探索规律（一）（同步练习）-2026-2027学年数学六年级上册北师大版

**基本信息** 聚焦探索规律，通过基础识别、符号表达、综合应用三层设计，培养抽象能力与推理意识，适配新授课从具体到抽象的认知路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一图形规律识别|填空题1通过点数变化培养几何直观，判断题15强化图形与数量对应| |中档|用字母表示规律|填空题4推导棋子数量表达式，选择题9辨析图形规律的符号表征| |提升|综合情境规律应用|解答题20结合方程解决方桌拼接问题，解答题21融合黑白瓷砖数量关系的多维度探究|

专项提升训练：探索规律（一） 一、填空题 1．“数缺形时少直观，形少数时难入微”。观察下面每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第6幅图的点数是( )个。 2．如图是玲玲用小棒和纽扣摆的图案。照这样摆下去，第6幅图共需要( )颗纽扣，摆n幅图共需要( )颗纽扣。 3．剪纸是中国民间传统装饰艺术，有着数千年的历史。“非遗文化进校园”活动中，剪纸艺人李师傅带着学生们体验正方形纸片拼剪创作。李师傅将正方形纸片按规律拼成如下的图案，那么，第( )个图案中恰巧有365个正方形纸片。你发现它的规律可以用字母表示为( )。 4．如图，第1个方框里有1枚棋子，第2个方框里有5枚棋子，第3个方框里有9枚棋子，第4个方框里有13枚棋子，……，按照这样的规律，第m个方框里有( )枚棋子。（用含m的式子表示） 5．用白色和黑色的小正方形按照右面的方法摆图形。第15个图形中，黑色小正方形有( )个；当一个图形中有33个黑色小正方形时，白色小正方形有( )个。 6．同学们用正方形搭建“高塔”模型，按照下图的方式，第10行需要( )个小正方形，第( )行需要29个小正方形。 7． (1)照这样的规律摆下去，第⑧个图形一共有( )个圆点；第个图形一共有( )个圆点。 (2)一共有99个圆点，对应第( )个图形。 8．如图用小棒摆图形，如果摆100个这样的图形，需要( )根小棒，如果摆n个这样的图形，需要( )根小棒。 二、选择题 9．小军用小正方形卡纸摆图形（如下图），照这样摆下去，摆第n个图形要用（    ）个小正方形。 A．8n B．9n C．2n＋6 D．10n－9 10．古希腊毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”；而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看成两个相邻“三角形数”之和。下面的等式中，符合这一规律的是（    ）。 4＝1＋3          9＝3＋6            16＝6＋10 A．13＝3＋10 B．25＝19＋6 C．49＝18＋31 D．36＝15＋21 11．如图，用火柴棒搭图形，搭图1需要7根火柴棒，搭图2需要12根火柴棒，搭图3需要17根火柴棒…，按照这样的规律继续搭下去，搭图206需要（    ）根火柴棒。 A．1028 B．1030 C．1032 D．1034 12．如图，用同样的小棒摆三角形，像这样摆10个同样的三角形需要（    ）根小棒。 A．30 B．23 C．21 D．20 13．古希腊数学家毕达哥拉斯将1，3，6，10…这样的数称为三角形数，这些数可以用下面的点阵图来表示，照这样第7个三角形数是（    ）。 A．15 B．21 C．28 D．36 三、判断题 14．。( ) 15．按下面的方式摆花，图形⑩要用27盆花。( ) 16．可以简写成。( ) 17．如果，那么一定等于2。( ) 18．、、、、、…按规律排下去，第13个数应是。( ) 四、作图题 19．下面应画多少个桃？ 五、解答题 20．一张方桌可以坐8人，两张方桌拼在一起可以坐12人。如果有60人，需要多少张方桌拼成一排，才能刚好坐下？（列方程解答） 21．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 22．乐乐做数学实验，他用96厘米长的绳子分别围出1个、2个、3个…正方形，如图。 (1)观察如图并填表。 正方形的个数 1 2 3 4 … n 边长/cm 24 12 8 … —— 顶点数/个 4 7 … (2)观察如表可知，正方形的个数和边长成( )比例。 (3)照这样围下去，当围成的图形共有100个顶点时，共摆了( )个正方形。 23．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … (1)当梯形的个数为10个时，图形的周长是( )。 (2)当图形的周长为82时，梯形的个数是( )个。 24．用50根火柴棒摆正方形。 方法一： 方法二： (1)按照方法一摆，最多能摆多少个正方形？还余几根火柴棒？ (2)按照方法二摆，最多能摆多少个正方形？还余几根火柴棒？ (3)如果按照方法二摆20个正方形，需要增加多少根火柴棒才够用？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专项提升训练：探索规律（一）-2026-2027学年数学六年级上册（北师大版-新教材）》参考答案 题号 9 10 11 12 13 答案 C D C C C 1．16 【分析】观察第一幅图有1个点，可以写成（1＋3×0）；第二幅图有（1＋3＝4）个点，可以写成（1＋3×1）；第三幅图有（1＋3＋3＝7）个点，可以写成（1＋3×2）；第四幅图有（1＋3＋3＋3＝10）个点，可以写成（1＋3×3）……按照每幅图中点数的变化规律可知，第5幅图的点数是（1＋3＋3＋3＋3）个，写成（1＋3×4）；第6幅图的点数是（1＋3＋3＋3＋3＋3）个，写成（1＋3×5）；据此解答。 【详解】第一幅图：1＋3×0 ＝1＋0 ＝1（个） 第二幅图：1＋3×（2－1） ＝1＋3×1 ＝1＋3 ＝4（个） 第三幅图：1＋3×（3－1） ＝1＋3×2 ＝1＋6 ＝7（个） 第5幅图：1＋3×（5－1） ＝1＋3×4 ＝1＋12 ＝13（个） 第6幅图：1＋3×（6－1） ＝1＋3×5 ＝1＋15 ＝16（个） 2． 26 4n＋2 【分析】由图可知： 第1幅图需要6颗纽扣，可表示为：6＝4×1＋2； 第2幅图需要10颗纽扣，可表示为：10＝4×2＋2； 第3幅图需要14颗纽扣，可表示为：14＝4×3＋2； …… 由此可得规律第n幅图需要纽扣：4×n＋2＝（4n＋2）颗。 【详解】根据分析： 第6幅需要纽扣： 4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（颗） 第n幅图需要纽扣：（4n＋2）颗。 3． 91 4n＋1 【分析】第1个图有5个正方形纸片，第2个图有9个正方形纸片，第3个图有13个正方形纸片，由此可知，后一个图比前一个图多4个正方形纸片。 第1个图有5个正方形纸片，可以写成：4×1＋1； 第2个图有9个正方形纸片，可以写成：4×2＋1； 第3个图有13个正方形纸片，可以写成：4×3＋1； …… 第n个图有正方形纸片（4n＋1）个；当正方形纸片有365个，求第几个图，即365＝4n＋1 n＝（365－1）÷4，据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个图有（4n＋1）个。 （365－1）÷4 ＝364÷4 ＝91（个） 4．－3 【分析】如下图：第1个方框里有1枚棋子，第2个方框里有5＝1＋4×1枚棋子，第3个方框里有9＝1＋4×2枚棋子，第4个方框里有13＝1＋4×3枚棋子，……，按照这样的规律，每增加一个图形，棋子的枚数增加4。据此解答。 【详解】1＋4（m－1） ＝1＋4m－4 ＝（4m－3）枚 按照这样的规律，第m个方框里有（4m－3）枚棋子。 5． 61 256 【分析】（1）观察前3个图形的黑色小正方形数量，因为数量随图形序号递增呈现固定规律，所以推导第个图形黑色小正方形数量的公式。 （2）要求第15个图形的黑色小正方形数量，所以将代入黑色小正方形数量的公式计算。 （3）从图中信息可知：第一个图形白色小正方形的个数：1×1×4个；第二个图形白色小正方形的个数：2×2×4个，第三个图形白色小正方形的个数：3×3×4个……，得出第n个图形中白色小正方形的个数公式；一个图形中有33个黑色小正方形时，白色小正方形有多少，得先求得这是第几个图形，再根据白色小正方形个数的规律，求得这个图形一共多少个白色小正方形， 【详解】（1）导第个图形黑色小正方形数量的公式。 第一个图形：5＋4×0（个）（0＝1－1） 第二个图形：5＋4×1（个）（1＝2－1） 第三个图形：5＋4×2（个）（2＝3－1） …… 第n个图形： 5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝4n＋1 （2）要求第15个图形的黑色小正方形数量： 4×15＋1 ＝60＋1 ＝61（个） （3）求有33个黑色小正方形数量的图形中白色的小正方形的个数： 从所给的图形可得： 第一个图形白色小正方形的个数：1×1×4 第二个图形白色小正方形的个数：2×2×4 第三个图形白色小正方形的个数：3×3×4 …… 第n个图形白色小正方形的个数：n×n×4 求有33个图形的黑色小正方形的图形是第几个图形： 4n＋1＝33 4n＋1－1＝33－1 4n＝32 4n÷4＝32÷4 n＝8 白色的小正方形的个数： 8×8×4 ＝64×4 ＝256（个） 所以；有33个图形的黑色小正方形数量的图形中白色的小正方形有256个。 6． 19 15 【分析】观察图形可知，第1行需要1个小正方形，即2×1－1＝1 第2行需要3个小正方形，即2×2－1＝3 第3行需要5个小正方形，即2×3－1＝5 …… 第10行需要（2×10－1）个小正方形 …… 第n行需要（2n－1）个小正方形 求第几行需要29个小正方形，此时2n－1＝29，方程两边同时加上1，两边再同时除以2即可求解。 【详解】2×10－1 ＝20－1 ＝19（个） 2n－1＝29 解：2n－1＋1＝29＋1 2n＝30 2n÷2＝30÷2 n＝15 第10行需要19个小正方形，第15行需要29个小正方形。 7．(1) 15 2n－1 (2)50 【分析】（1）由图可知，第①个图形有1个圆点；第②个图形有（1＋2）个圆点；第③个图形有（2＋3）个圆点；第④个图形有（3＋4）个圆点；第⑤个图形有（4＋5）个圆点；……第n个图形有[（n－1）＋n]个圆点。 （2）一共有99个圆点，即当2n－1＝99时，求出n的值即可。 【详解】（1）根据规律，第⑧个图形一共有7＋8＝15个圆点，第n个图形有[（n－1）＋n]＝（2n－1）个圆点。 （2）2n－1＝99 2n－1＋1＝99＋1 2n＝100 2n÷2＝100÷2 n＝50 8． 501 （5n＋1）/（1＋5n） 【分析】摆1个图形时用了6根小棒；摆2个图形时2个图形共用1条边，所以用了6＋5＝11根小棒；摆3个图形时3个图形共用2条边，所以用了6＋5×2＝16根小棒。规律是每增加1个图形，就增加5根小棒，据此解答。 【详解】摆1个图形：6根 摆2个图形：6＋5＝11（根） 摆3个图形：6＋5×2 ＝6＋10 ＝16（根） 摆100个图形：6＋5×（100－1） ＝6＋5×99 ＝6＋495 ＝501（根） 摆n个图形： 6＋5（n－1） ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 所以，摆100个这样的图形需要501根小棒，摆n个图形需要（5n＋1）根小棒。 9．C 【分析】观察图形可知，第1个有8个小正方形，第2个有10个小正方形，第3个有12个小正方形，后一个比前一个图增加2个小正方形，据此规律解答。 【详解】观察图形可知， 第1个有8个小正方形，8＝6＋2×1 第2个有10个小正方形，10＝6＋2×2 第3个有12个小正方形，12＝6＋2×3 第n个图形有（2n＋6）个正方形。 10．D 【分析】三角形数的规律是：1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21… ​正方形数的规律是：1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9，4×4＝16，5×5＝25，6×6＝36… 【详解】A．13不是正方形数，该选项错误。 ​B．25是正方形数（5×5＝25），但19不是三角形数，该选项错误。 C．49是正方形数，但18和31都不是三角形数，该选项错误。 D．36是正方形数（6×6＝36），15和21是相邻的三角形数，而且15＋21＝36，完全符合规律。该选项正确。 11．C 【分析】根据题意，搭图1需要7根火柴棒，搭图2需要12根火柴棒，搭图3需要17根火柴棒⋯。那么相邻的两个图，后一个图需要的火柴棒比前一个图多5根。如果把每个图最上面的2根火柴棒看作特殊的，那么7＝5×1＋2，12＝5×2＋2，17＝5×3＋2，n图需要的火柴棒是（5n＋2）根。 【详解】搭图206需要：206×5＋2 ＝1030＋2 ＝1032（根） 搭图206需要1032根火柴棒。 12．C 【分析】一个三角形用2×1＋1＝3（根） 两个三角形用2×2＋1＝5（根） 三个三角形用2×3＋1＝7（根） 四个三角形用2×4＋1＝9（根） …… 摆n个三角形用（2n＋1）根小棒。把n＝10代入2n＋1，即可求出第10个三角形摆的小棒数。 【详解】n个三角形用（2n＋1）根。 当n＝10时 2n＋1 ＝2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 第10个三角形摆的小棒是21根。 13．C 【分析】根据题意可知： 第一个三角数：1，1＝1 第二个三角数：3＝1＋2；可以写成：（1＋2）×2÷2 第三个三角数：6＝1＋2＋3；可以写成：（1＋3）×3÷2 第四个三角数：10＝1＋2＋3＋4；可以写成：（1＋4）×4÷2 …… 第n个三角数，可以写成：（1＋n）×n÷2，据此求出第7个三角数。 【详解】（7＋1）×7÷2 ＝8×7÷2 ＝28（个） 照这样第7个三角形数是28个。 14．√ 【分析】该等式涉及分数的连续减法的运算，通过逐步计算找到规律，即从1开始依次减去 、、、、…、，每一步减完后，剩下的数都和“刚减去的那个数”相等。 【详解】逐步计算可知： 每一步减完后，剩下的数都和“刚减去的那个数”相等，因此，原计算正确。 故答案为：√ 【点睛】根据分数减法的计算规则：异分母分数相减，先通分再计算。观察前几步计算结果，归纳出“减后结果＝最后一个减数”的规律，直接得出答案。 15．× 【分析】根据图示，摆第1个图形需要3盆花；摆第2个图形需要（盆）花；摆第3个图形需要（盆）花；摆第4个图形需要（盆）花；规律是后一次图形比前一个图形多3盆花，也就是摆第n个图形需要的花数是，代入数据即可求出摆第10个图形需要多少盆花。 【详解】 （盆） 所以图形⑩要用30盆花，原题表达错误。 故答案为：× 16． √ 【分析】数字与字母相乘时，乘号可以省略，需把数字写在字母前面。 【详解】可以简写成。 故答案为：√ 17． × 【分析】表示个相加，即，表示2个相乘，即，代入不同数值验证即可判断正误。 【详解】因为， 所以， 若，等式两边同时除以，可得：，得； 若：左边，右边，此时成立， 说明可以是0，不是一定等于2，本题说法错误。 故答案为：× 18．√ 【分析】观察数列的分子和分母发现：分子交替为2和1，奇数项分子为2，偶数项为1；分母的奇数项的数列为5，15，25……相邻两个数相差10，偶数项的数列为5，10，15……相邻两个数相差5，进而找到规律。第13个数为奇数项，按规律求解。 【详解】分子的规律： 奇数项：分子为2； 偶数项：分子为1； 第13个数为奇数项，所以分子为2； 分母的规律： 奇数项： 第1项：5＝5×1 第2项：15＝5×3 第3项：25＝5×5 …… 第n个奇数项的分母为5（2n－1）。 偶数项： 第1项：5＝5×1 第2项：10＝5×2 第3项：15＝5×3 …… 第m个偶数项的分母为5m。 第13个数为奇数项，原数列是第13个数，奇数项排在第7项，对应n＝7，所以分母为： 5（2n－1） ＝5×（2×7－1） ＝5×（14－1） ＝5×13 ＝65 综上所述，第13个数应是。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】关键是找出这组分数排列的规律，分别从奇数项、偶数项找出分子、分母的规律，按规律解答。 19． 【分析】通过观察前面三个方框内桃子的数量，可以找出排列的变化规律：第一个方框有2个桃，第二个方框有4个桃，第三个方框有6个桃，后一个方框桃子的数量总比前一个方框多2个，依据这个递增规律就能够推算出后续两个方框需要画出的桃子数目。 【详解】先依次统计已有桃子数量：第1格：2个，第2格：4个，第3格：6个； 计算相邻差值：，，规律为每次增加2个桃子； 推算第四格桃子数：（个）； 推算第五格桃子数：（个）； 因此第四个方框画8个桃，第五个方框画10个桃，排布样式参照前面方框两行摆放的格式进行绘制即可。 20． 14张 【分析】分析方桌拼接后可坐人数的规律：因为每多拼1张方桌增加4个座位，且拼接后左右两端始终固定有4个座位，从图中信息可知除了两端的4人，每桌可坐4人，所以假设需张方桌，则有关系式：＝60，依此关系列方程求解x，即可求得所需的方桌数。 【详解】解：设需张方桌可坐下60人，列方程： 答：需要14张方桌拼成一排，才能刚好坐下60人。 21．(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 22．(1)见详解 (2)反 (3)33 【分析】（1）正方形的边长与正方形的个数的乘积为24，所有正方形的顶点总数每次增加3个，据此可得答案； （2）利用（1）中所得规律，乘积一定是反比例，比值一定是正比例； （3）每增加一个正方形，顶点数就增加3个，即每增加一个正方形，顶点的个数＝正方形的个数×3＋1得到，由此即可求出一共摆了多少个正方形。 【详解】（1） 正方形的个数 1 2 3 4 … n 边长/cm 24 12 8 6 … —— 顶点数/个 4 7 10 13 … n×3＋1 （2）1×24＝2×12＝3×8＝4×6… 乘积一定，所以正方形的个数和边长成反比例。 （3）当围成的图形共有100个顶点时， 正方形个数有： 3n＋1＝100 3n＋1－1＝100－1 3n＝99 3n÷3＝99÷3 n＝33 23．(1)46 (2)19 【分析】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加4。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。 【详解】（1）根据图形及表格可知： 当梯形个数为1时，周长为10，10＝1×4＋6； 当梯形个数为2时，周长为14，14＝2×4＋6； 当梯形个数为3时，周长为18，18＝3×4＋6； 当梯形个数为4时，周长为22，22＝4×4＋6； 当梯形个数为5时，周长为26，26＝5×4＋6； …… 由此可知，当梯形个数为n时，周长为n×4＋6＝4n＋6。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 4×10＋6 ＝40＋6 ＝46 （2）当图形的周长为82时，即： 4n＋6＝82 解：4n＝82－6 4n＝76 n＝76÷4 n＝19 因此，当图形的周长为82时，梯形的个数是19个。 24．(1)12个；2根； (2)16个；1根； (3)11根 【分析】由题可知，方法一：独立摆正方形，每个正方形需要4根火柴棒，互不共用边；方法二：连续摆正方形，摆1个正方形用（1＋3）根，摆2个正方形用（1＋3×2）根，摆3个正方形用（1＋3×3）根……因此，每摆1个正方形，只需要新增3根，即火柴棒的数量＝1＋3×正方形个数； （1）求50根火柴棒，按照方法一摆，能摆多少个正方形，就是求50里包含多少个4，用除法计算，余数就是剩余的火柴棒； （2）求50根火柴棒，按照方法二摆，能摆多少个正方形，先减去共用的第一根火柴棒，得50－1＝49（根），再求49里包含多少个3，用除法计算，余数就是剩余的火柴棒； （3）先求出按照方法二摆20个正方形需要的火柴棒数量，已知目前有50根，用20个正方形所需火柴棒减去50即可求出需要增加的火柴棒根数。 【详解】（1）50÷4＝12（个）……2（根） 答：最多能摆12个正方形；还余2根火柴棒。 （2）50－1＝49（根） 49÷3＝16（个）……1（根） 答：最多能摆16个正方形；还余1根火柴棒。 （3）1＋3×20 ＝1＋60 ＝61（根） 61－50＝11（根） 答：需要增加11根火柴棒才够用。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $