2.1.1　等式的性质与方程的解集 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦等式性质与方程解集，分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，强化运算能力与推理意识，适配课时目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|多项式分解、方程解等单一知识点|选择填空为主（如第1题多项式分解），夯实概念理解| |综合|因式分解法解方程等方法应用|解答题分步骤设计（如第9题6小题），提升运算技能| |提升|参数方程、几何与代数结合等跨情境综合|新定义（如第11题“相伴数对”）与实际情境（如第14题几何综合），培养应用意识|

2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值是（　　） A.a＝10，b＝2 B.a＝10，b＝－2 C.a＝－10，b＝－2 D.a＝－10，b＝2 2.（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（　　） A.（a＋b＋10）（a＋b－2） B.（a＋b＋5）（a＋b－4） C.（a＋b＋2）（a＋b－10） D.（a＋b＋4）（a＋b－5） 3.小明在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，那么这个常数应是（　　 ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（　　） A.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2 B.a2－b2＝（a＋b）（a－b） C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2 5.（多选）若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（　　 ） A.－ B.－ C. D. 6.已知x＋1是多项式x2－mx＋3的一个因式，则m＝　　　　. 7.关于x的方程（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0的解集为　　　. 8.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若a＝2，b＝3，则小正方形的面积是　　　　. 9.用因式分解法求下列方程的解集： （1）x2－10x＋9＝0； （2）2（x－3）＝3x（x－3）； （3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3； （4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0； （5）2x2－16＝x2＋5x＋8； （6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0. 10.（多选）设A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜ax＋1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（　　 ） A.－ B.0 C.3 D.－ 11.一般情况下，＋＝不成立，但也有数可以使它成立，如m＝n＝0.使得＋＝成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）.若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为　　　　. 12.设a，b∈R，求关于x的方程a2x＝x＋ab－b的解集. 13.小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，a＋b，a2－b2，c－d，c＋d，c2－d2依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将（a2－b2）c2－（a2－b2）d2因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（　　） A.勤学 B.爱科学 C.我爱理科 D.我爱科学 14.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解； （3）若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求（m＋n）2的值. 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.C　因为（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b， 所以即 2.A　（a＋b）2＋8（a＋b）－20＝ [（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）. 3.D　设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4.故选D. 4.B　图甲中阴影部分的面积为a2－b2，图乙中阴影部分面积为（a＋b）（a－b），因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.故选B. 5.BD　由x2＋xy－2y2＝0得（x＋2y）（x－y）＝0，得x＝－2y或x＝y， 当x＝－2y时，＝＝－； 当x＝y时，＝＝.故选B、D. 6.－4　解析：由题意，x＋1是多项式x2－mx＋3的一个因式，故x＝－1是方程x2－mx＋3＝0的一个根，代入可得（－1）2＋m＋3＝0，∴m＝－4. 7.　解析：（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0可化为（2x＋3）（2x2＋3）（x2－2）＝0， ∵2x2＋3＞0，∴（2x＋3）（x2－2）＝0，解得x1＝－，x2＝，x3＝－ 所以方程（2x＋3）（2x4－x2－6）＝0的解集为{－，，－}. 8.1　解析：设小正方形边长为x，由勾股定理得：（2＋x）2＋（3＋x）2＝（2＋3）2，解得：x＝1，故小正方形的面积为1×1＝1. 9.解：（1）原方程可化为（x－1）（x－9）＝0，所以x＝1或x＝9， 所以该方程的解集为{1，9}. （2）原方程整理，得（x－3）（2－3x）＝0， 所以x－3＝0或2－3x＝0， 所以x＝3或x＝， 所以该方程的解集为. （3）原方程可化为4（3x－2）（x＋1）－3（x＋1）＝0， 即（x＋1）（12x－11）＝0，所以x＝－1或x＝， 所以该方程的解集为. （4）原方程可化为（2x－3）[2（2x－3）－3]＝0， 即（2x－3）（4x－9）＝0，所以x＝或x＝， 所以该方程的解集为. （5）原方程可化为2x2－x2－5x－16－8＝0， x2－5x－24＝0，（x－8）（x＋3）＝0， 所以x＝8或x＝－3， 所以该方程的解集为{8，－3}. （6）原方程可化为[（3x－1）＋1][（3x－1）＋2]＝0， 即3x（3x＋1）＝0，所以x＝0或x＝－， 所以该方程的解集为. 10.ABD　∵A∩B＝B，∴B⊆A，A＝{x｜x2－8x＋15＝0}＝{3，5}， 当a＝0时，B＝∅，符合题意； 当a≠0时，B＝ ， 要使B⊆A，则－＝3或－＝5，解得a＝－或a＝－. 综上，a＝0或a＝－或a＝－.故选A、B、D. 11.－　解析：由题意，得＋＝，解得x＝－. 12.解：方程a2x＝x＋ab－b可化为（a2－1）x＝（a－1）b， 当a≠±1时，解集为； 当a＝1，b∈R时，解集为R； 当a＝－1，b＝0时，解集为R； 当a＝－1，b≠0时，解集为∅. 13.C　∵（a2－b2）c2－（a2－b2）d2＝（a2－b2）（c2－d2）＝（a＋b）（a－b）（c＋d）（c－d），a－b，a＋b，c－d，c＋d四个代数式分别对应科、爱、我、理，∴结果呈现的密码信息可能是“我爱理科”.故选C. 14.解：（1）题图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为2（m＋2n）＋2（2m＋n）＝6m＋6n＝6（m＋n）. （2）2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为（m＋2n）（2m＋n）. （3）依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29. ∵（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2，∴（m＋n）2＝29＋20＝49. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $