2.2.3 一元二次不等式的解法 课时同步练习卷（提升版）-2026年暑假预习高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 一元二次不等式解法提升版同步练，通过基础应用、综合辨析、创新拓展三层设计，梯度覆盖从单一解法到实际应用，适配暑假分层巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一解法与参数范围|单选聚焦恒成立（题1）、整数解（题2）等基础题型| |综合辨析|多知识点综合与逻辑推理|多选考查命题真假（题6）、方程根与不等式关系（题7）| |创新拓展|实际情境与复杂问题解决|解答题结合函数（题16）、销售模型（题17）等综合应用|

2.2.3 一元二次不等式的解法课时同步练习卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，然后对于二次项系数不为零的情况，利用二次函数图象开口向上且与横轴无交点得出判别式小于零，再结合二次项系数大于零的条件解出参数范围． 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为在上恒成立， 所以 解得．综上， 故选：C． 2．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． 4．（2026高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【详解】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：. 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数对任意实数，函数值恒大于零，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论考虑二次项的系数为和不为，当二次项的系数为时，满足题意；当二次项系数不为时，且，解不等式即可得解. 【详解】当时，得或， 若时，，其对任意实数不可能恒大于； 若时，，其对任意实数恒大于； 当时，根据题意得，解得； 综上：实数的取值范围是，故B正确. 故选：B. 6．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 7．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【分析】A，根据一元二次方程两实根可得，列出不等式，求解即可得出充要条件，再根据包含关系得到A正确；B，由已知可知判别式条件及两根之积为负列出不等式组，求解即可；C项，由已知可知判别式条件及两根之和以及两根之积为正列出不等式组；D项，由已知可知判别式条件列出不等式，求解即可． 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】当时，恒成立， 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当时，，而恒成立，此情况无解， 综上，时，；时，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据不等式的解集为或，可得，且和是的两个根，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题意可知，，且和是的两个根， 则，，得到，， 对于A选项，由可判断A正确； 对于B选项，由得， 整理得到，解得或，所以B正确， 对于C选项，因为，故C错误， 对于D选项，由，得，得，故D错误， 故选：AB 10．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 13．（25-26高一上·上海·期末）对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 14．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】构造二次函数，由分类确定不等式的另一个整数解，结合二次函数性质列出不等式组求解. 【详解】令函数，二次函数图象开口向上， 由，得是不等式的一个整数解， 又不等式的解集中恰好有两个整数，则或， 即或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·全国·期中）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 16．（25-26高一上·四川成都·期中）设函数． (1)若命题：，是假命题，求的取值范围； (2)若命题: ，是真命题，求的取值范围； (3)若命题、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得在上恒成立，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解； （2）依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合对勾函数的性质求出，即可得解； （3）求出命题为真时参数的取值范围，从而求出与都为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）若命题：，是假命题，则，是真命题， 即在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，需满足，解得； 综上所述，的取值范围为. （2）若对于，恒成立， 即在上恒成立， 则在上恒成立， 故只需，即可， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在上单调递增，上单调递减， 又，，则， 所以，故； （3）若为真命题，则或， 又为真命题时， 所以当与都为真命题时， 所以命题、至多有一个为真命题时， 即实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·湖北十堰·期末）某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 【答案】(1)27 (2)，最大值为6900元 【分析】（1）由解不等式即可求解； （2）由和分别计算最值即可求解. 【详解】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 18．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）将不等式化为，当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果. （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，， 当时，或；当时，；当时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）方程化为， 当时，，解得，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，关于的一元二次方程只有一个正根，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，原方程有4个不同的实根，则关于的一元二次方程有两个不同的正根， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或. 19．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【详解】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 一元二次不等式的解法课时同步练习卷（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数对任意实数，函数值恒大于零，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为或 C． D．不等式的解集为 10．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 11．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 13．（25-26高一上·上海·期末）对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 14．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·全国·期中）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 16．（25-26高一上·四川成都·期中）设函数． (1)若命题：，是假命题，求的取值范围； (2)若命题: ，是真命题，求的取值范围； (3)若命题、至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·湖北十堰·期末）某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 18．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）已知函数，， (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $