1.2.3 反证法 同步练-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以反证法概念理解为基础，通过三级梯度设计实现从定义记忆到综合证明的能力进阶，强化推理意识与逻辑思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反证法定义、步骤、结论否定|填空题1-4题直接考查概念，选择题9-12题辨析核心要素，夯实知识基础| |进阶层|具体命题反设、简单证明|填空题5-8题训练反设技巧，解答题13-14题结合奇偶性、平行公理进行推理，培养推理能力| |综合层|复杂命题证明、跨知识应用|解答题15-16题证明√2非有理数及方程根问题，需符号运算与逻辑论证，提升数学表达与创新意识|

第一章 集合与逻辑 1.2.3 反证法 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 反证法是一种__________证明方法，其基本思路是：先假设原命题的__________成立，经过正确推理推出__________，从而证明原命题成立。 2. 反证法的证明步骤为：（1）__________（否定结论）；（2）__________（推出矛盾）；（3）__________（肯定原命题）。 3. 命题“若 ，则 ”的结论的否定是__________。 4. 命题“方程 至少有一个实数根”的否定是__________。 5. 用反证法证明“若 是偶数，则 是偶数”时，假设的结论为__________。 6. 用反证法证明“在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”时，应假设__________。 7. 用反证法证明“方程 在实数范围内至多有一个解”时，应假设__________。 8. 用反证法证明“若 为奇数，则 、 中至少有一个是奇数”时，应假设__________。 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 下列关于反证法的说法中，正确的是（　） A. 反证法是直接证明方法 B. 反证法只需否定条件即可 C. 反证法的核心是推出矛盾 D. 反证法不需要已知条件 10. 用反证法证明命题“若 ，则 ”时，应假设（　） A. B. C. D. 11. 用反证法证明“若 ，则 ”时，假设 ，推出矛盾后，可以证明（　） A. 原命题为真 B. 原命题为假 C. 假设成立 D. 无法判断 12. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于等于 ”时，应假设（　） A. 三角形中有一个角小于 B. 三角形中有一个角大于等于 C. 三角形中所有的角都小于 D. 三角形中所有的角都大于等于 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 用反证法证明：若 为偶数，则 、 不都是奇数。 14. （本题10分） 用反证法证明：在同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交。 15. （本题14分） 用反证法证明： 不是有理数。 16.（本题14分） 用反证法证明：方程 至多有一个实数根。 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】间接；结论；矛盾 【解析】反证法是一种间接证明方法，其基本思路是：先假设原命题的结论不成立，经过正确推理推出矛盾，从而证明原命题成立。 第2题（4分） 【答案】反设；归谬；存真 【解析】反证法的标准三步骤为：反设（否定结论）→ 归谬（推出矛盾）→ 存真（肯定原命题）。 第3题（4分） 【答案】 【解析】结论是“”，其否定为“”。注意只否定结论，不否定条件。 第4题（4分） 【答案】方程 没有实数根 【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即没有实数根。 第5题（5分） 【答案】 不是偶数（或 是奇数） 【解析】结论为“ 是偶数”，反设应否定结论，即假设 不是偶数。 第6题（5分） 【答案】这两条直线不平行（或相交） 【解析】结论为“这两条直线互相平行”，反设应否定结论，即假设这两条直线不平行。 第7题（5分） 【答案】方程 在实数范围内至少有两个解 【解析】“至多有一个”的否定是“至少有两个”。 第8题（5分） 【答案】、 都不是奇数（即 、 都是偶数） 【解析】“至少有一个是奇数”的否定是“一个也没有奇数”，即 、 都是偶数。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 C A A C 第9题（4分） 【解析】反证法是间接证明方法，A错误；反证法否定结论而非条件，B错误；反证法核心是推出矛盾，C正确；反证法需要利用已知条件进行推理，D错误。故选C。 第10题（4分） 【解析】命题的结论为“”，用反证法时应否定结论，即假设 。故选A。 第11题（4分） 【解析】反证法中，假设结论不成立，推出矛盾，则说明假设错误，原命题成立。故选A。 第12题（4分） 【解析】“至少有一个角大于等于 ”的否定是“没有一个角大于等于 ”，即“所有的角都小于 ”。故选C。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 证明：假设 、 都是奇数。…………（2分） 则存在整数 、，使得 ，。…………（3分） 所以 ，为偶数。…………（3分） 这与已知“ 为偶数”矛盾。…………（1分） 故假设不成立，、 不都是奇数。…………（1分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 已知：在同一平面内，直线 、、，， 与 相交。 证明： 与 相交。 假设 与 不相交，即 。…………（2分） 又因为 ，由平行公理（或传递性），可得 。…………（4分） 但这与已知“ 与 相交”矛盾。…………（2分） 故假设不成立， 与 相交。…………（2分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 证明：假设 是有理数。…………（2分） 则存在互质的整数 、（），使得 。…………（3分） 两边平方得 ，即 。…………（2分） 所以 是偶数，从而 是偶数。…………（2分） 设 ，则 ，即 ，。…………（2分） 所以 是偶数，从而 是偶数。…………（1分） 这与“、 互质”矛盾。…………（1分） 故假设不成立， 不是有理数。…………（1分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 证明：假设方程 至少有两个实数根。…………（2分） 设这两个实数根为 、，且 。…………（2分） 由韦达定理： ，。…………（2分） 因为 ，所以 。…………（2分） 又 ，矛盾。…………（4分） 故假设不成立，方程 至多有一个实数根。…………（2分） 说明：本题也可用判别式 直接证明无实数根。但反证法训练重点是“至多”的否定“至少有两个”的正确反设，以及归谬过程中利用韦达定理推出矛盾，完整呈现反证法三步流程。 学科网（北京）股份有限公司 $