2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（题型专练）数学人教B版2019必修第一册

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型一 求一元二次方程的解集 1．（24-25高一上·上海·课前预习）方程的两根是 ． 2．（20-21高一·全国·课后作业）方程的解集为 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是 ． 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列方程的解集． (1) (2) 题型二 方程根个数的判断及应用 5．（23-24高一·全国·课后作业）不解方程，判断下列方程的实数根的个数. （1）2x2－3x＋1＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(x2＋3)－6x＝0. 6．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则的值等于 7．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程，以下命题正确的个数为（    ） （1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（21-22高一上·青海西宁·期末）设函数. (1)画出函数图象（画在答题卡上）； (2)结合图象，试讨论方程根的个数. 题型三 直接应用根与系数的关系进行计算 9．（2025高一·全国·专题练习）方程的两根为，，则 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为和，则 . 11．（24-25高一上·福建厦门·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 12．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知方程的两个根满足，则m的值是 . 13．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 14．（24-25高一上·北京·阶段练习）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 15．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知方程4的两根为，则 题型一 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 1．【多选】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 2．（2025高三·全国·专题练习）若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 1．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是 . 2．【多选】（23-24高一上·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 题型一 求一元二次方程的解集 1．（24-25高一上·上海·课前预习）方程的两根是 ． 【答案】和 【分析】根据题意，结合一元二次方程的求根公式，即可求解. 【详解】由方程，可得， 可得方程的根为，， 故答案为：和. 2．（20-21高一·全国·课后作业）方程的解集为 ． 【答案】 【分析】先将原方程化为，进而可得出结果. 【详解】由得， 所以或. 因此方程的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，属于基础题型. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是 ． 【答案】， 【分析】根据交点求解，即可求解方程的根. 【详解】由于（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，所以，所以， 故，解得，， 故答案为：， 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列方程的解集． (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程；（2）通过换元，配方，开根号即可求得． 【详解】（1）因为，所以原方程可以化为， 从而可知或，即或，因此所求解集为． （2）设，则， 故原方程可变为， 因此可知或（舍）． 从而，即， 所以原方程的解集为． 题型二 方程根个数的判断及应用 5．（23-24高一·全国·课后作业）不解方程，判断下列方程的实数根的个数. （1）2x2－3x＋1＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(x2＋3)－6x＝0. 【答案】（1）原方程有两个不相等的实数根；（2）原方程有两个相等的实数根；（3）原方程没有实数根. 【分析】（1）直接求判别式即可；（2）（3）先将方程化为一般方程，然后再利用判别式进行判断 【详解】解：（1）因为＝(－3)2－4×2×1＝1>0， 所以原方程有两个不相等的实数根. （2）原方程可化为4y2－12y＋9＝0， 因为＝(－12)2－4×4×9＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. （3）原方程可化为5x2－6x＋15＝0， 因为＝(－6)2－4×5×15＝－264<0， 所以原方程没有实数根.、 【点睛】此题考查判别一元二次方程根的情况，属于基础题 6．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则的值等于 【答案】2 【分析】根据题设可得且有一个值为0，即可求参数值. 【详解】由题设恰有3个实根，则， 其中有一个值为0，另一个不为0，显然， 所以，故，则， 此时或，即满足题设， 所以. 故答案为：2 7．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程，以下命题正确的个数为（    ） （1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于（1），举反例，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出 ，可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例，即可判断. 【详解】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错； 对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，. 充分性：由可得，所以及, 方程 有一正根和一负根，（2）对； 对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错. 故选：B 8．（21-22高一上·青海西宁·期末）设函数. (1)画出函数图象（画在答题卡上）； (2)结合图象，试讨论方程根的个数. 【答案】(1)见解析 (2)当时，无根；当或时，有2个根；当时，有3个根；当时，有4个根. 【分析】（1）先对化为分段函数，进而画出函数图象；（2）结合函数图象，讨论出方程根的个数. 【详解】（1）， 图象如下图示： （2）由（1）所得函数图象知： 当时，无根；当时，有2个根； 当时，有4个根；当时，有3个根； 当时，有2个根. 综上所述：时无根，或时有2个根，时有3个根，时，有4个根. 题型三 直接应用根与系数的关系进行计算 9．（2025高一·全国·专题练习）方程的两根为，，则 【答案】 【分析】依据一元二次方程中的韦达定理即可求出答案. 【详解】因为方程的两个根为， 根据韦达定理可得： . 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知方程的两个根为和，则 . 【答案】 【分析】利用韦达定理，结合配方法来求解即可. 【详解】因的两个根为， 则， 所以. 故答案为： 11．（24-25高一上·福建厦门·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不等实根.则 . 【答案】 【分析】由韦达定理可得，再利用和与积的关系计算即可. 【详解】根据题意得，， . 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知方程的两个根满足，则m的值是 . 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】因为的两根为，所以， 又因为，所以， 所以，解得，检验可得， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 【答案】 【分析】根据根的判别式求出的范围，再由韦达定理计算可得. 【详解】因为关于的一元二次方程的两个实根分别为、， 则，解得， 所以，， 又，即，解得或（舍去）； 故答案为： 14．（24-25高一上·北京·阶段练习）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】设方程的两个实数根为，结合根的判别式和韦达定理求解即可. 【详解】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 15．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知方程4的两根为，则 【答案】0 【分析】由根与系数关系及根的性质得，且，再由即可求值. 【详解】由题设，且，即， 由. 故答案为：0 题型一 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围 1．【多选】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【分析】当时，计算判别式可判断A选项；由求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断B选项；利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错. 故选：AC. 2．（2025高三·全国·专题练习）若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求得结果. 【详解】设两根为，由题意，得 ，即,故,解得． 故实数的取值范围为． 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 1．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由可知，.易知；应用定义证明，可得或，分别讨论满足的条件即可 【详解】易知若，则，所以，，因此，若，则只需考虑 设，若，则 整理得，，即 所以，或 （1）当时，，所以成立； （2）当时，若，则方程无根，或方程的根也是的根. ①方程无根，则； ②若方程有两根，则， 显然，这两根不是的根，所以； ③若方程有且只有一个根，则，， 显然，是的一个根，此时，成立； 又因为集合，所以，方程有根， 所以，，所以，； 综上可得，. 故答案为： 2．【多选】（23-24高一上·福建厦门·开学考试）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可. 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 4．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错； 由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 6．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$