2.1.1　等式的性质与方程的解集课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式的性质与方程的解集，通过狐狸与老虎的卡通情境导入，以错误等式变形引发思考，进而系统梳理等式性质、恒等式及方程解集知识，结合典型例题构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于情境生动且融入卡通插图，激发学习兴趣，例题解析强调通性通法，如因式分解步骤、方程求解规范，培养数学抽象与数学运算素养。自我诊断和跟踪训练促进主动思考，助力学生夯实基础，教师可借此提升教学效率。

2.1.1　 等式的性质与方程的解集 新课程标准解读 核心素养 掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法 解一元二次方程 数学抽象、数学 运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎， 狐狸说：“我发现了2和5可以相等.我这里有一个方程5 x －2＝2 x －2. 等式两边同时加上2，得5 x －2＋2＝2 x －2＋2，即5 x ＝2 x ，等式两边 同时除以 x ，得5＝2”.老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑. 目录 数学·必修第一册（B版） 【问题】　你认为狐狸的说法正确吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（B版） 知识点　等式的性质与方程的解 1. 等式的性质 （1）等式的两边同时加上 数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个 的数或代数式，等式 仍成立. 提醒　等式的性质拓展：① a1＝ a2， a2＝ a3， a3＝ a4⇒ a1＝ a2 ＝ a3＝ a4；② a ＝ b ⇒ c － a ＝ c － b ；③ a ＝ b ⇒－ a ＝－ b ； ④ a ＝ b ≠0⇒ ＝ . 同一个　 不为零　 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取 ⁠时等式 都成立，则称其为恒等式，也称等式 ⁠. 提醒　常用重要恒等式：① a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）；②（ a ± b ）2＝ a2±2 ab ＋ b2；③ a3± b3＝（ a ± b ）（ a2∓ ab ＋ b2）；④ （ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ＋2 ac ＋2 bc . 3. 方程的解集 一般地，把一个方程 组成的集合称为这个方程的解集. 任意实数　 两边恒等　 所有解　 目录 数学·必修第一册（B版） 【想一想】 1. 若 ac ＝ bc ，一定有 a ＝ b 吗？ 提示：不一定，当 c ≠0时，若 ac ＝ bc ，则 a ＝ b . 2. 把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解 （根）吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的 根，也可能是这个方程的增根. 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 已知3 x ＝7 y （ y ≠0），则下列比例式成立的是（　　） 解析：　因为3 x ＝7 y （ y ≠0），则 x ≠0，则 ＝ ＝ ，故B 选项正确，A、C、D选项错误.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 若 m （3 x － y2）＝9 x2－ y4，则 m ＝ ⁠. 3. 方程 x2＋2 x －15＝0的解集为 ⁠. 解析： x2＋2 x －15＝0， 即（ x －3）（ x ＋5）＝0， 所以 x ＝3或 x ＝－5. 所以方程的解集为{3，－5}. 3 x ＋ y2　 {3，－5} 目录 数学·必修第一册（B版） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 等式性质的应用 【例1】　已知 x ＝ y ， 则下列各式：① x －3＝ y －3；②4 x ＝6 y ；③ －2 x ＝－2 y ；④ ＝1；⑤ ＝ ；⑥ ＝ .其中正确的有 （　C　） A. ①②③ B. ④⑤⑥ C. ①③⑤ D. ②④⑥ 解析：　① x －3＝ y －3；③－2 x ＝－2 y ；⑤ ＝ 正确，故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘 以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的 条件. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（　　） A. 如果 a ＝ b ，那么 a ＋ c ＝ b － c B. 如果 a2＝6 a ，那么 a ＝6 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　选项A，当 c ≠0时，显然不成立； 选项B，如果 a2＝6 a ，那么 a ＝6或 a ＝0，显然不成立； 选项C，当 c ＝0时， ＝ 无意义，不成立； 选项D，如果 ＝ ，则 c ≠0，故 × c ＝ × c ，即 a ＝ b ，成立.故选D. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型二 恒等式的化简 角度1　利用恒等式化简 【例2】　计算下列各式： （1）（4＋ m ）（16－4 m ＋ m2）； （2）（ a ＋2）（ a －2）（ a4＋4 a2＋16）； 解：原式＝43＋ m3＝64＋ m3. 解：原式＝（ a2－4）（ a4＋4 a2＋16）＝（ a2）3－43＝ a6－64. 目录 数学·必修第一册（B版） （3）（ x ＋1）（ x －1）（ x2－ x ＋1）（ x2＋ x ＋1）； （4）（ x2＋2 xy ＋ y2）（ x2－ xy ＋ y2）2. 解：法一　原式＝（ x2－1）[（ x2＋1）2－ x2]＝（ x2－1）·（ x4＋ x2＋1）＝ x6－1. 法二　原式＝（ x ＋1）（ x2－ x ＋1）（ x －1）（ x2＋ x ＋1）＝（ x3＋1）·（ x3－1）＝ x6－1. 解：原式＝（ x ＋ y ）2（ x2－ xy ＋ y2）2＝[（ x ＋ y ）（ x2－ xy ＋ y2）]2＝（ x3＋ y3）2＝ x6＋2 x3 y3＋ y6. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 1. 在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公 式的结构. 2. 注意乘法公式的正用、逆用及变形应用. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　十字相乘法分解因式 【例3】　把下列各式因式分解： （1）6 x2＋11 x －7； 解：由十字相乘法，得： 所以6 x2＋11 x －7＝（2 x －1）（3 x ＋7）. （2） x ＋5 －6 y （ x ＞0， y ＞0）； 解：原式＝（ ＋6 － ）. （3）（ x ＋ y ）2－ z （ x ＋ y ）－6 z2. 解：原式＝（ x ＋ y ＋2 z ）（ x ＋ y －3 z ）. 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　对于 ax2＋ bx ＋ c ，将二次项的系数 a 分解成 a1× a2，常数项 c 分解 成 c1× c2，并且把 a1， a2， c1， c2排列如图： ，按斜线交叉相 乘，再相加，就得到 a1 c2＋ a2 c1，如果它正好等于 ax2＋ bx ＋ c 的一次 项系数 b ，那么 ax2＋ bx ＋ c 就可以分解成（ a1 x ＋ c1）（ a2 x ＋ c2）. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 计算下列各式： （1）（ x －3 y －4 z ）2； 解：原式＝ x2＋9 y2＋16 z2－6 xy －8 xz ＋24 yz . （2）（2 a ＋1－ b ）2－（ a － b ）（ a ＋2 b ）； 解：原式＝4 a2＋1＋ b2＋4 a －4 ab －2 b －（ a2＋ ab －2 b2）＝3 a2－5 ab ＋3 b2＋4 a －2 b ＋1. （3）（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）－（ a ＋ b ）3； 解：原式＝ a3＋ b3－（ a3＋3 a2 b ＋3 ab2＋ b3）＝－3 a2 b－3 ab2. 目录 数学·必修第一册（B版） （4）（ a －4 b ） . 解：原式＝ （ a －4 b ）（ a2＋4 ab ＋16 b2）＝ [ a3－（4 b ）3]＝ a3－16 b3. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 因式分解： x3＋6 x2＋11 x ＋6. 解：法一　 x3＋6 x2＋11 x ＋6 ＝（ x3＋3 x2）＋（3 x2＋9 x ）＋（2 x ＋6） ＝ x2（ x ＋3）＋3 x （ x ＋3）＋2（ x ＋3） ＝（ x ＋3）（ x2＋3 x ＋2） ＝（ x ＋3）（ x ＋1）（ x ＋2）. 目录 数学·必修第一册（B版） 法二　 x3＋6 x2＋11 x ＋6 ＝（ x3＋3 x2）＋（3 x2＋11 x ＋6）① ＝ x2（ x ＋3）＋（ x ＋3）（3 x ＋2） ＝（ x ＋3）（ x2＋3 x ＋2） ＝（ x ＋3）（ x ＋1）（ x ＋2）. ①可用十字相乘法分解因式 3×3＋2×1＝11. 目录 数学·必修第一册（B版） 题型三 求方程的解集 角度1　求一元一次方程的解集 【例4】　求下列方程的解集： （1）4－3（10－ y ）＝5 y ； 解：去括号，得4－30＋3 y ＝5 y . 移项，得3 y －5 y ＝30－4. 合并同类项，得－2 y ＝26. 系数化为1，得 y ＝－13. 所以该方程的解集为{－13}. 目录 数学·必修第一册（B版） （2） ＝ －1. 解：去分母，得2（2 x －1）＝（2 x ＋1）－6. 去括号，得4 x －2＝2 x ＋1－6. 移项，得4 x －2 x ＝1－6＋2. 合并同类项，得2 x ＝－3. 系数化为1，得 x ＝－ . 所以该方程的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 　　解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的 形式灵活安排求解步骤. （1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数.注意根据分数的 基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数； （2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数 及符号. 目录 数学·必修第一册（B版） 角度2　因式分解法解一元二次方程 【例5】　求下列方程的解集： （1） x （ x ＋2）＝2 x ＋4； 解：原方程可变形为 x （ x ＋2）＝2（ x ＋2），即 （ x －2）·（ x ＋2）＝0， 从而 x ＋2＝0或 x －2＝0，所以 x ＝－2或 x ＝2，方程的解集为 {－2，2}. 目录 数学·必修第一册（B版） （2）16（ x －5）2－9（ x ＋4）2＝0. 解：利用平方差，将原方程变为[4（ x －5）＋3（ x ＋4）]·[4（ x －5）－3（ x ＋4）]＝0， 整理可得（7 x －8）（ x －32）＝0，所以7 x －8＝0或 x －32＝ 0，所以 x ＝ 或 x ＝32， 故原方程的解集为 . 目录 数学·必修第一册（B版） 通性通法 因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的积； （3）令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解. 目录 数学·必修第一册（B版） 【跟踪训练】 1. 若 x ＝－2是关于 x 的一元二次方程 x2－ ax ＋ a2＝0的一个根，则 a 的值为（　　） A. 1或4 B. －1或－4 C. －1或4 D. 1或－4 解析：　∵ x ＝－2是关于 x 的一元二次方程 x2－ ax ＋ a2＝0的一 个根，∴4＋5 a ＋ a2＝0， ∴（ a ＋1）（ a ＋4）＝0， 解得 a ＝－1或 a ＝－4. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 关于 x 的方程 a2 x ＋1＝ b2－ x 的解集为 ⁠. 解析：由 a2 x ＋1＝ b2－ x ⇒（ a2＋1） x ＝ b2－1， 解得 x ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（B版） 1. 计算（3 a －2 b ）2的结果为（　　） A. 9 a2＋4 b2 B. 9 a2＋6 ab ＋4 b2 C. 9 a2－12 ab ＋4 b2 D. 9 a2－4 b2 解析：　由完全平方公式得，原式＝9 a2－12 ab ＋4 b2. 目录 数学·必修第一册（B版） 2. 方程 －1＝ 的解集为（　　） A. －1 B. {－1} C. 8 D. {8} 解析：　由题得3（3 x －1）－12＝2（5 x －7），所以9 x －15＝10 x －14，解得 x ＝－1.故选B. 目录 数学·必修第一册（B版） 3. 已知关于 x 的方程 ＝ ＋1的解集为∅，则实数 a 的值为（　　） A. 0 B. 1 解析：　由 ＝ ＋1，得 x ＝1，因为关于 x 的方程 ＝ ＋1的解集为∅，所以 － ＝0，得 a ＝ ，故选C. 目录 数学·必修第一册（B版） 4. （多选）下列式子中变形正确的是（　　） A. 若3 x －1＝2 x ＋1，则 x ＝0 目录 数学·必修第一册（B版） 解析：　对于A选项，两边同时减（2 x －1），得到 x ＝2，故A 不正确；对于B选项，没有说明 c ≠0，故B不正确；对于C选项，在 等式两边同时乘以 a （ a ≠0），得到 ＝ .故C正确；对于D选项， 在等式两边同时乘以5得到 y ＝ x ，故D正确.故选C、D. 目录 数学·必修第一册（B版） 5. 已知 x －2 y ＝6， x －3 y ＝4，则 x2－5 xy ＋6 y2的值为 ⁠ . 解析：∵ x －2 y ＝6， x －3 y ＝4，∴原式＝（ x －2 y ）·（ x －3 y ） ＝24. 24 目录 数学·必修第一册（B版） 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $