22.3.2 .2相似三角形的判定-- 用边角关系、三边关系判定三角形相似（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，涵盖边角关系（SAS）、三边关系（SSS）及两角对应相等（AA）定理，通过观察直角三角板、动手绘制指定角三角形并测量，承接上一节AA定理，构建完整判定知识支架。 其亮点是分层递进的习题设计，选择辨析概念、填空夯实基础、解答综合应用，结合合作探究（如合作画图证明AA定理）和规范证明训练。以数学眼光观察现实物体，数学思维推理证明，数学语言规范表达，助学生构建知识体系，教师可精准突破重难点，提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章 图形的相似 22.3.2 .2相似三角形的判定 -- 用边角关系、三边关系判定三角形相似 2026年8月4日 华东师大版九年级上册22.3.2.2 相似三角形的判定（边角关系、三边关系）练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 两边成比例且夹角相等的两个三角形（） A.一定全等 B.一定相似 C.一定不相似 D.无法判定 2. 下列关于三边判定三角形相似的定理说法正确的是（） A.三边对应相等的两个三角形相似 B.三边对应成比例的两个三角形相似 C.两边成比例的两个三角形相似 D.三角对应成比例的两个三角形相似 3. 在△ABC和△DEF中，$$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$$，若要判定两三角形相似，需添加的条件是（） A.$$\angle A=\angle D$$ B.$$\angle B=\angle E$$ C.$$\angle C=\angle F$$ D.$$\angle A=\angle F$$ 4. △ABC三边长为2、3、4，△DEF三边长为4、6、8，则这两个三角形（） A.不相似 B.相似 C.全等 D.无法判断 5. 下列各组条件中，不能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（） A.$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$$，$$\angle B=\angle B'$$ B.$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$ C.$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$，$$\angle C=\angle C'$$ D.以上都不对 6. 已知△ABC中，AB=3，AC=6，∠A=60°；△DEF中，DE=2，DF=4，∠D=60°，则△ABC与△DEF的关系是（） A.相似 B.不相似 C.全等 D.无法确定 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形边角判定定理：两边________且________相等的两个三角形相似（简称SAS）。 2. 相似三角形三边判定定理：三边________的两个三角形相似（简称SSS）。 3. 若两个三角形对应边的比都为0.5，则这两个三角形________。 4. 在△ABC和△A'B'C'中，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{3}{2}$$，只需满足________，即可用SAS判定相似。 5. 三边长为3、4、5和6、8、10的两个直角三角形，相似比为________。 6. 两边成比例但________不是夹角，则两个三角形不一定相似。 三、解答题（共52分） 13.（12分）判断下列两组三角形是否相似，并说明理由： (1)△ABC：AB=4，BC=6，AC=8；△DEF：DE=2，EF=3，DF=4 (2)△ABC：AB=5，AC=10，∠A=40°；△DEF：DE=3，DF=6，∠D=40° 14.（12分）在△ABC中，AB=8，AC=12，点D在AB上，AD=6，点E在AC上，AE=4，求证：$$\triangle ADE\backsim\triangle ACB$$。 15.（14分）已知△ABC三边长为5、7、8，△A'B'C'三边长为10、14、16，求证：$$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$$，并求出相似比。 16.（14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，$$AD=2，DB=4，AE=3，EC=6$$，求证：$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$。 参考答案 1.B  2.B  3.B  4.B  5.C  6.A 12.成比例、夹角  13.对应成比例  14.相似  15.$$\angle A=\angle A'$$  16.$$1:2$$  17.对应角 13.解：(1)相似，理由：$$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{4}{2}=2$$，$$\dfrac{BC}{EF}=\dfrac{6}{3}=2$$，$$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{8}{4}=2$$，三边对应成比例，根据SSS定理，两三角形相似。 (2)相似，理由：$$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{5}{3}$$，$$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$$，两边成比例，且夹角$$\angle A=\angle D=40^\circ$$，根据SAS定理，两三角形相似。 14.证明：由题意得$$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$$，$$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$， ∴$$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$$，又∵$$\angle A=\angle A$$（公共夹角）， 根据两边成比例且夹角相等（SAS），可得$$\triangle ADE\backsim\triangle ACB$$。 15.证明：$$\dfrac{5}{10}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$$，三边对应成比例， ∴$$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$$（SSS），相似比为$$1:2$$。 答：相似比为$$1:2$$。 16.证明：$$AB=AD+DB=6$$，$$AC=AE+EC=9$$， $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$$，$$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$$， ∴$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$，又$$\angle A$$为公共夹角， ∴$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$（SAS）。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册22.3.2.2相似三角形的判定（边角、三边关系），承接上一节角判定（AA）定理，完善相似三角形三大判定体系，沿用整套试卷统一题型、分值与难度梯度，适配课时同步巩固与课堂检测。本节SAS、SSS判定定理是中考几何证明、计算的核心高频考点。 习题设计分层递进、重难点精准突破。选择题聚焦两大判定定理的核心概念，重点区分“夹角与非夹角”“三边成比例与两边成比例”的易错点，纠正学生高频解题误区；填空题侧重定理识记、条件补全、相似比基础计算，夯实核心知识点；解答题全覆盖本节必考题型，包含SSS三边比例判相似、SAS边角结合判相似、公共角型相似证明、线段求值综合证明，完全贴合课本例题与课后习题考法。 本节核心考点：SSS三边对应成比例证相似、SAS两边成比例且夹角相等证相似，核心易错点为**必须是两边的夹角**，非夹角无法判定相似。整套习题针对性训练学生比例运算、定理辨析、几何规范证明的能力，补齐相似三角形完整判定知识体系，为后续几何综合题型、动点相似问题筑牢基础。 （全文约1050字） 1.观察学生与老师的直角三角板（30° 与 60°）， 会相似吗？测量测量，得出你的猜想. 观察与思考 2. 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°，75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗？ 与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，∠B =∠B′，探究下列问题： 利用两角对应相等判定两个三角形相似 问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A' B' C' 合作探究 问题二 试证明 △A′B′C′∽△ABC. 这两个三角形是相似的 证明：在 △ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD = A′B′，过点 D 作 DE//BC，交 AC 于点 E，则有 △ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B =∠B′， ∴∠ADE =∠B′. 又∵ AD = A′B′，∠A =∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. C A A' B B' C' D E 问题二 试证明 △A′B′C′∽△ABC. 知识点1两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1.【思维生长】 如图①，已知△ABC，则下列图中与△ABC相似的是(　　) 1星题 夯实四基 C 举一反三 向“判定条件辨析”生长：如图②，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是(　　) A 举一反三 2.【新情境】如图是一种雨伞的截面示意图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF＝30 cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭．若AB＝3AE，AD＝3AO，此时B，D两点间的距离等于(　　) A．60 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm C 举一反三 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A'，∠B = ∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 1.判断题： （1）所有的直角三角形都相似.（ ） （2）所有的等边三角形都相似.（ ） （3）所有的等腰直角三角形都相似.（ ） （4）有一个角相等的两等腰三角形相似.（ ） × √ √ × 2.已知：如图，∠1 = ∠2 = ∠3， 求证：△ABC∽△ADE． 证明： ∵∠BAC =∠1 +∠DAC， ∠DAE =∠3 +∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC =∠DAE. ∵ ∠C =180°－∠2－∠DOC ，∠E = 180°－∠3－∠AOE. ∠DOC =∠AOE，∴ ∠C = ∠E. 在△ABC 和△ADE 中∠BAC =∠DAE，∠C = ∠E ∴ △ABC∽△ADE 3．[江苏南京期末]如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论正确的是(　　) A．只有①和③相似　　　 B．只有②和④相似 C．①和③相似且②和④相似 D．没有相似三角形 A 举一反三 4．如图，已知点 B，C在线段AD上，且AB＝9，CD＝4，△PBC是边长为6的等边三角形． 求证：△ABP∽△PCD. 举一反三 举一反三 6．河南郑州期中 把△ABC经过下列变形，得到的新三角形一定与△ABC相似的是(　　) A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 C 举一反三 7．一个三角形的三边长之比为345，另一个三角形的最短边长为9，当另外两边长分别为________时，这两个三角形相似． 12，15 举一反三 8.(教材改编题)如图所示的网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都在 格点上，求证：△ABC∽△DEF. 举一反三 9．河南郑州期中如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的是________． (填序号) ②③④ 2星题 提升四能 举一反三 举一反三 11．如图，点D为藤制三角形桌垫ABC内一点，且∠ADC＝∠BDA＝120°，AD＝2，BD＝3，CD＝ ，则∠ABC的度数为________． 60° 举一反三 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD、CE分别是边AC、AB上的高，连结DE，若BC＝2，则DE的长为 ________． 举一反三 13．如图，点B、D、E在同一条直线上，BE与AC相交于点F， (1)求证：∠BAD＝∠CAE； 举一反三 (2)若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数； 解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠ADE. ∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ADE＝∠ABE＋∠BAD， ∴∠EBC＝∠BAD＝21°. 举一反三 (3)连结EC，求证：△ABD∽△ACE. 举一反三 相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）. 证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法： 定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两个三角形叫做相似三角形. 常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 证明：∵△PBC是边长为6的等边三角形， ∴PB＝PC＝6，∠PBC＝∠PCB＝60°， ∴∠ABP＝∠PCD＝180°－60°＝120°. ∵AB＝9，DC＝4，∴＝＝，＝＝， ∴＝，∴△ABP∽△PCD. 知识点2三边成比例的两个三角形相似 5.知识初练 △ABC与△A′B′C′中，＝＝，当＝________时，△ABC∽△A′B′C′. 证明：由题易得，AB＝4，AC＝，BC＝，DE＝8， DF＝2，EF＝2，∴＝，＝，＝， ∴＝＝，∴△ABC∽△DEF. 10.(分类讨论思想)如图，已知∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为________时，△ACB与△ADC相似． 3或3 证明：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF， 即∠BAD＝∠CAE. ＝＝. 证明：如图， 由(1)得∠BAD＝∠CAE. ∵＝，∴＝，∴△ABD∽△ACE. $