练案9 2.1.1 等式的性质与方程的解集-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[9] 第二章 等式与不等式 2.1[2.1.1 等式的性质与方程的解集] A组基础巩固 三、解答题 一、选择题 9.若式子3x2-mx-2因式分解的结果是(3x+2)(x+ 1.已知等式ax=y,下列变形不正确的是 n),试求实数m,n的值. A.x=y B.ax +1=ay+1 C.2ax=2ay D.3-ax=3-y 2.(多选题)下列属于恒等式的有 A.(a+b)c=ac+bo w.t B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.4x=2024 D.(x-1)2=0 3.(a+b)2+8(a+b)-20分解因式得 A.(a+b+10)(a+b-2) B.(a+b+5)(a+b-4) C.(a+b+2)(a+b-10) D.(a+b+4)(a+b-5) 4.现定义运算“★”：对于任意实数a,b,都有a★b=a2 -2a+b,如3★4=32-2×3+4，若x★3=6，则实数 x的值为 A.3或-1 B.-3或1 C.±23 D.±3 5.关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有 一个根为0，则m的值应为 A.2 B.-2 C.2或-2 D.1 二、填空题 6.已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解，则关于x 的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解集为 7.若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a +b= 8.小奇设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其 中时，会得到一个新的实数a2-3b-5,例如把 (1,-2)放入其中，就会得到12-3×(-2)-5=2. 现将实数对(m,3m)放入其中，得到实数5，则m= —117 10.因式分解： 二、填空题 (1)x2+3xy+2y2+2x+4y; 4.若x+y=10,y=1,则x3y+3的值是 (2)4xy+1-4x2-y2. a b x 2 5.规定一种运算： =ad-bc.例如 =8,运 c d 15 算得5x-2=8,解得x=2.按照这种运算的规定，那 x 2x =5时，x的值为 2 x 三、解答题 6.已知：a,b,c为△ABC的三边长， ! (1)当a2+b2+c2=ab+ac+bc时，试判断△ABC的 形状，并证明你的结论 (2)判断代数式a2-b2+c2-2ac值的符号. B组素养提升 一、选择题 1.多项式mx2-m和多项式x2-2x+1的公因式是 ( A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2 2.分解因式a2+8ab-33b2得 A.(a+11)(a-3)B.(a+11b)(a-3b) C.(a-11b)(a-3b)D.(a-11b)(a+3b) 3.(2024·抚顺高一检测)在边长为a的正方形中挖去 一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下 的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图 形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为( C组创新拓展 b 在实数范围内定义一种运算“⑧”，其规则为a⑧b= 图甲 图乙 a2-b2-5a,则方程(x+2)⑧6=0的所有解的和为 A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 () B.a2-b2=(a+b)(a-b) A.-1 B.0 C.(a+b)2=2+2ab+b2 C.1 D.2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 118(x2-4x-5)(x2-4x+3)=0, 0,解得x=子或x=-2,所以原方程的解集为{-2，号} (x+1)(x-5)(x-1)(x-3)=0.=-1,2=1,x3=3,x4 =5. 5.(a-b+4)(a-b+7)把a-b看作一个整体. 解集为-1,1,3,5}. 14 17 因为4+7=11 设=-1，即1片号2-5+2=0 新以，原式=(a-b+4)(a-b+7). -2)(2-)=01=2或号即x-1=2或7 练案[9] =3=弓解集为，} :A组基础巩固 1.A:ax=ay,当a≠0时，x=y,故A选项错误，符合题意； (5)设t=√x-1≥0.x=t+1.方程变为t2+1+t=3. ax=y,∴.ax+1=y+1,故B选项正确，不合题意；a= +t-2=0,即(t+2)(t-1)=0,所以t1=1或2=-2（舍 ay,∴.2ax=2ay,故C选项正确，不合题意；：ax=ay,.3-ax 去).所以x-I=1. ! =3-ay,故D选项正确，不合题意.故选A. x=2.解集为{2. 2.ABA、B属于恒等式；只有当x=506时，等式4x=2024才成 对点训练3：解方程，4-8=-2，去分母，得2(x-4）)-48 立，只有当x=1时，等式(x-1)2=0才成立，所以C、D不是 3 2 恒等式.故选AB. =-3(x+2), 3.A(a+b)+8(a+b)-20=[(a+b)-2][(a+b)+10]= 去括号，得2x-8-48=-3x-6, (a+b-2)(a+b+10). 移项、合并同类项，得5x=50.系数化为1，得x=10. 4.A因为对于任意实数a,b,都有a★b=a2-2a+b,所以x★3 把x=10代人方程4x-(3a+1)=6x+2a-1, ! =x2-2x+3,因为x★3=6， 得4×10-(3a+1)=6×10+2a-1,解得a=-4. 所以x2-2x+3=6, 当a=-4时，a-a 4-1= 1 15 -4-4 所以x2-2x-3=0, 因式分解得(x-3)(x+1)=0,所以x1=-1,x2=3. 例4：当a=-3,b=1时，由(a+3)x=b-1得0·x=0,此时解集 5.B因为关于x的一元二次方程 为R; (m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0， 当a=-3,b≠1时 所以m2-4=0且m-2≠0，解得m=-2. 由(a+3)x=b-1得0·x=b-1,此时解集为☑： 6.0}因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解， 当a≠-3时，由(a+3)x=6-1,得-十3，此时解集 所以2-13(m-1)=2,即m=1. 为引 所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)变为(x-3)-2=2x-5, 解得x=0. 综上，当a=-3,b=1时，方程的解集为R; 所以方程的解集为0} 当a=-3,b≠1时，方程的解集为☑； 7.-或1设a+b=,则原方程可化为4(4x-2)-8=0,整 当a≠-3时，方程的解集为合÷} 理，得(2x+1)(x-1)=0, 课堂检测固双基 1.ABD:3a=2b,∴.3a+1=2b+1,正确，A符合题意； 解得x=-或=1，则a+6=-或1 3a=2b,3a-1=2b-1,正确，B符合题意； 8.10或-1因为将实数对(m,3m)放人其中，得到实数5， .3a=2b,.9a=6b,故此选项错误，C不符合题意； 所以m2-9m-5=5,解得m=10或-1. 30=26,一号-子正确，D符合题意 :9.:(3x+2)(x+n)=3x2+(3n+2)x+2n=3x2-mx-2, 3n+2=-m,,「m=1, 故选ABD. 2n=-2,1n=-1 2B方程x-3=1的解是x=4,7-2x=6的解是x=-4,3x10(1)2+3y+2y+2x+4y =(x+2y)(x+y)+2(x+2y) -4=弓(x-3)的解是x=-7,-号=2的解是x-6,故 =(x+2y)(x+y+2): 选B (2)4xy+1-4x2-y2 3.C原式=m+n-2m+2n=-m+3n,故选C. =1-(4x2-4xy+y2) 4{-2,子}原方程化为3x+4-4=0,即(3x-2)(x+2)= =1-(2x-y)2 =(1+2x-y)(1-2x+y). -174 B组素养提升 1.Amx2-m=m(x2-1)=m(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x 知识点3：-合台 a -1)2,公因式为x-1,故选A. 对应练习 2.Ba2+8ab-33b2=(a-3b)(a+11b) (1)D(2)3,10(1)设所求方程为ax2+bx+c=0(a≠0)， 3.B题图甲中阴影部分的面积为a2-62, 则由题宝，可得4+(-5)=一台4×(-5)=台即名1 题图乙中阴影部分面积为(a+b)(a-b)， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， =-20,验证四个选项，只有D项符合条件 a 所以a2-b2=(a+b)(a-b). (2)由一元二次方程根与系数的关系，可得 4.98x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2y]. [2+(-5)=-b, .rb=3, 解得 当x+y=10,xy=1时， l2×(-5)=-c, Lc=10. xy[(x+y)2-2xy]=1×(102-2×1)=98. 关键能力攻重难 55或-1由题意，得) =x2-4x=5, 例1：(1)方法一：移项，得x2-2x=8.配方，得(x-1)2=9.由此 可得x-1=±3. 即x2-4x-5=0,解得x=5或x=-1. .1=4,2=-2..方程的解集为{-2,4}. 6.(1)△ABC为等边三角形. 方法二：原方程可化为(x-4)(x+2)=0, 证明：因为a2+b2+c2=ab+bc+ac, x-4=0或x+2=0..x1=4,x2=-2. 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0, ·方程的解集为-2,4}. 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, (2)方法一：原方程可化为(x-2)(2x-3)=0, 所以a=b,b=c,a=c,所以△ABC为等边三角形. (2)a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b x-2=0或2x-3=05名=2=2 =(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b) 方程的解集为，号} =[(a+b)-c][a-(b+c)], 方法二：.a=2,b=-7,c=6,∴.△=b2-4ac=1>0 又因为a+b>c,a<b+c, 所以[(a+b)-c][a-(b+c)]<0, =b±-40匹：二，即=26=子 2a 2×2 所以a2-b2+c2-2ac值的符号为负 C组创新拓展 六方程的解失为，号} C根据题意得(x+2)2-(6)-5(x+2)=0, (3)原方程可化为(x-1)2-2(x-1)=0. 整理得(x+2)2-5(x+2)-6=0, 因式分解，得(x-1)(x-1-2)=0..x-1=0或x-3= 即(x+2-6)·(x+2+1)=0,即(x-4)(x+3)=0, 0..x1=1,x2=3. 解得x=4或x=-3,因为4-3=1， ·.方程的解集为1,3 所以方程(x+2)⑧√6=0的所有解的和为1. 对点训练1：(1)因式分解法：(3x-1)(x+3)=0, .3x-1=0或x+3=0, 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 必备知识探新知 解得=了或=一3， 知识点1：1.常数a≠02.开平方配方直接开平方法 方程的解集为{-3，号} -b±-4ac 一次因式一m-n - (2)公式法：4=32-4×1×(-1)=13>0， 2a 对应练习 =3,压，=3，压 2 2 (1)D(2)C(1)x2-8x+5=0,.x2-8x=-5,x2-8x +16=-5+16,(x-4)2=11,故选D. 六方程的解集为-3，E-3+31 12， 2」 (2)原方程可化为5x2-6x+8=0,.a=5,b=-6,c=8,故 (3)因式分解法：(x+4)[(x+4)-5]=0, 选C. 即(x+4)(x-1)=0,∴x+4=0或x-1=0, 知识点2：不相等相等没有 解得x=-4或x=1,∴.方程的解集为：{-4,1}。 对应练习 (4)因式分解法：方程化为(x-1)2-2(x-1)-15=0, (1)A(2)(-0,4](1)4=(-5)2-4×2×3=1>0, .[(x-1)-5][(x-1)+3]=0, .方程2x2-5x+3=0有两个不相等的实数根.故选A. .(x-6)(x+2)=0,.x-6=0或x+2=0 (2)因为一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，所以4= 解得x=6或x=-2, 16-4k≥0.即k≤4. ·.方程的解集为-2,6}. -175