1.2.3 反证法“四基”测试题-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

《第 1 章 集合与逻辑》【1.2.3 反证法】 一、选择题（每小题6分，共12分） 1、用反证法证明“已知 ，求证： ”时，应假设（ ） A． B． C． 且 D． 或 【提示】根据反证法证明数学命题的方法，应先要对命题结论进行否定； 【答案】D 【解析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而 的否定为“ 不都为零”，故选D； 【说明】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题； 【考点】反证法；与集合运算中的“ ”进行了交汇； 2、十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数 时，关于 的方程 没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁 怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ） A．存在至少一组正整数组 使方程 有解 B．关于 的方程 有正有理数解 C．关于 的方程 没有正有理数解 D．当整数 时，关于 的方程 没有正实数解 【提示】由于B，C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.利用反证法，先假设有正有理数解，然后推出跟题目所给费马大定理矛盾，由此得出方程没有正有理数解； 【答案】C； 【解析】由于B，C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于 的方程 有正有理数解，故 可写成整数比值的形式，不妨设 ，其中 为互质的正整数， 为互质的正整数.代入方程得 ，两边乘以 得 ，由于 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于 的方程 没有正有理数解.故选C. 【说明】本小题主要考查对新概念的理解和运用，考查了反证法证明命题成立，考查了有理数的概念与性质；有理数是有限小数或者无限循环小数，另一种说法是有理数是可比数，即可以写成两个整数比值的数.根据有理数的性质，利用反证法，推出和费马大定理矛盾的结果，由此得出正确选项；属于难题； 【考点】反证法；与有理数、数学推论、数学文化进行了交汇； 二、填充题（每小题10分，共60分） 3、用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其“假设”为 【答案】a，b不全为0； 【解析】“a，b全为0”即“a=0且b=0”，因此它的反面应为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0； 【考点】反证法；与集合的补集知识进行了交汇； 4、著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于 的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ． 【提示】借助集合中的补集知识入手可解； 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【解析】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【说明】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题； 【考点】反证法；与集合的补集知识进行了交汇； 5、已知a、 ，用反证法证明命题：“若 ，则a、b全为零”时的假设是______． 【提示】由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设； 【答案】“若 ，a不为零或b不为零”； 【详解】命题“若 ，则a、b全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若 ，则a不为零或b不为零”，故答案为：a不为零或b不为零. 【说明】本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题； 【考点】反证法；与集合的补集知识进行了交汇； 6、甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测： 甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名． 若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________． 【答案】乙 【解析】若甲的预测准确，则甲不是第三名；乙不是第三名；丙是第一名． 很明显前两个预测说明丙是第三名，后一个预测说明丙是第一名，矛盾，则假设不成立. 若乙的预测准确，则： 甲是第三名；乙是第三名；丙是第一名． 很明显前两个预测矛盾，则假设不成立. 若丙的预测准确，则： 甲是第三名；乙不是第三名；丙是第一名． 推理得甲是第三名；乙是第二名；丙是第一名． 综上可得，获得第一名的是乙. 【考点】反证法；与逻辑推理知识进行了交汇； 7、“已知:在△ABC中，AB=AC，求证:∠B<90°”；下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： ①所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥