题4-3】.（2026·广东广州·一模）已知，则a的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义即可求解． 【详解】解：∵ ，即求到原点距离为2的数， ∴ 符合条件的数有两个，分别是和，即． 【题型5】绝对值的非负性应用 1.核心知识点 绝对值的非负性；“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的结论 2.解题方法技巧 ①若多个绝对值相加等于0，则每个绝对值内部的代数式的值都为0，据此列方程求出字母的值； ②单个绝对值的最小值为0，当绝对值内部的式子等于0时，整个式子取得最小值； ③代入求值时注意符号运算，避免计算错误。 【例题5】.（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，和为零则每个必为零，从而求出a和b的值，再计算a的b次幂． 本题考查了有理数的非负性，乘方，熟练掌握非负性，乘方运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴ ， 故选：A． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了非负性的性质，解决本题的关键是求解出a与b的值． 利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分为零，求出a和b的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式题5-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 【题型6】相反数与数轴的综合应用 1.核心知识点 相反数的几何意义；数轴的中点性质 2.解题方法技巧 ①互为相反数的两点关于原点对称，原点是两点连线的中点，可利用中点关系确定原点位置； ②已知两点距离且两点互为相反数，则每个数的绝对值等于距离的一半，再结合左右位置确定符号； ③可借助数轴直观判断数的大小、符号关系，降低思考难度。 【例题6】.（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）（1）如图，在数轴上点表示的数是______，点表示的数是______． （2）请在数轴上用点表示数的相反数，点表示数． （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）． 【详解】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上右边点表示的数总大于左边点表示的数，得出答案． 【解答】解：（1）点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）的相反数为，如图， （3）由数轴知：． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，数轴上的单位长度为1，点所表示的数字分别为． (1)若点为原点，则_____，_____，_____； (2)若点，所表示的数字互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用数轴表示有理数，有理数的加法运算，熟练掌握数轴的三要素，相反数的定义，有理数的加法法则是解题的关键： （1）根据点距离原点的距离以及点的位置，进行求解即可； （2）根据互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，确定原点的位置，进而确定的值，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）由题意，原点在的中间位置， 故， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，数轴上有，两点． (1)，两点表示的数分别是_____，_____； (2)若点表示，请你把点表示在如图所示的数轴上； (3)若点与点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是_____； (4)将，，，四个点所表示的数用“>”连接起来； 【答案】(1)；3 (2) 点表示在数轴上，如图： (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数大小比较，数轴，相反数，熟练掌握用数轴上的点表示有理数和利用数轴比较有理和的大小是解题的关键． （1）根据数轴可直接进行求解； （2）根据数轴上有理数的表示可直接进行求解； （3）根据相反数的意义可进行求解； （4）根据有理数的大小比较可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可知：、两点表示的数分别是；3； 故答案为：；3． （2）略 （3）解：由点与点表示的两个数互为相反数，点表示的是， 则点表示的数是； 故答案为：2； （4）解：由数轴可得：． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·云南昭通·期中）如图，在数轴上，点与点表示的数互为相反数，点和点分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等，点，和互不重合． (1)若点表示的数为，求点表示的数； (2)若点表示的数为，点表示的数为6，求点到点的距离； (3)若点表示的数为，点表示的数为5．当的值改变时，点到点的距离是否会发生改变?若不变，求出点到点的距离，若改变，请说明理由． 【答案】(1)表示的数为2 (2)12 (3)点到点的距离不会发生改变，恒为10 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算方法． （1）根据点与点表示的数互为相反数求解即可； （2）先根据点与点表示的数互为相反数求出点表示的数，再根据点和点分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等，求出点表示的数，即可求解； （3）先求出点、表示的数，再将点到点的距离表示出来即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数为，点与点表示的数互为相反数， 所以点表示的数为2． （2）解：由题知，点与点表示的数互为相反数，点表示的数为， 所以点表示的数为1． 因为点表示的数为6，所以点到点的距离为． 因为点和分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等， 所以点到点的距离为5． 因为点在点的右边， 所以点表示的数为． 所以点到点的距离为． （3）解：点到点的距离不会发生改变，理由如下： 因为点表示的数为，由题意可得，点表示的数为． 当点在点的右侧时，如图， 点到点的距离，所以点表示的数为． 所以点到点的距离为． 当点在点的左侧时，如图， 点到点的距离，所以点表示的数为． 所以点到点的距离为． 综上所述，点到点的距离不会发生改变，恒为10． 【题型7】绝对值的生产生活实际应用 1.核心知识点 绝对值的实际意义；合格范围的判断 2.解题方法技巧 ①产品偏差类问题中，绝对值越小，表示与标准值的偏差越小，质量越好； ②判断是否合格，先求出每个数据的绝对值，再与允许的最大偏差比较，小于等于偏差值即为合格； ③解题时先将实际问题转化为绝对值的数学问题，求解后再还原为实际结论。 【例题7】.（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果如下表． 型号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 长短/mm (1)哪个零件的质量最好，请用绝对值的知识进行说明． (2)若规定与标准直径相差不大于为合格产品，则这6件产品中有哪几件产品不合格? 【答案】(1)4号，见解析 (2)1号和5号产品不合格 【分析】本题主要考查绝对值在实际中的应用，掌握绝对值的运算是解题的关键． （1）计算出每个型号偏差的绝对值，再判断即可； （2）根据检验表格直接写出结果即可． 【详解】（1）解：，，，，，． 因为， 所以4号零件最好，因为与标准直径相差的绝对值最小． （2）解：， ， 1号和5号产品不合格． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江西上饶·期中）我省宜春市的奉新大米种植、生产历史悠久，早在《宋史》和《天工开物》中就有记载，是江南优秀稻米．现有袋奉新大米，每袋以千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重、记录数据如下表所示： 与基准的偏差/千克 袋数/袋 (1)这袋奉新大米中，最重的一袋和最轻的一袋相差多少千克？ (2)若每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，求这袋奉新大米的合格率． (3)求这袋奉新大米的总质量． 【答案】(1)相差千克； (2)； (3)这袋奉新大米的总质量为千克． 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数混合运算的实际运用、绝对值.有理数的混合运算的关键是运算的顺序和运算法则． 根据正负数的意义可知最重的是记作，最轻的记作，用大数减小数即可得到最重的一袋和最轻的一袋相差多少千克； 根据每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品，可知只有记作的是不合格的，所以不合格的有袋，合格的有袋，根据合格的数量求出合格率； 根据统计表中记录的数据计算出总质量． 【详解】（1）解：由统计表可知最重的是记作，最轻的记作， （千克）， 这袋奉新大米中，最重的一袋和最轻的一袋相差千克； （2）解：每袋与标准质量的差的绝对值小于或等于千克的记为合格产品， 其中， 不合格的有袋，合格的有袋， 合格率为； （3）解： （千克）， 这袋奉新大米的总质量为千克． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）中秋节时，小宇陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计枚），回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）： 第枚 质量 (1)小宇为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整），请把下列表格补充完整： 第枚 质量 则_______；______；______； (2)小宇看到包装说明上标记的总质量为（）克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的．小宇说的对吗？请通过计算说明． 【答案】(1)，， (2)小宇说的对，理由见解析 【分析】（）先根据表中数据求出月饼的标准质量，再根据有理数的减法运算和正负数的意义解答即可求解； （）求出枚月饼的质量偏差之和，再根据绝对值的意义比较即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加法和减法实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵月饼克时记作克， ∴月饼的标准质量为克， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：小宇说的对，理由如下： ， ∵， ∴这盒月饼在总质量上是合格的． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·江苏常州·期中）2025江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈．据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第13轮常州对苏州的比赛现场观众人数约43800人．常州通过“足球＋文旅”模式，推出景区免票、观赛礼包等政策．例如，端午假期对扬州旅客免票，当日酒店订单暴涨1776%，异地文旅消费就达到4.3亿元． (1)将4.3亿元用科学记数法表示为______元． (2)为迎常州对苏州的比赛，组委会对其中的6个足球进行了质量抽测，结果如下表（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）： 足球序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量相比 ①第______号足球的质量最好． ②质量最重的足球比质量最轻的足球重多少克？ ③若每个足球的标准质量是400克，则这6个足球的总质量是多少克？ 【答案】(1) (2)①⑤；②克；③这6个足球的总质量是克 【分析】本题主要考查科学记数法，有理数运算的应用，熟练掌握科学记数法及有理数运算的应用是解题的关键； （1）根据科学记数法可进行求解； （2）①根据绝对值的意义可进行求解；②由表可知最重的是④和⑥号球，最轻的是③号球，然后问题可求解；③把表格数据进行相加，然后问题可求解． 【详解】（1）解：将4.3亿元用科学记数法表示为元； 故答案为； （2）解：①由表可知：， ∴最接近标准重量的是⑤号球； 故答案为⑤； ②由表可得：（克）； 答：质量最重的足球比质量最轻的足球重克； ③由题意得： （克）； 答：这6个足球的总质量是克． 【题型8】相反数的代数求值 1.核心知识点 相反数的性质；特殊有理数的概念 2.解题方法技巧 ①先根据相反数、特殊数的定义，分别求出每个字母代表的数值； ②牢记常见特殊数：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，相反数等于本身的数是0； ③将字母的值代入目标代数式，按运算规则计算最终结果。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到式子与字母的值是解决问题的关键． 先由题意，得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数， ， 即， ∴ ． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·云南怒江·阶段检测）已知的相反数是，的倒数是，是多项式的项数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数，倒数，多项式的项数，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识求得的值，代入求值即可． 【详解】解：∵的相反数是，的倒数是，是多项式的项数， ∴，，， ∴． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数．求m的值． 【答案】 【分析】先分别求出两个方程的解，第一个方程直接求解，第二个方程去分母后求解，再根据解互为相反数列出关于m的方程求解． 本题考查了解一元一次方程，方程的解，相反数，熟练掌握解方程，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴, 整理，得 故， 解得． 由， 去分母，得， 移项得：， 整理，得 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则__________． （2）已知当时，的值是2023；求当时，的值． 【拓展提高】 （3）已知，求的值． （4）关于的一元一次方程的解是，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3）10；（4） 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得，，代入运算即可； （2）利用已知条件求得，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新组合，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成x即可得出结论． 【详解】解：（1）∵a、b互为相反数，m、n互为倒数， ∴， 则 （2）∵当时，的值是2023； ∴ ∴ 当时， （3） ∵， ∴ 即 故原式的值为10； （4）关于的一元一次方程 设则 关于的一元一次方程的解是， 即 解得 【压轴素养题型】 【题型9】结合数轴的绝对值化简 1.核心知识点 绝对值的代数性质；数轴上数的符号与大小判断 2.解题方法技巧 ①第一步根据数轴上点的位置，判断绝对值内部式子的正负性； ②第二步根据绝对值的性质去掉绝对值符号：正数直接去掉绝对值，负数去掉绝对值后整体加负号； ③第三步对去掉绝对值后的式子进行去括号、合并同类项，得到最终化简结果。 【例题9】.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示（，且）． (1)化简． (2)若，，，求（1）中化简后式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上有理数的位置与绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定绝对值内式子的符号，再去掉绝对值符号进行化简． （1）根据数轴上、、的位置，判断、、的符号，去掉绝对值符号后合并同类项； （2）将的值代入（1）中化简后的式子，计算得出结果． 【详解】（1）解：根据数轴位置且，判断绝对值内式子的符号： ，故； ，故； ，故． 代入原式化简：      （2）解：当时，化简后的式子值为：． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）（1）若a，b两数在数轴上的表示如下：那么请根据图形化简代数式； （2）若有理数a，b满足，求（1）中化简后式子的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示及其应用，整式的加减混合运算，绝对值的非负性，熟练掌握根据点（或数）在数轴上的位置判断出式子的正负是解题关键． （1）由数轴可得，，从而得到，，，再根据绝对值的性质对式子化简即可； （2）根据绝对值的非负性求出a，b的值，再代入（1）中化简后的式子即可解答． 【详解】解：（1）由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． （2）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴原式． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知，，满足，． (1)求出，，的值； (2)，，在数轴上所对应的点分别为，，，为数轴上一动点，其对应的数为，当点在点与点之间时，化简式子（写出化简过程） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、数轴、整式的加减等知识点，熟练掌握数轴的定义和绝对值的性质是解题关键． （1）先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得a、c的值，再根据可得b的值； （2）先画出数轴，再根据点P的位置分别判断出的正负，然后化简绝对值、计算整式的加减即可得． 【详解】（1）由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，， 解得，， ， ， 综上，； （2）由题意，画数轴如下： 由数轴的定义得：， 则， 因此， ， ， ． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江西抚州·期中）“数形结合”是一个重要的数学方法，如在化简时，当在数轴上位于原点的右侧时，；当在数轴上位于原点时，；当在数轴上原点的左侧时，．试用这种方法解决下列问题． (1)当时， ； (2)请根据、、三个数在数轴上的位置∶ ①求的值； ②化简∶． 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值的化简（数形结合思想的应用），解题的关键是根据数轴确定数的正负性，再结合绝对值的定义化简计算． （1）根据、的正负，利用绝对值定义化简和，再计算结果； （2）①由数轴得、、，结合绝对值定义化简、、后计算；②根据数轴判断、、的正负，利用绝对值定义去掉绝对值符号，再合并同类项化简． 【详解】（1）解：已知，： ，，故； ，，故． 因此，． 故答案为：2 （2）①由数轴得、、， ②根据数轴判断、、， 【题型10】跨学科情境综合应用 1.核心知识点 绝对值、相反数的综合应用；跨学科信息提取与建模 2.解题方法技巧 ①从地理海拔、物理测量、体育测试等跨学科素材中，提取基准、偏差、距离等数学信息； ②将跨学科问题转化为绝对值计算、大小比较、相反数判断等数学问题，运用本节知识求解； ③结合学科常识验证结果的合理性，体现数学的工具性与应用性。 【例题10】.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·河北唐山·期中）黄桃罐头为乐亭特产，因其上好的品质受到百姓喜爱．嘉嘉家代售黄桃罐头产品．某天库房进出罐头数量统计如下（运进库房用正数记录，运出库房用负数记录）： 每次进出罐头数量（单位：箱） 2 3 进出次数 3 1 3 5 2 表中一处统计数据因破损无法识别，嘉嘉记得破损数据为3的相反数． (1)破损数据为 ． (2)若某天进货较多，则第二天应拓宽销售渠道，出货较多，则第二天应拓宽进货渠道，根据统计量计算说明嘉嘉家第二天是应拓宽销售渠道还是进货渠道． (3)若运出每箱罐头费用为2元，运进为每箱3元，求这天运送罐头的总费用． 【答案】(1) (2)第二天应拓宽销售渠道 (3)这天运送罐头的总费用为76元 【分析】本题考查了正负数的应用、相反数、有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）根据相反数的定义求解即可得； （2）根据表格数据，先求出进货量与出货量，再比较大小即可得； （3）利用出货量乘以运出每箱罐头费用，加上进货量乘以运进每箱罐头费用即可得． 【详解】（1）解：∵破损数据为3的相反数， ∴破损数据为， 故答案为：． （2）解：进货量为（箱）， 出货量为 （箱）， ∵，即进货量大于出货量， ∴嘉嘉家第二天是应拓宽销售渠道． （3）解：由题意得： （元）， 答：这天运送罐头的总费用为76元． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山东济南·期中）济南轨道交通6号线是贯穿济南东西方向的主干线，东段预计2025年底通车．标志色为泉之蓝（天蓝色）．线路西起位里庄站，东至梁王站，全长约39.2公里，均为地下线，共设32座地下车站，大致呈东西走向．近日山东大学至梁王车辆基地，顺利完成联调联试，正式进入试运行阶段，其中的15个站点如图所示． 王华从山东大学开始乘坐地铁，在图中15个地铁站点做值勤志愿服务，约定向梁王方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）： ，，，，，，，． (1)请你通过计算说明最后王华是否回到起点山东大学． (2)已知相邻两站之间的平均距离约为千米，求王华在志愿者服务期间乘坐地铁一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)能回到 (2)王华在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是千米 【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义，有理数的加减运算，有理数的乘法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，结果是，故王华能回到起点山东大学； （2）先运算出总行程，再结合相邻两站之间的平均距离约为千米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则王华能回到起点山东大学； （2）解： ， 则（千米）， 则王华在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是千米． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端与点重合；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为_______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请直接写出爷爷和小红现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)65，13 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看作木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且，， 所以爷爷现在的年龄是65岁，小红现在的年龄是13岁． 易错点 1、已知绝对值求数时漏解：只写出正数解，忽略对应的负数解；误认为绝对值等于本身的数只有正数，漏掉0这种特殊情况。 2、多重符号化简出错：记错“奇负偶正”规则，误将正号个数纳入统计；化简多层括号时运算顺序混乱，导致符号错误。 3、负数大小比较规则混淆：两个负数比较时，直接按绝对值大小排序，误认为绝对值大的数更大，最终结果颠倒。 4、相反数概念理解片面：认为带负号的数一定是负数，忽略字母可表示任意数；仅关注符号相反，忽略“数字部分相同”的要求。 5、去绝对值符号失误：化简含字母的绝对值时，未判断内部式子的正负就直接去掉符号，或负数去绝对值时忘记变号。 重点 1、绝对值和相反数的概念与性质，能熟练求出任意有理数的绝对值和相反数。 2、绝对值的非负性及其应用，利用绝对值比较两个负数大小的方法。 难点 1、结合数轴的绝对值化简，分类讨论思想在绝对值问题中的规范应用。 2、绝对值与相反数的综合探究问题，数形结合思想的灵活运用。 一、单选题 1．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接得出结果. 【详解】解：的相反数是. 2．地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个数中最小的数是． 3．下列不等式关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值性质、分数通分比较法、负数比较大小规则，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：逐个判断各选项： 对于A选项，∵ ，，，∴ ，A错误． 对于B选项，∵ ，，， ∴ ，B正确． 对于C选项，两个负数比较大小，绝对值更大的数更小， ∵ ， ∴ ，C错误． 对于D选项，∵ 负数小于一切正数，为负数，为正数， ∴ ，D错误． 二、填空题 4．（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 5．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键. 【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点与点表示的数互为相反数， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数是． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 三、解答题 7．已知，若a与b互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义、解一元一次方程，利用互为相反数的定义可得关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 8．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题： (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是 ； (2)如果点B，E表示的数互为相反数，那么点D表示的数的绝对值是 ；求出此时图中所示的5个点所表示的有理数． 【答案】(1)； (2)5；点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值，解答关键是确定原点的位置． （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等确定原点位置求解即可； （2）同（1）方法确定原点位置，再根据各点的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵点A、B表示的数是互为相反数， ∴原点为线段的中点， ∵点C在原点左边一格位置， ∴点C表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点B、E表示的数是互为相反数， ∴原点为线段中点，即为点C， 点D距离点C5个单位， ∴点D表示的数的绝对值为5； 此时点A表示的数为，点B表示的数为4；点C表示的数为0，点D表示的数为，点E表示的数为． 故答案为：5． 10．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $