练案14 2.2.3 一元二次不等式的解法-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[14] 第二章 等式与不等式 2.2[2.2.3 一元二次不等式的解法] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.解下列不等式： 1.下列四个不等式： (1)2+3x-2x2>0: ①-x2+x+1≥0：②x2-2√5x+5>0:③x2+6x+ (2)x(3-x)≤x(x+2)-1; 10>0;④2x2-3x+4<1.其中解集为R的是() (3)x2-2x+3>0. A.① B.② C.③ D.④ 2.不等式6x2+x-2≤0的解集为 -号 w.t B{区-号或≥引} c{小≥引 D{≤号} 3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)(x-)<0 的解集为 A{<a或> B.xlx>a a c{x>a或x<} 4.(2024·大连高一检测)已知关于x的不等式3x2+ax 2 +6<0的解集为{号<x<2,则a+b= A.-4 B.4 C.-8 D.8 5.(多选题)已知关于x的不等式x2+bx+c>0的解集 为xx<-2或x>3},则 ( A.b=-1 B.不等式bx+c>0的解集是{xlx<-6} C.b+c=5 D.不等式c-bc+1<0的解集是{x<-号或x>分} 11 二、填空题 6.已知关于x的不等式2x2+ax-a2>0的解集中的一 个元素为2，则实数a的取值范围为 7不等式经持1的解集是 8.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指 汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)sm和汽车车 速xkm/h有如下关系：s= 皮+动2在一次交通事 1 故中，测得这种车的刹车距离不小于40m,那么这辆 汽车刹车前的车速不低于km/h. —127 10.解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(aeR) :三、解答题 6.已知aeR,设集合A={xlx2-(6a+1)x+9a2+3a -2<0},B=x11-1x+a1≥0}. (1)当a=1时，求集合B; (2)间：a≥号是AnB=⑦的什么条件.（充分不必要 条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要 条件)并证明你的结论 B组素养提升 一、选择题 1.不等式-+子+兮≤0的解袋是 {≤ B{≥1或≤-} C{≥写或≤} n{-1≤≤} 2.(2024·抚顺高一检测)若关于x的不等式ax-b>0 的解集是(-1，+∞)，则关于x的不等式(bx+a)(x -3)>0的解集是 (） A.(-0-1)U(3,+0) B.(-1,3) C.(1,3) i D.(3,+∞) 3.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于 此不等式的解集有下列结论，其中正确的是( A.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是xlx>3} B.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是R C.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是☑ D.不等式ax2+bx+3>0的解集可以是{xl-1<x<3} 二、填空题 4.(2023·山东菏泽高一期中)若不等式ax2+bx+2<0的 组创新拓展 设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的 解集为<-或x>写}则 a 解集中的整数解恰有3个，则 () 5.(2024·营口高一检测)已知关于x的不等式x2-x A.-1<a<0 B.0<a<1 +2k<0的解集为(x,x2),且1x1-x2|≤3，则实数k C.1<a<3 D.3<a<5 的取值范围为 —128得x+4>3(x-2x+2),故选B. .2x2-3x+3<0 课堂检测固双基 .4=9-24<0,解集为⑦ 1.B②④一定是一元二次不等式 选C 2.B原不等式等价于x2-4x-5>0, 2.A.6x2+x-2≤0 即(x+1)(x-5)>0,解得x<-1或x>5 ..(3x+2)(2x-1)≤0， 故原不等式解集为xlx>5或x<-1},故选B. 1 3.Cax2+bx+c=0的两根为-2,3， ∴.选A 「-2+3=-6 a’ [b=-a, 得{ 3.Aa<-1a(x-a(s-日)k0e(-a）(-)> -2×3= c=-6a, a 0.又a<-1, .ax2 +bx+c>0 ax2-ax-6a >0. >a,>或x<a x2-x-6<0, a (x-3)(x+2)<0,-2<x<3, 4.A由题意得号，2是关于x的方程32+ax+b=0的两个不 选C 等实根， 4.{2}Rx2-4x+4≤0， .(x-2)2≤0， 「3+2=-3 所以 a=-8, 解得 .x=2, 2 5×2=3 b=4, .x2-4x+4≤0的解集为2}， x2-4x+4≥0的解集为R 所以a+b=-4. 5.ABD因为关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为 5(-0,u(合+）>-6， xlx<-2或x>3},所以-2和3是方程x2+bx+c=0的两 0 个实根，所以根据一元二次方程根与系数的关系得-b=-2 +3,b=-1,故A正确；又-2×3=-6=c,所以不等式bx+c 即+>0， >0化为-x-6>0,所以x<-6,故B正确；所以b+c=-7, 故C不正确；不等式cx2-bm+1<0化为-6x2+x+1<0,即 x(1+bx)>0 >0或x<石 62-x-1>0,即(3x+D(2x-）>0,解得x>3或x< 又↓<a, -号，故D正确 :6.(-2,4)因为关于x的不等式2x2+ax-a2>0的解集中的 -a<0, 一个元素为2，所以8+2a-a2>0,即(a-4)(a+2)<0,解得 | -2<a<4. 1-ag<0, x {亭<数持1-特-10-5≤0等价 t<0或x>1 于-1)(3x+5)s0. L3x+5≠0， 不等式的解集为-，-)U(行，+} 解得-<小 练案[14] :8.80 根据题意，得皮+0≥40 A组基础巩固 1.C-x2+x+1≥0， 移项整理，得x2+10x-7200≥0. 显然△>0，x2+10x-7200=0有两个实数根， .x2-x-1≤0， ·4=1+4=5>0,解集不为R; 即x1=80,x2=-90, 又x2-25x+5>0, 然后，根据二次函数y=x2+10x-7200的图像（图略）， 得不等式的解集为x|x≤-90或x≥80}. .4=20-45>0,.解集不为R; 在这个实际问题中，x>0,所以这辆汽车刹车前的车速不低于 .…x2+6x+10>0, 80 km/h △=36-40<0，解集为R; 2x2-3x+4<1, 9因为2+3x-2x=-2-+88)+2=-2-)】 —187 3.BD在A中，依题意得a=0,且3b+3=0.解得b=-1,此时 不等式为-x+3>0,解得x<3,故错误；在B中，取a=1,b= 所以原不等式化为-2(x-子)广+空>0， 2,得x2+2x+3=(x+1)2+2>0,解集为R,故正确；在C中， 当x=0时，ax2+bx+3=3>0,知其解集不为☑，故错误；在D 所以(-<急 [-1+3=-6 所以-<-子< 35 中，依题意得a<0,且 解得-1， a 符合题 -1×3= 3 b=2. a 解得子<x<2 意，故正确。 所以不等式的解集为(-子2 4. 7 6 因为不等式a2+bc+2<0的解集为{：x<-号或x (2)因为原不等式可化为2x2-x-1≥0， 因为2x--1=2(-+6)-1 } =2(-4 所a<0.且方号是方程2+b加+2=0的两个根. 所以原不等式可化为2：-广-号≥0 即有+名分×名解得a=-12=-2 所叫-品 则0+b=Z -6 5.[-1,0)U(8,9]因为关于x的不等式x2-kx+2k<0的解 所以x=子或 3 4≤-4 集为(1，x2), 所以x1,x2是方程x2-kx+2k=0的两个根， 解得1，或发宁 所以4=(-k)2-8k>0,解得k<0或k>8, 所以原不等式的解集为(-0，一]u1,+o)》 x1+x2=k,x1x2=2k, (3)因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0恒成立， 由1x1-x1≤3，得(x1-2)2≤9，(x1+x2)2-4x12≤9， 所以2-8k-9≤0，(k+1)(k-9)≤0， 所以原不等式的解集是R 解得-1≤k≤9， 10.由于2+3a-4a2<0可化为(x-a)·(x+4a)<0, 综上，-1≤k<0或8<k≤9， 且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a. 即实数k的取值范围为[-1,0)U(8,9] 当a=-4a,即a=0时，不等式的解集为☑； 当a>-4a,即a>0时，解不等式得-4a<x<a; 6.(1)由1-x+11≥0，得1x+11≤1，即-1≤x+1≤1，-2≤x 当a<-4a,即a<0时，解不等式得a<x<-4a. ≤0，所以B=[-2,0]. 综上所述，当a=0时，不等式的解集为☑；当a>0时，不等 (2)充分不必要条件，证明如下， 式的解集为xl-4a<x<a};当a<0时，不等式的解集为 由题意A=(3a-1,3a+2),B=[-a-1,-a+1],若AnB= xla<x<-4a. ⑦，则3a+2≤-a-1或3a-1≥-a+1,解得a≤-子或a≥ B组素养提升 1B-+子+分≤0. .3x2-2x-1≥0， :a≥)是AnB=⑦的充分不必要条件 (x-1)(3x+1)≥0， C组创新拓展 1政医分 C关于x的不等式(x-b)2>(ax)2,即(a2-1)x2+2bx-b <0, .选B 因为0<b<1+a,[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0的解集 2.C因为不等式ax-b>0的解集是(-1，+∞)， 中的整数解恰有3个， 所以a>0,且-1是方程ax-b=0的根 所以a>1, 故-a-b=0,即b=-a, 所以(bx+a)(x-3)>0台-a(x-1)(x-3)>0→(x-1)(x 所以不等式的解集为(。白a)】 -3)<0, 求解可得1<x<3,即不等式(bx+a)(x-3)>0的解集为(1， 又0<a+<l, 3). 所以解集中的整数为-2，-1,0. 188 所以-3≤-a<-2,即2<。≤3， 】>2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一 所以2a-2<b≤3a-3, 条件 因为b<1+a, 例2：(1)因为m,n>0且m+n=16, 所以2a-2<1+a,解得a<3, 综上，1<a<3. 所以由均值不等式可得m≤（士）=(）-64， 当且仅当m=n=8时，mm取到最大值64. 2.2.4均值不等式及其应用 所以7m的最大值为2 第1课时均值不等式 4 (2)因为x>3,所以x-3>0,-3>0, 必备知识探新知 4 知识点1：1.算术平均值2.正数√ada=b 于是f(x)=x+ +x-3+32√-3) -3=x-3+4 x-3 对应练习 +3=7, ①②3④ 当且仅当x-3=3即=5时)取到最小值7 知识点2：小大 对应练习 (3)方法一：因为x>0,y>0,2x+y=1, 1.B因为0<x<1,则1-x>0, 所以↓+↓=2+y+2x+y=3+义+2红≥3+ 所以(3-3)=3a(1-)≤3[+售=子当且仅当 23a x=1-x,即x=弓时等号成立。 当且仅当之=，即y=2x时，等号成立， 2By为正数.(x+列+）=1+4++警≥9.当且 解得=1-是2-1， 仅当y=2x时等号成立，故选B. 关键能力攻重难 所以当x1要y=厅-1时，+有最小值3+22 例1：(1)ACD(2)A(1)因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0， 所以a2+b2≥2ab恒成立，所以A选项符合题意； 方法=+=（生+）1（付+）2+》=3 当a<0,b<0时，显然ab>0成立， 但是a+b≥2√ab不成立，所以B选项不符合题意； +之32√322 y 以下同方法一 因为b>0,所以(e+古〔6+日）=6+6+2≥对点训练2：)因为b=10.且a0,6>0。 2√d~+2=4(当且仅当b=时取等号，即a6=1 因此由均值不等式可得a+b≥2√adb=2√100=20， 当且仅当a=b=10时，a+b取到最小值20. 时取等号），所以C选项符合题意； (2)因为x>0,y>0,2x+3y=6, 因为>0所以+2√合-2（当且仅当 所以=古23哈(2=石×（号 a i 当且仅当2x=3y, =合时取等号，即a=b>0或a=b<0时取等号），所以D 即x=子y=1时灯取到最大值号 选项符合题意， (2)若0<a<6,由基本不等式可以得出V瓜<“（因为 (3)因为+？=1，所以+y=(x+:(任+号) y =1+9x++9=Y+9x+10, a≠b,所以取不到等号)：反之若瓜<“生艺，可得a>0, x 又因为x>0,y>0, 6>0且(V画<(，化简得a>0,6>0且a-6 所以之+些+0≥2√任· y.9x+10=16, x y >0,即a>0,b>0且a≠b,得不到0<a<b,所以是充分不 必要条件 当且仅当之=9，即y=3x时，等号成立 y 对点训练1：②①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x [y=3x, =子，即当x=1时x+≥2等号成立，因为>1，所以+ 得∫4， 由{L+9=1,=12， x y -189