2.1.1 等式的性质与方程的解集（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦等式性质与方程解集核心知识点，系统梳理从等式基本性质、恒等式，到一元二次方程（判别式、根与系数关系）及方程组解集的内容，构建从基础到复杂的递进式学习支架，衔接初中知识与高中深化需求。 资料特色在于融合数学文化（如《九章算术》问题）与分层训练，通过“想一想”引导数学抽象，“题型解析”强化数学运算，课中助力教师系统授课，课后通过基础与提升练习帮助学生查漏补缺，培养创新意识与理性精神。

第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课标要点 1.掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程（数学抽象、数学运算）. 2.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数（数学运算）. 3.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围（数学运算）. 4.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组（数学运算）. 5.能运用合适的方法求解二元二次方程组（数学运算）. 学习重难点 重点： 握等式两条基本性质，能利用性质变形等式； 理解方程、方程解集概念，会求解一元一次方程； 分清恒等式、条件等式、矛盾等式，规范书写方程解集。 难点： 区分三类等式，准确判断方程有无解集； 灵活运用等式性质变形，避免漏乘、漏变号； 理解解集集合含义，规范用集合表示方程解，易混淆解与解集概念。 知识点一　等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）等式的两边同时加上　同一个　数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个　不为零　的数或代数式，等式仍成立. 　　提醒：等式的性质拓展：①a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4⇒a1＝a2＝a3＝a4；②a＝b⇒c－a＝c－b；③a＝b⇒－a＝－b；④a＝b≠0⇒＝. 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取　任意实数　时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式　两边恒等　. 　　提醒：常用重要恒等式：①a2－b2＝（a＋b）（a－b）；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③a3±b3＝（a±b）·（a2∓ab＋b2）；④（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 3.方程的解集 一般地，把一个方程　所有解　组成的集合称为这个方程的解集. 【想一想】 1.若ac＝bc，一定有a＝b吗？ 提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b. 2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解（根）吗？ 提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根. 随学随练 1.（25-26高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 【答案】5 【解析】因为恒成立，即恒成立， 所以，所以；故答案为：5. 2.不等式组的解集为 【答案】 【解析】由题意可得，，解可得，，故答案为： 3.求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析 【详解】因为，则，当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为；综上：当时，方程的解集为； 当时，方程的解集为. 知识点二　一元二次方程的解集 一般地，Δ＝　b2－4ac　称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式. （1）当Δ＞0时，方程的解集为　{，}　； （2）当Δ＝0时，方程的解集为　　； （3）当Δ＜0时，方程的解集为　∅　. 【想一想】 对于方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？ 提示：不一定. 随学随练 1.（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】，解得， 不等式的解集为，故A正确．故选：A． 知识点三　一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝　－　，x1x2＝　　. 提醒：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的.利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝b2－4ac来验证. 随学随练 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 【答案】A 【解析】由是方程的两个实数根，得，， 所以.故选：A 2．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得，所以， 所以， 解得或，又，所以．故选：A 知识点四　方程组的解集 1.方程组 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 2.方程组的解集 方程组中，每个方程的解集的　交集　称为这个方程组的解集. 　　提醒：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 随学随练 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题， 得，解得，代入得，则， ∴方程组的解集是.故选：D. 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程组，解得或， 所以方程组解集是.故选：C 3．关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 【答案】A 【解析】由得从而得，即 若，则可取任意实数，此时解有无数个，故B正确， 若,则，故CD正确， 解集不可能是空集，所以A错误，故选A 拓展 数学文化与方程组问题 【典例】　《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其中第八章方程中有一问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？设上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则x＝　　，y＋z＝　7　. 【答案】7 【解析】根据题意知，上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则有 解得x＝，y＝，z＝，则y＋z＝＋＝7. 【问题探究】 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就. 代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下： 其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似. 《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则. 另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的数值求解步骤.而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到了无理数的存在. 你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！ 【迁移应用】 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中数学教科书中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？（　　 ） A.21、105　 B.21、150 C.24、165　 D.24、171 解析：B　设合伙人数为x人，羊价为y钱，则解得故选B. 题型一 等式性质的应用 解题贴士：在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件. 【例1】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；故选：. 2．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是（    ） A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1 C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay 【答案】A 【解析】A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意； B.∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意； C.∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意； D.∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意.故选：A. 3．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【解析】如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误.故选：B. 题型二 恒等式的化简 解题贴士：1.在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. 2.注意乘法公式的正用、逆用及变形应用. 【例2】已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】 【解析】因为恒成立， 即恒成立，所以， 解得，，，，所以 【变式1】（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（　　） A.（a＋b＋10）（a＋b－2） B.（a＋b＋5）（a＋b－4） C.（a＋b＋2）（a＋b－10） D.（a＋b＋4）（a＋b－5） 【答案】A 【解析】（a＋b）2＋8（a＋b）－20＝ [（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）. 【变式2】若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 【答案】2 【解析】等式恒成立，即恒成立， 则有，解之得，故，故答案为：2. 【变式3】计算下列各式： （1）（4＋m）（16－4m＋m2）； （2）（a＋2）（a－2）（a4＋4a2＋16）； （3）（x＋1）（x－1）（x2－x＋1）（x2＋x＋1）； （4）（x2＋2xy＋y2）（x2－xy＋y2）2. 【解】（1）原式＝43＋m3＝64＋m3. （2）原式＝（a2－4）（a4＋4a2＋16）＝（a2）3－43＝a6－64. （3）法一　原式＝（x2－1）[（x2＋1）2－x2]＝（x2－1）·（x4＋x2＋1）＝x6－1. 法二　原式＝（x＋1）（x2－x＋1）（x－1）（x2＋x＋1）＝（x3＋1）·（x3－1）＝x6－1. （4）原式＝（x＋y）2（x2－xy＋y2）2＝[（x＋y）（x2－xy＋y2）]2＝（x3＋y3）2＝x6＋2x3y3＋y6. 题型三 一元二次方程解集的求法 解题贴士：1.应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 （1）化为x2＝p（p≥0）的形式； （2）直接开平方； （3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根； （4）总结写成解集的形式. 2.利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方程无实数根）. 3.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集. 【例3】求下列方程的解集： （1）2x2＋5x＝3； （2）2x4－7x2＋3＝0； （3）＋－1＝0； （4）x2－4｜x｜－12＝0； （5）x2－2ax＋a2－4＝0. 【解】（1）法一（配方法）　2x2＋5x＝3，则2＝3＋2×＝，即＝，解得x1＝－＋＝，x2＝－－＝－3. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是. 法二（公式法）　原方程可化为2x2＋5x－3＝0. ∵a＝2，b＝5，c＝－3，Δ＝b2－4ac＝25＋24＝49， ∴x＝＝，∴x1＝－3，x2＝. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是. （2）2x4－7x2＋3＝0可化为（x2－3）（2x2－1）＝0， 解得x2＝3或x2＝，故x＝、－、、－， 方程2x4－7x2＋3＝0的解集为{，－，，－}. （3）＋－1＝0可化为2＋x－x2＝0（x≠0）， 即（x－2）（x＋1）＝0，解得x＝2或x＝－1， 方程＋－1＝0的解集为{－1，2}. （4）因为x2－4｜x｜－12＝0⇔｜x｜2－4｜x｜－12＝0⇔（｜x｜－6）（｜x｜＋2）＝0， 解得｜x｜＝6或｜x｜＝－2（舍去）， 由｜x｜＝6，解得x＝6或x＝－6， 所以原方程的解集为{－6，6}. （5）原方程因式分解为（x－a＋2）（x－a－2）＝0. 所以解集为{a－2，a＋2}. 【变式1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集： （1）4y2－25＝0； （2）3x2－x＝15－x. 【解】（1）移项，得4y2＝25. 两边都除以4，得y2＝. 解得y1＝，y2＝－， 所以原一元二次方程的解集是. （2）移项，合并同类项，得3x2＝15. 两边都除以3，得x2＝5， 解得x1＝，x2＝－. 所以原一元二次方程的解集是{，－}. 【变式2】用配方法求下列方程的解集： （1）x2＋4x－1＝0； （2）4x2＋8x＋1＝0. 【解】（1）∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1， ∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴（x＋2）2＝5， ∴x＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. ∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}. （2）移项，得4x2＋8x＝－1. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝－， 配方，得x2＋2x＋12＝12－，即（x＋1）2＝. ∴x＋1＝±.∴x1＝－1＋，x2＝－1－， ∴原一元二次方程的解集是. 【变式3】用公式法求下列方程的解集： （1）x2－4x＋10＝0； （2）x2＋x＋＝0； （3）－x2－2x＋63＝0； 【解】（1）∵a＝1，b＝－4，c＝10， Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×10＝8＞0， ∴x＝＝＝2±，∴x1＝2＋，x2＝2－. ∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}. （2）方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0. ∵a＝4，b＝4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0， ∴x＝＝－，∴x1＝x2＝－. ∴原一元二次方程的解集是. （3）由方程－x2－2x＋63＝0，即x2＋2x－63＝（x＋9）（x－7）＝0， 解得x＝－9或x＝7，即方程－x2－2x＋63＝0的解集为{－9，7}. 题型四 一元二次方程根的判别式 解题贴士：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 【例4】已知＝1（a，b，c∈R），则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（　　） A.一定有不相等的两个实数根 B.一定有两个相等的实数根 C.可能有两个相等的实数根 D.没有实数根 【答案】C　 【解析】由＝1，得c＝b－5a，且a≠0，所以Δ＝b2－4ac＝b2－4a（b－5a）＝（2a）2－2×2ab＋b2＝（2a－b）2≥0，所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，但不能确定两实数根是否一定相等.故选C. 【变式1】若关于x的方程ax2＋2（a＋1）x＋4＝0的解集为单元素集合，则（　　 ） A.a＝0　 B.a＝1 C.a＝0或a＝1　 D.a≠0且a≠1 【答案】C　 【解析】a＝0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件； a≠0时，原方程为一元二次方程，当判别式Δ＝0时，方程有一个解，此时，Δ＝4（a＋1）2－4×4a＝0，解得a＝1，所以当原方程的解集为单元素集合时，a＝0或a＝1，选项C正确.故选C. 【变式2】不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况： （1）3x2－2x－1＝0； （2）2x2－x＋1＝0； （3）4x－x2＝x2＋2. 【解】（1）∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素. （2）∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集. （3）方程整理为x2－2x＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素. 题型五 一元二次方程根与系数的关系 解题贴士：在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值. 常见变形还有： （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （2）｜x1－x2｜＝＝. 【例5】（25-26高一上·浙江台州·开学考试）关于的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（    ） A．0 B．12 C．0或12 D．12或40 【答案】B 【解析】由题意可知，可得， 由韦达定理可得，因为，则， 原方程为，所以，， 故，故选：B. 【变式1】（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设方程的两个实数根为， 则，即，且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或.故选：C. 【变式2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】由题意：；. 所以.故选：D 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为，是方程的两个根，显然， 则，，所以.故选：D 题型六 求二元一次方程组的解集 解题贴士：1.代入消元法解二元一次方程组的步骤 （1）变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b（或x＝ay＋b）（a，b是常数，a≠0）的形式 （2）代入 把y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 （3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数 （5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式 2.加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1）变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 （2）加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 （3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值 （5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式 求方程组的解集. 【解】法一　由②，得y＝4x－5， ③ 把③代入①，得2x＋3（4x－5）＝－1， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{（x，y）｜（1，－1）}. 法二　由①，得3y＝－2x－1，即y＝， ③ 把③代入②，得4x－＝5， 解这个一元一次方程，得x＝1， 把x＝1代入③，得y＝－1. 所以这个方程组的解集为{（x，y）｜（1，－1）}. 【变式1】设A＝{（x，y）｜y＝－4x＋6}，B＝{（x，y）｜y＝5x－3}，则A∩B＝（　　 ） A.{（2，1）}　 B.（1，2） C.x＝1，y＝2　 D.{（1，2）} 【答案】D　 【解析】由题意得，集合A、B均为点集，所以，所求A∩B即求两直线的交点即可， 因为解得交点为（1，2）.故选D. 【变式2】若（3，－2）∈，则a＋b的值为　－1　. 【答案】－1 【解析】∵（3，－2）∈， ∴两式相加可得a＋b＝－1. 【变式3】求下列方程组的解集： （1） （2） 【解】（1）法一（加法消元）　①＋②，得6x＝12， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}. 法二（减法消元）　①－②，得－14y＝－14，解得y＝1， 把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}. 法三（加减法消元）　①＋②，得6x＝12，解得x＝2. ①－②，得－14y＝－14，解得y＝1. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，1）}. （2）①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3， 把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2. 所以方程组的解集为{（x，y）｜（2，3）}. 题型七 求三元一次方程组的解集 解题贴士：解三元一次方程组的一般步骤 　　解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一组解. 提醒：解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个方程是x∶y∶z＝a∶b∶c（a，b，c为常数，且都不为0），另一个方程是关于x，y，z的三元一次方程，解这种方程组时，可引入k（k≠0），用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”为“一元”，求出k的值，进而可求出x，y，z的值. 【例7】求方程组的解集 【解】法一　①×2＋②，得5x＋8y＝7， ④ ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×（－1）＋2z＝2， 所以z＝1. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（3，－1，1）}. 法二　由③，得y＝2x－7， ④ 把④代入①，整理得7x＋2z＝23， ⑤ 把④代入②，整理得7x－4z＝17， ⑥ ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把x＝3代入④，得y＝－1. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（3，－1，1）}. 【变式1】集合＝（　　） A.{（1，－2，3）}　 B.{（1，0，1）} C.{（0，－1，0）}　 D.{（0，1，－2）} 【答案】A　 【解析】由题意将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得∴代入第一个式子，可得z＝3，故方程组的解集为{（1，－2，3）}.故选A. 【变式2】方程组则的值为（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 【答案】C　 【解析】由题意，将方程组的两式相加，可得2x－3y＝0，即y＝x，z＝x－2y＝－x， 则＝＝＝－.故选C. 【变式3】求方程组的解集 【解】法一　由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5. 设x＝3k，y＝2k，z＝5k（k≠0），并代入③，得5k＋3k＋2k＝20，解得k＝2. 所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（6，4，10）}. 法二　由①，得x＝y， ④ 由②，得z＝y. ⑤ 把④和⑤代入③，得y＋y＋y＝20，解得y＝4. 把y＝4分别代入④和⑤， 得x＝6，z＝10. 所以这个三元一次方程组的解集为{（x，y，z）｜（6，4，10）}. 题型八 二元二次方程组的解集 解题贴士：　　求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 【例8】求下列方程组的解集： （1） （2） 【解】（1）由①得y＝8－x， ③ 把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.解得x1＝2，x2＝6. 把x1＝2代入③，得y1＝6. 把x2＝6代入③，得y2＝2. 所以原方程组的解集为{（2，6），（6，2）}. （2）将x＝2（y＋1）代入x2＋3y2＝3，得4（y＋1）2＋3y2＝3， 整理得7y2＋8y＋1＝0⇒（y＋1）（7y＋1）＝0，解得y＝－或y＝－1. 当y＝－时，x＝；当y＝－1时，x＝0. 所以原方程组的解集为. 【变式1】若则xyz＝（　　 ） A.2　 B. C.±　 D.3 【答案】C　 【解析】法一　由方程组 ①÷②得＝，z＝2x，代入③得x＝± ，z＝±， 再代入①得y＝±，即原方程组的解为 或所以xyz＝±.故选C. 法二　①×②×③得（xyz）2＝6， ∴xyz＝±.故选C. 【变式2】求下列方程组的解 （1）（2） 【解】（1）由题设，4x2＝9y2＋15＝（3y＋5）2，整理有3y＋1＝0，可得y＝－， 代入2x－3y＝5，可得x＝2， 所以方程组的解集为{（2，－）}. （2）由方程组消去y整理得x4－5x2＋16＝0. 因为Δ＝（－5）2－4×16＜0，所以方程组的解集为∅. 题型九 方程组的实际应用 解题贴士：列方程组解应用题的一般步骤 （1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题中的等量关系列出方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； （6）答：写出结论. 【例9】某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（　　 ） A.8元　 B.16元 C.24元　 D.32元 【答案】D　 【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，则两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a.∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋（3x＋3y）＝a－8，∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D. 【变式1】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　　. 【答案】 【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得 【变式2】水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载量和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元.问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 【解】（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆， 由题意得解得 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. （2）设需甲车型x（1≤x≤14）辆，乙车型y（1≤y≤14）辆，丙车型z（1≤z≤14）辆， 由题意得消z得到5x＋2y＝40，所以x＝8－y. 又x，y均为正整数，得到或 当时，z＝5，当时， z＝2，所以甲、乙、丙三种车型分别为6，5，5或4，10，2. 基础通关 1．下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，时，，故A错误； 对于B，取，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，取,可得,与无意义，故D错误. 故选:C. 2．（26-26高一上·广东佛山·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由韦达定理知：. 故选：B. 3．（25-26高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【解析】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 【答案】B 【解析】甲看错，把代入，得，解得. 乙看错，把代入，得，解得. 综上，. 6．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，代入得， 化简得：，解得：或，又， 因为，所以，又因为，所以， 解集为. 7．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．若图象的对称轴为直线，则 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】由可知，，函数图象开口向上，所以A正确； 当函数图象的对称轴为直线，可得，解得，所以B正确； 由可得， 当时，，即，所以恒成立，所以C正确； 当时，，则，因为， 所以当时，，且没有最小值，所以D错误； 故选：ABC. 8．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于方程组，③-①得，， ①-②得，把代入得， 把代入①得， 所以方程组的解集为或. 故选：CD 9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【解析】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】， 的值为，. 11．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 【答案】10 【解析】设原计划每天完成x页，由题意得， 整理得，解得或（舍）.所以小张原计划每天完成10页. 12．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【答案】且 【解析】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且，解得且. 13．（23-24高一上·全国·课后作业）方程组的解集为__________. 【答案】 【解析】 由②得代入①，得，整理得， 因为，所以此方程无实数解， 故方程组的解集为． 14．（专题04等式与不等式的性质-【暑假自学课】（沪教版2020必修第一册））设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，且，那么； (2)如果，且，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么，其中是正整数； (5)如果，那么； (6)如果，那么. 【解】（1）真命题，如果且，由等式的性质可加性得成立； （2）真命题，如果且，由等式的性质可乘性得成立； （3）真命题，如果，则倒数成立； （4）真命题，如果，其中是正整数，由等式的性质可乘方性得成立 （5）假命题，如果，那么若，则不能得出，即不成立； （6）真命题，如果，则，故成立. 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【解】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：，则的值为2． 素养提升 16．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据题意可知存在，使得， 所以，为方程的根， 所以，解得， 且当时，，符合题意. 故选：D. 17．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC 【解析】A选项，方程有一个正根一个负根，等价于，即， 是方程有一个正根一个负根的充要条件，A正确； B选项，方程有两个正根，等价于，即， 是方程有两个正根的充要条件，B正确； C选项，方程无实数根，等价于，即， 而是的必要不充分条件， 则方程无实数根的一个必要条件是，C正确； D选项，当时，方程无实数根，D错误． 故选：ABC． 18．（25-26高一上·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 【答案】或 【解析】将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 19.求三元一次方程组的解集. 【答案】 【解析】给两边同乘以3，得，再与相加， 得，由，得， 把代入中，解得， 所以原方程组的解集为. 20．已知、是关于的方程的两个实数根，根据下列条件，分别求出的值： (1)； (2)． 【解】（1）因为，由题意可得，解得. （2）由题意可知，解得， 由韦达定理可得，所以、的符号相同，且均不为零， 由，则，故，故，则， 此时方程有两个不等的正根， 故，解得. 迁移创新 21．（25-26高一上·北京·阶段检测）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 【解】（1）设需甲车型辆，乙车型辆， 由题得，解得， 所以需甲车型8辆，乙车型10辆. （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆， 由题得，，消得到，所以， 又均为正整数，得到或， 当时，，当时， ， 所以，甲，乙，丙三种车型分别为或. 22．（25-26高一上·北京西城·期中）已知关于，的方程组其中. (1)当时，求该方程组的解； (2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解； (3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 【解】（1）当时，消去得， 解得，， 因此，方程组的解为和. （2）消去整理得， 显然，且， 因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解. （3）由韦达定理得，， 所以， ， 所以， 因此，是定值，且定值为4. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集 课标要点 1.掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程（数学抽象、数学运算）. 2.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数（数学运算）. 3.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围（数学运算）. 4.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组（数学运算）. 5.能运用合适的方法求解二元二次方程组（数学运算）. 学习重难点 重点： 握等式两条基本性质，能利用性质变形等式； 理解方程、方程解集概念，会求解一元一次方程； 分清恒等式、条件等式、矛盾等式，规范书写方程解集。 难点： 区分三类等式，准确判断方程有无解集； 灵活运用等式性质变形，避免漏乘、漏变号； 理解解集集合含义，规范用集合表示方程解，易混淆解与解集概念。 知识点一　等式的性质与方程的解 1.等式的性质 （1）等式的两边同时加上　同一个　数或代数式，等式仍成立； （2）等式的两边同时乘以同一个　不为零　的数或代数式，等式仍成立. 　　提醒：等式的性质拓展：①a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4⇒a1＝a2＝a3＝a4；②a＝b⇒c－a＝c－b；③a＝b⇒－a＝－b；④a＝b≠0⇒＝. 2.恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取　任意实数　时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式　两边恒等　. 　　提醒：常用重要恒等式：①a2－b2＝（a＋b）（a－b）；②（a±b）2＝a2±2ab＋b2；③a3±b3＝（a±b）·（a2∓ab＋b2）；④（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. 3.方程的解集 一般地，把一个方程　所有解　组成的集合称为这个方程的解集. 【想一想】 1.若ac＝bc，一定有a＝b吗？ 2.把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解（根）吗？ 随学随练 1.（25-26高一上·上海黄浦·期中）已知等式恒成立，则 ． 2.不等式组的解集为 3.求关于x的方程的解集，其中a是常数. 知识点二　一元二次方程的解集 一般地，Δ＝　b2－4ac　称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式. （1）当Δ＞0时，方程的解集为　{，}　； （2）当Δ＝0时，方程的解集为　　； （3）当Δ＜0时，方程的解集为　∅　. 【想一想】 对于方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？ 随学随练 1.（25-26高一上·西藏昌都·期末）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 知识点三　一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝　－　，x1x2＝　　. 提醒：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的.利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝b2－4ac来验证. 随学随练 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）设是方程的两个实数根，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．3 2．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 知识点四　方程组的解集 1.方程组 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组. 2.方程组的解集 方程组中，每个方程的解集的　交集　称为这个方程组的解集. 　　提醒：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 随学随练 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）二元一次方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）方程组解集是（    ） A． B． C． D． 3．关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 拓展 数学文化与方程组问题 【典例】　《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其中第八章方程中有一问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？设上、中、下禾实一秉分别为x，y，z斗，则x＝　　，y＋z＝　7　. 【问题探究】 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就. 代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，本例就是其中的第一个问题.《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下： 其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似. 《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则. 另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的数值求解步骤.而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开.这是意识到了无理数的存在. 你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！ 【迁移应用】 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位.高中数学教科书中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？（　　 ） A.21、105　 B.21、150 C.24、165　 D.24、171 题型一 等式性质的应用 解题贴士：在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件. 【例1】下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是（    ） A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1 C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ay 3．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型二 恒等式的化简 解题贴士：1.在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构. 2.注意乘法公式的正用、逆用及变形应用. 【例2】已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【变式1】（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（　　） A.（a＋b＋10）（a＋b－2） B.（a＋b＋5）（a＋b－4） C.（a＋b＋2）（a＋b－10） D.（a＋b＋4）（a＋b－5） 【变式2】若等式恒成立，则常数a与b的和为 . 【变式3】计算下列各式： （1）（4＋m）（16－4m＋m2）； （2）（a＋2）（a－2）（a4＋4a2＋16）； （3）（x＋1）（x－1）（x2－x＋1）（x2＋x＋1）； （4）（x2＋2xy＋y2）（x2－xy＋y2）2. 题型三 一元二次方程解集的求法 解题贴士：1.应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 （1）化为x2＝p（p≥0）的形式； （2）直接开平方； （3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根； （4）总结写成解集的形式. 2.利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方程无实数根）. 3.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集. 【例3】求下列方程的解集： （1）2x2＋5x＝3； （2）2x4－7x2＋3＝0； （3）＋－1＝0； （4）x2－4｜x｜－12＝0； （5）x2－2ax＋a2－4＝0. 【变式1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集： （1）4y2－25＝0； （2）3x2－x＝15－x. 【变式2】用配方法求下列方程的解集： （1）x2＋4x－1＝0； （2）4x2＋8x＋1＝0. 【变式3】用公式法求下列方程的解集： （1）x2－4x＋10＝0； （2）x2＋x＋＝0； （3）－x2－2x＋63＝0； 题型四 一元二次方程根的判别式 解题贴士：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 【例4】已知＝1（a，b，c∈R），则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（　　） A.一定有不相等的两个实数根 B.一定有两个相等的实数根 C.可能有两个相等的实数根 D.没有实数根 【变式1】若关于x的方程ax2＋2（a＋1）x＋4＝0的解集为单元素集合，则（　　 ） A.a＝0　 B.a＝1 C.a＝0或a＝1　 D.a≠0且a≠1 【变式2】不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况： （1）3x2－2x－1＝0； （2）2x2－x＋1＝0； （3）4x－x2＝x2＋2. 题型五 一元二次方程根与系数的关系 解题贴士：在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值. 常见变形还有： （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （2）｜x1－x2｜＝＝. 【例5】（25-26高一上·浙江台州·开学考试）关于的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（    ） A．0 B．12 C．0或12 D．12或40 【变式1】（25-26高一上·北京·阶段检测）若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河北邯郸·期中）小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型六 求二元一次方程组的解集 解题贴士：1.代入消元法解二元一次方程组的步骤 （1）变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b（或x＝ay＋b）（a，b是常数，a≠0）的形式 （2）代入 把y＝ax＋b（或x＝ay＋b）代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 （3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程，求出另一个未知数 （5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式 2.加减消元法解二元一次方程组的步骤 （1）变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 （2）加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 （3）求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值 （5）写解集 用集合表示为{（x，y）｜（…，…）}的形式 【例6】求方程组的解集. 【变式1】设A＝{（x，y）｜y＝－4x＋6}，B＝{（x，y）｜y＝5x－3}，则A∩B＝（　　 ） A.{（2，1）}　 B.（1，2） C.x＝1，y＝2　 D.{（1，2）} 【变式2】若（3，－2）∈，则a＋b的值为　－1　. 【变式3】求下列方程组的解集： （1） （2） 题型七 求三元一次方程组的解集 解题贴士：解三元一次方程组的一般步骤 　　解三元一次方程组类似于解二元一次方程组，关键是消元转化.通过加减消元或代入消元逐渐将三元一次方程组转化为一元一次方程求解，然后再逐个代入求另外两个未知数.最后组成三元一次方程组的一组解. 提醒：解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元.对于一些特殊的方程组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个方程是x∶y∶z＝a∶b∶c（a，b，c为常数，且都不为0），另一个方程是关于x，y，z的三元一次方程，解这种方程组时，可引入k（k≠0），用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”为“一元”，求出k的值，进而可求出x，y，z的值. 【例7】求方程组的解集 【变式1】集合＝（　　） A.{（1，－2，3）}　 B.{（1，0，1）} C.{（0，－1，0）}　 D.{（0，1，－2）} 【变式2】方程组则的值为（　　） A.　 B. C.－　 D.－ 【变式3】求方程组的解集 题型八 二元二次方程组的解集 解题贴士：　　求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 【例8】求下列方程组的解集： （1） （2） 【变式1】若则xyz＝（　　 ） A.2　 B. C.±　 D.3 【变式2】求下列方程组的解 （1）（2） 题型九 方程组的实际应用 解题贴士：列方程组解应用题的一般步骤 （1）审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系； （2）设：恰当地设未知数； （3）列：依据题中的等量关系列出方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； （6）答：写出结论. 【例9】某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（　　 ） A.8元　 B.16元 C.24元　 D.32元 【变式1】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　　. 【变式2】水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载量和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元.问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 基础通关 1．下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-26高一上·广东佛山·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东德州·期末）甲乙两位同学求方程组的解集A时，甲因看错了解得，乙因看错了解得，则的值分别为（    ） A．，3 B．4，3 C．，4 D．3，4 6．（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·海南儋州·阶段检测）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．若图象的对称轴为直线，则 C．若，则 D．若，则的最小值为 8．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）方程组的解集是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是方程的两根，则的值为___________． 11．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）小张同学看一本800页的数学书，看了200页后，为早日完成，后来每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成__________页. 12．（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 13．（23-24高一上·全国·课后作业）方程组的解集为__________. 14．（专题04等式与不等式的性质-【暑假自学课】（沪教版2020必修第一册））设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，且，那么； (2)如果，且，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么，其中是正整数； (5)如果，那么； (6)如果，那么. 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 素养提升 16．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）若能被整除，则（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 18．（25-26高一上·北京·期中）已知关于的方程组解集中只有一个元素，则实数______. 19.求三元一次方程组的解集. 20．已知、是关于的方程的两个实数根，根据下列条件，分别求出的值： (1)； (2)． 迁移创新 21．（25-26高一上·北京·阶段检测）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？ (2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数. 22．（25-26高一上·北京西城·期中）已知关于，的方程组其中. (1)当时，求该方程组的解； (2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解； (3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $