3.1-3.3（同步练习）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

**基本信息** 小学数学第三单元“用字母表示（二）”同步练，以“基础应用—综合拓展—规律探索”三级分层设计，强化符号意识与模型思想，构建从具体到抽象的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|用字母表示简单数量关系|结合植树、工程队情境，通过表格填写、关系式书写巩固符号意识| |综合拓展|多变量关系与实际应用|设置行程问题、加工部件等复杂情境，培养模型意识与运算能力| |规律探索|图形与数量规律推导|以六边形摆小棒、长桌宴等为例，发展推理意识与创新思维|

第三单元 用字母表示(二) 1 用字母表示数量关系 学科网（北京）股份有限公司 1.植树节到了，六年级 4个班开展亲子踏青活动，学生每人植树 2棵，家长每人植树 4棵。 (1)将表格填写完整。 班级 学生人数 家长人数 植树棵数 1 班 42 70 2 班 a 65 3 班 39 b (2)写出植树棵数和学生人数、家长人数之间的关系。 (3)4班有c名学生和d名家长参加活动，一共植树( )棵。 2. 甲、乙两个工程队分别从一条隧道的两端相向开凿，甲队每天开凿 am，乙队每天开凿 bm。 (1)两队同时开工，5天后甲队开凿( )m，乙队开凿( )m，两个工程队一共开凿( )m。 (2)甲队比乙队早开工5天，则甲队开工10天后,甲队开凿( )m,乙队开凿( )m,两个工程队一共开凿( )m。 (3)隧道总长度为2k m，两队同时开工，完工一共需要( )天。 (4)两队同时开工，若a>b，则( )天后甲队比乙队多开凿100m。 3.淘气家和学校相距 840 m，弟弟和淘气分别从学校和家同时出发，淘气步行的速度为a米/分，弟弟步行的速度为b米/分。 (1)出发3分钟后，两人仍未相遇，此时两人相距( )m。 (2)出发( )分钟后，两人恰好相遇。 (3)出发8分钟后，两人已经相遇并继续向前走了一段，此时两人相距( )m。 4. 已知每个工人每天可以加工甲种部件a个，或乙种部件b个，或丙种部件c个。 (1)如果安排15人加工甲种部件、12人加工乙种部件、9人加工丙种部件，一天一共能加工( )个部件。 (2)如果每种部件都安排5人加工，生产3种部件共540个需要( )天。 5.小华和小军玩“石头、剪刀、布”的游戏，他们规定：每局获胜一方得 5分，输的一方扣 1分，若平局则双方各得 2分。玩了若干局后，小华获胜a局，平局b局，输了c局。 (1)两人得分分别是多少? (2)什么情况下两人得分相同?(用字母表示) (3)两人得到的总分是( )。 6.纸盒中有三种球，分别标有数字3，5或7，星星从中摸出10个球，其中标有数字3的球有a个，标有数字5的球有b个，这10个球上的数的和是52，最多摸到了( )个标有数字3的球。 学科网（北京）股份有限公司 2 探索规律(一) 学科网（北京）股份有限公司 1.按如下方式摆六边形，需要多少根小棒? (1)奇思按照下表计算，在上图中用你喜欢的方式表示出他的算法。 六边形个数 1 2 3 4 小棒根数 6 6+5 6+5×2 6+5×3 (2)妙想计算摆n个六边形需要小棒的根数为1+6(n-1)，她算得对吗?用下图说明理由。 (3)摆15个六边形需要多少根小棒? (4)106根小棒可以摆出多少个六边形? 2.观察规律，画出下一个图形，并填空。 第n个图形中的圆片数量为( )。 第n个图形中的圆片数量为( )。 3.想一想，摆一摆，填一填。 (1)第5个立体图形有( )个小正方体，露在外面的面有( )个。 (2)第n个立体图形有( )个小正方体，露在外面的面有( )个。 (3)淘气说：“照这样摆下去，有一个立体图形有102个面露在外面。”他说得对吗? (4)照这样摆下去，某个立体图形露在外面的面有200个，这个立体图形由多少个小正方体组成? 4. 小可和小乐用不同的方法搭正方形，搭n个正方形，小可要比小乐多用( )根小棒。 5.用两种方块按照下面的规律拼图，第n 幅图中涂色方块有( )个，白色方块有( )个，一共有方块( )个。 学科网（北京）股份有限公司 6.观察下面几幅图，画出下一个图形，然后根据你发现的规律计算，第n个图形中有多少个圆片?第 50个图形中有多少个圆片? 7.先观察，找出规律，再运用规律解决问题。 (1)如图，涂色部分有几个小正方形?填一填。 (2)如果大正方形每边有 10个小正方形，那么最外圈涂色的小正方形有( )个。 (3)如果大正方形每边有n个小正方形，那么最外圈涂色的小正方形有( )个。 (4)如果最外圈涂色的一共有96个小正方形，那么大正方形中一共有( )个小正方形。 8.下列排列有规律的图案都是由正方形和直径为1 cm的半圆构成的。根据图形的排列规律，推导出图n的周长(写出简单的推导过程)。 9.有一根弯曲的铁丝，按如图所示的方式剪开，观察规律并填写下表。 剪的次数 1 2 3 … 10 ··· a 分成的段数 4 ··· … 10.如图，每个圆柱底面圆的直径都是8cm，捆一定数量的圆柱所用绳子的长度与圆柱的个数、底面圆的周长和直径有什么关系? 序号 ① ② ③ ··· 图形 ··· 圆柱个数 1 3 6 … 绳子长度/ cm 8π 8π+8×3 8π+8×6 … (1)若按此规律继续摆，图④中有( )个圆柱，图⑨中有( )个圆柱，图中有( )个圆柱。 (2)若按此规律继续摆，图⑤中绳子长度是( )cm,图 中绳子长度是( ) cm。 11.数形结合按照字母表顺序不断写下去(写完Z 后回到A)，第5 幅图中最后一个字母是( )，第10 幅图中最后一个字母是( )，第n幅图中一共写了( )个字母。 学科网（北京）股份有限公司 3 探 索 规 律 (二) 学科网（北京）股份有限公司 1.长桌宴是中国少数民族的一种极具特色的宴席形式，是以长条桌拼接而成的，每张长条桌可坐 10人，有两种不同摆法(如下图)。 (1)数一数，填一填。 桌子数 ①的人数 ②的人数 2 3 4 10 (2)n张桌子按①摆可以坐m人，按②摆可以坐k人，分别写出m和n、k和n之间的关系。 (3)如果长桌宴一共要坐202人，那么按两种摆法分别需要多少张桌子? 2.如图是一个运算程序的流程图。 (1)当输入的数是29时，输出的数是( )；当输出的数是102时，输入的数是( )。 (2)奇思和妙想都认为这个程序可以简化，他们分别设计了一个不同的两步运算程序，将程序补充完整，并用含有字母的式子表示。 3.抢险救灾时，为了在固定的地方尽可能多地搭建帐篷，一般按如图的方式串起来搭建。 (1)搭建n顶帐篷需要( )根钢管。 (2)300 根钢管最多可以搭建多少顶帐篷? 4.有一种长方形桌子，按某个方向拼起来能坐的人数m与桌子数n的关系是m=6n+2，请画出将 2张桌子拼起来的示意图，并写出按另一种方向拼起来能坐的人数b与桌子数n的关系。 5.如果程序判断了 3 次是否大于 95 才停止，那么最开始输入的数的取值范围是多少? 第三单元 用字母表示(二) 1 用字母表示数量关系 1.(1)364 2a+260 78+4b (2)植树棵数=2×学生人数+4×家长人数 (3)2c+4d 2.(1)5a 5b 5a+5b (2)10a 5b 10a+5b 3.(1)840-3a-3b (3)8a+8b-840 4.(1)15a+12b+9c 5.(1)小华得了(5a+2b-c)分,小军得了(5c+2b-a)分。 提示：小华获胜的局数等于小军输的局数，小华输的局数等于小军获胜的局数，两人平局局数相同。 (2)当a=c时，两人得分相同。 提示:根据题意,5a+2b-c=5c+2b-a,利用等式的性质化简可得a=c。 (3)4(a+b+c) 提示：无论胜负平，每进行一局双方得分之和就增加4分，一共进行了(a+b+c)局，故两人得到的总分是4(a+b+c)分。 6.4 提示：假设10个球都标有数字7，则球上的数之和是70，实际上有a个球多算了4，b个球多算了2，故实际上的和为70-4a-2b。若10 个球上数的和是52,则4a+2b=18,所以a最大能取到4,即最多摸到4个标有数字3的球。 2 探 索 规 律(一) 1.(1) (合理即可) (2)不对,由图可知,应该是1+5n。 (3)1+5×15=76(根) (4)106=1+5n 105=5n n=212. (1)13 17 4n-3 (2)12 20 30 n(n+1) 3. (1)10 24 (2)2n 4n+4 (3)他说得不对，如果存在这样的立体图形，则4n+4=102,4n=98,n=24.5,因为n必须是整数,所以不存在。 (4)4n+4=200 n=49 2n=98 答：这个立体图形由 98个小正方体组成。 4. n-1 5.2+2n 2+3n 4+5n 6. 1+(n+1)×n 1+(50+1)×50=2551(个) 7. (1)4 8 16 (2)36 (3)4(n-1) (4)625 8.图①的周长是2个直径为1 cm的圆的周长之和，图②的周长是3个直径为1 cm 的圆的周长之和，图③的周长是4个直径为1 cm 的圆的周长之和，所以图n 的周长是(n+1)个直径为1 cm的圆的周长之和,是(n+1)×3.14×1=3.14(n+1)(cm)。 9.7 10 31 3a+1 提示：因为铁丝弯曲成三折，所以每次剪都会剪断3处，每剪断一处就会增加一段，故每剪一次增加3段,剪a次一共有(3a+1)段。 10.(1)10 45 提示：根据规律，图④中圆柱的个数是1+2+3+4=10,图⑨中圆柱的个数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,图 ⑪ 中圆柱的个数是 1+2+3+…+ (2)8π+8×12 8π+8×3(n-1) 提示：图⑤中，3条曲线部分合起来是一个圆的周长,3条直线部分合起来是(5-1)×3=12(个) 直径的长度,绳子长度是(8π+8×12) cm。图 ①中，绳子长度为 1 个圆的周长再加上[(n-1)×3]个直径的长度,即[8π+8×3(n-1)] cm。 11. U M 提示：观察题图可以发现，这些字母是按照正方形的形状螺旋排列，第1幅图是1行1列的正方形，第2幅图差1个字母是2行2列的正方形，第3幅图差2个字母是3行3列的正方形，第4幅图差3个字母是4行4列的正方形，据此可以发现规律：第n幅图差(n-1)个字母是n行n列的正方形，因此第 n 幅图中的字母数量为 (n-1),即有( )个字母。第5幅图一共有21个字母，故最后一个字母是 U；第10幅图一共有91个字母,91÷26=3……13,故最后一个字母是M。 3 探 索 规 律(二) 1. (1)①的人数:16 22 28 64 ②的人数:14 18 22 46 (2)(合理即可)m=6n+4 k=4n+6 (3)按①摆:202=6n+4 198=6n 33=n 按②摆:202=4n+6 196=4n 49=n 2. (1)108 27 (2)×3 +21 3a+21 +7 ×3 3(a+7) 3. (1)11n+6 (2)11n+6=300 答：300 根钢管最多可以搭建26顶帐篷。 4. b=2n+6 提示：根据6n 可知，每增加一张桌子就能多坐6个人，所以一张桌子前后两长边能坐6个人，则一边能坐3个人；根据2可知，一张桌子左右两短边能坐2个人，则一边能坐1个人。按另一种方向拼起来，则横向能坐2n人，纵向能坐6人，故b=2n+6。 5.2x+1=95 x=47 2x+1=47 x=23 2x+1=23 x=11 答：最开始输入的数的取值范围是大于11 且不大于23。 提示：先判断输入的x有多大才能停止，通过2x+1=95可以得到临界条件为x=47，即只有比47大才能停止，所以第2次运算的结果应该大于47且不大于95，若太小则第3次循环的结果也无法大于95，若太大则不需要进入第3次循环。通过2x+1=47可以得到临界条件为x=23，故第2次开始时输入的数应该大于23且不大于47，即第1次运算的结果应该大于23 且不大于 47，通过 2x+1=23可以得到临界条件为x=11，所以第1次输入的数应该大于11且不大于23。 学科网（北京）股份有限公司 $