3.1.1函数的概念 新授课导学案2026-2027学年高一上学期必修一

该高中数学导学案聚焦“函数的概念”核心知识点，涵盖定义、定义域、值域、区间及同一函数判断等内容。通过“知识回顾”引导学生衔接初中函数概念，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助构建完整知识脉络。 特色在于“考点-题目-感悟”模块明确学习方向，分题型练习覆盖函数关系判断、定义域值域求解等核心内容。通过概念辨析问题培养数学思维，结合区间符号表达强化数学语言，助力学生用数学眼光抽象函数本质，提升自主学习与问题解决能力。

3.1.1函数的概念 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】知识回顾 阅读课本上的内容，并思考初中学过的函数概念是什么？ 【2】函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ____________ 定义域 x叫做____________，x的______叫做函数的定义域 函数值 与____________相对应的y值 值域 函数值的集合_______________叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 【3】关于函数的概念的几个思考 (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ (2)对于一个函数，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？ (3)在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？ （4）有人认为“”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种说法对吗？ （5）与（a为常数）有何区别与联系？． 【4】同一函数（相等函数）：如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一函数或相等函数． 【5】求定义域中的常规基础限制条件 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 【6】复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 【7】函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 ______：简单一次、反比例函数直接判断； ______：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； ______：分式一次比一次型； ______：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； ______：画图看取值范围. 【8】区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 函数关系的判断 1，2,3 求函数值 4,5,15,19 已知函数值求自变量或参数 17 区间的认识 6 具体函数的定义域 7,16 复合函数的定义域 8,12 实际问题中的定义域 13 一次，二次，反比例等常见函数的值域 10 其他值域问题 11,14,17 同一函数问题 9 定义域的应用 18 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2．定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 3．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 4．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 7．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 8．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 11．下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 14．函数的值域为______. 四、解答题 15．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 16．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 17．（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 18．设函数． (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围． 19．已知函数. (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1函数的概念 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】知识回顾 阅读课本上的内容，并思考初中学过的函数概念是什么？ 【答案】如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 【2】函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的_____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____________和它对应，那么就称____________为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ____________ 定义域 x叫做____________，x的______叫做函数的定义域 函数值 与____________相对应的y值 值域 函数值的集合_______________叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集 【答案】 非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 自变量 取值范围 的值 【3】关于函数的概念的几个思考 (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ 【答案】不能．只有非空数集之间才能建立函数关系． (2)对于一个函数，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？ 【答案】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只有一个函数值与其对应． (3)在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？ 【答案】值域是集合B的子集． （4）有人认为“”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种说法对吗？ 【答案】这种说法不对． 可视为自变量x在对应关系f作用下的对应量．仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号外，还常用，，等来表示函数 （5）与（a为常数）有何区别与联系？ 【答案】与（a为常数）的区别与联系：表示当时，函数的值，是一个常量，而是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量：是的一个特殊值，如一次函数，当时，，是一个常数问题． 【4】同一函数（相等函数）：如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一函数或相等函数． 【答案】 定义域 对应关系 【5】求定义域中的常规基础限制条件 分式分母_____ ； 偶次根式被开方数______； 零次幂底数______. 实际问题：自变量符合现实意义（长度、人数大于 0 等）. 【答案】 【6】复合函数定义域 已知定义域，求 定义域：令______解不等式； 已知定义域，求定义域：求上的值域. 【答案】 【7】函数值域基础求解方法，请在括号中填写对应的函数值域求解方法名称 ______：简单一次、反比例函数直接判断； ______：二次函数、二次根式型，配方结合定义域求最值； ______：分式一次比一次型； ______：带根号、复杂复合式换元转化熟悉函数； ______：画图看取值范围. 【答案】 观察法 配方法 分离常数法 换元法 图象法 【8】区间及相关概念 （1）区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 _____    开区间 _____    半闭半开区间 _____    半开半闭区间 _____    （2）无穷大 实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 _____    _____    _____    _____    【答案】 ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 函数关系的判断 1，2,3 求函数值 4,5,15,19 已知函数值求自变量或参数 17 区间的认识 6 具体函数的定义域 7,16 复合函数的定义域 8,12 实际问题中的定义域 13 一次，二次，反比例等常见函数的值域 10 其他值域问题 11,14,17 同一函数问题 9 定义域的应用 18 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数， 所以该函数的图象与轴的交点个数为1个. 故选：B 3．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 4．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算，代入验证即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ，，，， 故选项C正确. 5．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 6．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 7．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 8．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 二、多选题 9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 10．下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 11．下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】结合单调性求值域，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A选项，为定义域上减函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于B选项，为定义域上增函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于C选项，函数为二次函数开口向下，对称轴在区间内， 又代入定义域可得值域为，符合题意， 对于D选项，分离常数可得， ，则 ，符合题意. 故选： 三、填空题 12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 13．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 14．函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 四、解答题 15．已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值；当时，求的值． 【答案】(1)不在 (2)当时，；当时， 【分析】（1）计算即可判断； （2）直接代值计算即可，令，解方程即可. 【详解】（1）因为，所以点不在的图象上. （2）当时，； 若，则，即，解得. 16．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 17．（1）已知，，求的值域； （2）已知的值域为，求此函数的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将x分别取0，1，2，3时，可得y值依次为，，1，3，即可得答案； （2）解不等式，即可得答案； 【详解】解：（1）当x分别取0，1，2，3时，y值依次为，，1，3， 的值域为1，． （2）， ， 即 即函数的定义域为． 18．设函数． (1)当时，求函数的定义域； (2)若函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令代入即可求解； （2）对分类讨论，根据一元二次不等式的相关性质即可求解, 【详解】（1）依题意， 满足函数有意义，则：， 当时，则， 解得：，故函数的定义域为：. （2）若函数定义域为， 则对任意的，恒成立 当时，显然成立. 当时，由，解得：. 综上：实数的取值范围. 19．已知函数. (1)求与，与的值； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 【答案】(1)，；，； (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接计算可得答案； （2）由（1）中求得的结果归纳推理可得，计算可得答案； （3）求出，利用可得答案. 【详解】（1），； ，； （2）由（1）中求得的结果，归纳推理可得. 证明：； （3）因为， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $