2.2.4均值不等式及其应用课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦均值不等式，涵盖概念、推导、成立条件及应用。从矩形周长与面积问题导入，通过算术与几何平均数概念，结合矩形和半圆几何意义推导不等式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以生活实例和几何模型培养数学眼光，通过推导与错误分析发展数学思维，规范解题过程提升数学语言表达。如矩形最值问题、半圆几何意义解析，助力学生深化理解，教师可借分层练习提升教学效率。

第二章 等式与不等式 2.2.4均值不等式及其应用 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识点 1.理解算术平均数与几何平均数的概念 2.掌握基本均值不等式 ≥（a,b>0）的推导过程与成立条件 3.均值不等式成立的 “一正、二定、三相等” 条件的理解与灵活应用 4.能运用均值不等式求最值问题 情景导入 思考： 用一个周长为 4l 的矩形围成一个面积最大的图形，这个图形是什么形 状？面积最大值是多少？ 设矩形长为 ，宽为 b，则 a+b=2l，面积 S=ab 如何求 的最大值？ 解：因为，都是正数，所以 ，即 ∴=时（而且，等号成立条件，当且仅当，即时） max= 探究新知 给定两个正数，数称为，的算数平均值；数称为的几何平均值.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标 从定周长的实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值（已证明）.一般地，我们有如下结论. 均值不等式 如果a，b都是正数，那么 当且仅当a=b时，等号成立. ≥， 情景导入 值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如≥ _____ 一定是正确的. 均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a，b还可以为零)，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值.那么，均值不等式有什么几何意义呢？ 将均值不等式两边平方可得()2≥ab，如果矩形的长和宽方别为a和b，那么矩形的面积为___，()2可以看成与矩形周长相等的正方形(矩形的周长为2(a+b),正方形的周长相等则边长为）的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大. ab 探索与研究 探索与研究：如图所示的半圆中，为直径，为圆心. 已知，，为半圆上一点，且， 算出和，给出均值不等式的另一个几何意义. ∵ ∴，∴， 而斜边的一半为 ∵≤ ∴均值不等式的另一个几何意义是：在直径为a+b的半圆中，半圆上任意一点到直径两端点连线形成的直角三角形中，斜边上的高不超过斜边的一半. 探究新知 解 因为，所以根据均值不等式有， 其中等号成立当且仅当，即，解得或(舍). 因此时，取得最小值. 例1 已知，求的最小值，并说明为何值时取得最小值. 探究新知 证明 因为，所以，. 根据均值不等式，得 , 即. 当且仅当，即时，等号成立.因为， 所以等号成立的条件是. 例2 已知，求证：，并推导出等号成立的条件. 探究新知 分析：在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值. 解(1)设矩形的长与宽分别为与，依题意得. 因为，，所以，所以. 当且仅当时，等号成立，由可知此时. 因此，当矩形的长和宽都是时，它的周长最短，最短周长为. 例3 (1)已知矩形的面积为，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ 结论：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 探究新知 分析：在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽之积的最大值. 解(2)设矩形的长与宽分别为与，依题意得，即. 因为，，所以. 因此，即.当且仅当时，等号成立， 由可知此时 . 因此，当矩形的长和宽都是时，它的面积最大，最大面积为. 例3 (2)已知矩形的面积为，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 结论：当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 探究新知 解 当时，，因此，. 由均值不等式可得 , 从而，即. 当且仅当，即时，等号成立. 从而当时，取得最大值. 例4 已知，求的最大值，以及取得最大值时的值. 注意：求两个因式的积的最大值，观察两个因式的和是不是定值，如果是则直接用均值不等式.(均值不等式中和大于等于积，所以积小则一定有最大值） 探究新知 证明 因为 ， 所以，即 . 等号成立时，当且仅当，即. 例5的结论也是经常要用的.不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别.区别在于例5中去掉了是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例5结论的一种特殊情况. 例5 已知是实数，求证：.并说明等号成立的条件 探究新知 证明 (1)因为，两边同时加上，得 ， 即 . (2)因为，两边同时加上，得 ， 即 . 例6 已知，求证： (1)；(2). 巩固练习 1.求x+ 的最小值，其中x<0 错误解法： x+≥2 =2，因此最小值为2 错误原因： 忽略“一正”条件，x<0时，x和均为负值，不满足均值不等式的前提 正确解法： 令t=-x,则t>0，原式可化为-(t+） 由均值不等式，(t+≥2,因此-(t+）≤-2，最大值为-2（无最小值） 巩固练习 2.求x+ 的最值，其中x<1 错误解法： 变形为(x-1)++1,套用均值不等式得(x-1)+≥2，因此原式最小值为2+1 错误原因： 忽略“一正”条件，x<1时，两项均为负值，不满足均值不等式的前提不能套用 正确解法： 令t=1-x,则t>0，原式可化为-(t+）+1 由t+≥2，得-(t+）+1≤1-2，最大值为1-2 巩固练习 3.求x2 +1+ 的最小值 解 套用均值不等式得x2 +1+≥2，因此原式最小值为2 4.求x2 +3+ 的最小值 解 变形为（x2 +1）+ +2，此时（x2 +1）· =1（定值），满足“二定” 由均值不等式得最小值为2+2=4，当且仅当x2 +1=即x=0时取到。 巩固练习 5.已知x≥3,求y=x+的最小值 错误解法： 因x>0，满足“一正”，x·=4（定值）,得y≥4 错误原因： 等号成立得条件为x=即x=2，但x≥3，等号无法取到，不能用均值不等式直接求最值 正确解法： x+在[2,+∞）上单调递增，因此当x=3时，ymin=3+= 巩固练习 6.求x+ 的最值，其中x<1 错误解法： 变形为(x-1)++1,套用均值不等式得(x-1)+≥2，因此原式最小值为2+1 错误原因： 忽略“一正”条件，x<1时，两项均为负值，不满足均值不等式的前提不能套用 正确解法： 令t=1-x,则t>0，原式可化为-(t+）+1 由t+≥2，得-(t+）+1≤1-2，最大值为1-2 巩固练习 7.已知两个正数，满足， 的最小值 【解析】因为，为正数，所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为6. 8.已知，求的最大值. 【解析】∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“=”成立. ∴的最大值为. 巩固练习 9.已知，且求的最小值. 【解析】∵，且 ∴ 当且仅当即时，“=”成立. ∴的最小值为. 提升练习 1.已知正实数x,y满足x2+=1, 则x的最大值为 【解析】 =m，整理得y2=m2-2 由已知可得x2+=1 即16x2+m2=18≥2 =8xm ∴xm≤,即x 得最大值为 换元法： 和是两个二次的和， 积要是两个一次的积 提升练习 2.若x>0,y>0,且=1, 则2x的最小值为 【解析】令，解的 此题变成了，已知=1,求2(m-1)+(n-m+1)的最小值问题. 2(m-1)+(n-m+1)=== ∴2x+y的最小值为 换元法： 换元变形，再应用巩固练习中第9题中“1的代换”方法求值 提升练习 3.已知正实数a,b满足a+b=1,的最小值为 【解析】=a+ 所以，的最小值为10 提升练习 4.已知正实x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为 【解析】= = ≥ 4+3 = 7 ∴的最小值为7 凑齐次式法 提升练习 5.已知正实x>0,y>0,x2+xy-3=0,则的最小值为 【解析】由已知得y = - x,则 ≥6 ∴的最小值为6 消元法 提升练习 5.若a>0,b>0,最大值为 【解析】b=1-a,则 = 令a+1=m 则=,上下同时除以m，得 值最大，最大值为+1 ∴最大值为+1 消元法 $