2.2.3　一元二次不等式的解法 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦“一元二次不等式的解法”，通过基础巩固、中档综合、提升应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-6题）|解集判断、简单不等式求解|直接考查定义与解法，如第3题结合充要条件强化概念理解| |中档层（7-12题）|含参数不等式、逆向构造、充要条件|第9题分类讨论参数，第12题结合充分不必要条件提升逻辑推理| |提升层（13-14题）|新定义运算、实际应用|第14题以利润问题构建模型，体现数学应用意识与运算能力|

2.2.3　一元二次不等式的解法 1.下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋＞0；③x2＋6x＋10＞0；④2x2－3x＋4＜1.其中解集为R的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 2.不等式（5－x）（x＋4）≥18的解集是（　　 ） A.[－1，2] B.[－2，1] C.（－∞，－1]∪[2，＋∞） D.（－∞，－2]∪[1，＋∞） 3.设x∈R，则“x2－2x＜0”是“1＜x＜2”的（　　 ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.若不等式ax2＋（a－1）x＋a＞0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（　　 ） A.a＜－1或a＞ B.a＞1 C.a＞ D.－1＜a＜ 5.（多选）若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是，则以下正确的有（　　 ） A.a＜0 B.＝－1 C.a＋2b＋3c＞0 D.cx2＋bx＋a＞0的解集为 6.不等式≤1的解集是　　　　. 7.已知P＝（1－，1＋），写出解集为P的一个一元二次不等式　　　　　. 8.若a＜0，则关于x的不等式a（x＋1）·＜0的解集为　　　　　　　. 9.解关于x的不等式x2＋x－a（a－1）＞0（a∈R）. 10.关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. 11.设命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立.若p为真命题，则实数m的取值范围是　　　　 　. 12.已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 13.在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为（　　） A.－ B.－ C. D. 14.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. （1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 2.2.3　一元二次不等式的解法 1.C　①显然不可能；②中Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10＜0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能.故选C. 2.A　原不等式可化为x2－x－2≤0，即（x－2）·（x＋1）≤0，解得－1≤x≤2.所以不等式的解集为[－1，2].故选A. 3.C　x2－2x＜0⇔0＜x＜2，则0＜x＜2不能推出1＜x＜2，但1＜x＜2可以推出0＜x＜2，故“x2－2x＜0”是“1＜x＜2”的必要不充分条件.故选C. 4.C　当a＝0时，0＋（0－1）×x＋0＞0，∴x＜0，不符合题意，舍去； 当a≠0时，由题得a＞0且Δ＝（a－1）2－4a2＜0，所以a＞.综上：a＞.故选C. 5.ABC　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是，开口向下，故A正确； －，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，＝2×＝－1，故B正确； 根据对称轴－＝和4a＋2b＋c＝0可推出带入选项中的式子可得a＋2b＋3c＝a＋2×－3a＝－5a＞0，故C正确； －，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，－＝2－＝，＝2×＝－1， 当x＝0，c＞0，故cx2＋bx＋a＝cx2＋cx－c＞0，其解集为（－∞，－2）∪，D错误；故选A、B、C. 6.（1，6]　解析：由不等式≤1得≤0，故⇒1＜x≤6. 7.x2－2x－2＜0（答案不唯一）　解析：对于不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）而言，若解集为P＝（1－，1＋）， 则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为1－和1＋， 那么－＝1＋＋（1－）＝2，＝（1－）（1＋）＝－2， 设a＝1，则b＝－2，c＝－2，所以不等式为x2－2x－2＜0. 8.　解析：因为a＜0，所以解关于x的不等式a（x＋1）·＜0得：x＜－1或x＞－， 所以原不等式的解集为. 9.解：因为关于x的不等式x2＋x－a（a－1）＞0， 所以（x＋a）（x＋1－a）＞0， 当－a＞a－1，即a＜时，x＜a－1或x＞－a， 当a－1＞－a，即a＞时，x＜－a或x＞a－1， 当a－1＝－a，即a＝时，x≠－， 所以当a＜时，原不等式的解集为{x｜x＜a－1，或x＞－a}， 当a＞时，原不等式的解集为{x｜x＜－a，或x＞a－1}， 当a＝时，原不等式的解集为. 10.A　法一　x2－2ax－8a2＜0可化为（x＋2a）·（x－4a）＜0. ∵a＞0且解集为（x1，x2），则x1＝－2a，x2＝4a， ∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝. 法二　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，结合a＞0得a＝. 11.1≤m≤3　解析：对于p：因为对任意x∈[0，1]，不等式2x－3≥m2－4m恒成立，所以对任意x∈[0，1]，（2x－3）min≥m2－4m成立，又因为（2x－3）min＝－3，所以－3≥m2－4m，即1≤m≤3.若p为真命题，则1≤m≤3. 12.解：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1. 所以条件p对应的集合P＝. 由x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，得a≤x≤a＋1， 所以条件q对应的集合为Q＝{x｜a≤x≤a＋1}. 因为p是q的充分不必要条件. 所以p⇒q，即P⫋Q⇔或 解得0≤a≤. 所以实数a的取值范围为. 13.D　由定义知，不等式≥1等价于x2－x－（a2－a－2）≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立.∵x2－x＋1＝＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为. 14.解：（1）由题意，得y＝[1.2×（1＋0.75x）－1×（1＋x）]×1 000×（1＋0.6x）（0＜x＜1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0＜x＜1）. （2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 解不等式组，得0＜x＜， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $