22.3.2.1 相似三角形的判定用角的关系判定三角形相似（课件）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，涵盖两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边对应成比例三个定理。课堂导入通过回顾全等三角形判定及已学相似方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于采用探究式学习，如让学生画图度量验证判定条件，结合分层练习与跨学科题目（如物理光线反射），培养数学眼光、思维与语言。帮助学生发展探究能力和应用意识，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章 图形的相似 22.3.2.1 相似三角形的判定 -- 用角的关系判定三角形相似 2026年8月4日 华东师大版九年级上册22.3.2.1 相似三角形的判定（用角的关系判定）练习题 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 两角分别相等的两个三角形（） A.全等 B.相似 C.不相似 D.无法判定 2. 在△ABC和△DEF中，$$\angle A=\angle D$$，$$\angle B=\angle E$$，则可判定（） A.$$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$$ B.$$\triangle ABC\backsim\triangle DFE$$ C.$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$ D.以上都不对 3. 下列各组三角形中，一定相似的是（） A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形 C.两个等腰直角三角形 D.两个钝角三角形 4. 在Rt△ABC中，$$\angle ACB=90^\circ$$，CD是斜边AB上的高，则图中与△ABC相似的三角形有（） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5. 已知△ABC中，$$\angle A=40^\circ$$，$$\angle B=60^\circ$$；△DEF中，$$\angle D=40^\circ$$，$$\angle F=80^\circ$$，则（） A.两三角形不相似 B.两三角形相似 C.无法判断 D.全等 6. 如图，$$AB\parallel CD$$，AC、BD交于点O，则△AOB∽△COD的依据是（） A.一组角相等 B.两角分别相等 C.三边成比例 D.两边成比例且夹角相等 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形角判定定理：________分别相等的两个三角形相似（简称AA）。 2. 有一个锐角相等的两个直角三角形一定________。 3. 若△ABC中，$$\angle A=35^\circ$$，$$\angle C=90^\circ$$；△MNP中，$$\angle P=90^\circ$$，$$\angle M=35^\circ$$，则△ABC________△MNP。 4. 平行于三角形一边的直线截三角形，得到的小三角形与原三角形相似，本质是利用________判定。 5. 顶角相等的两个等腰三角形________相似（填“一定”或“不一定”）。 6. 在△ABC、△A'B'C'中，$$\angle B=\angle B'$$，只需再满足________，即可判定两三角形相似。 三、解答题（共52分） 13.（12分）根据角的关系，判定下列两组三角形是否相似，并说明理由： (1) △ABC：$$\angle A=50^\circ,\angle B=70^\circ$$；△DEF：$$\angle D=50^\circ,\angle E=60^\circ$$ (2) 两个等腰直角三角形 14.（12分）如图，在△ABC中，$$DE\parallel BC$$。求证：$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$（用两角相等判定）。 15.（14分）如图，$$AB\perp BC$$，$$DC\perp BC$$，AC、BD交于点O。求证：$$\triangle AOB\backsim\triangle COD$$。 16.（14分）已知：如图，Rt△ABC中，$$\angle ACB=90^\circ$$，CD⊥AB于D。 求证：$$\triangle ACD\backsim\triangle ABC$$。 参考答案 1.B  2.A  3.C  4.C  5.B  6.B 7.两角  8.相似  9.相似  10.AA（两角分别相等）  11.一定  12.$$\angle A=\angle A'$$（或$$\angle C=\angle C'$$） 13.解：(1) 在△ABC中，$$\angle C=180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circ$$， ∴$$\angle A=\angle D=50^\circ，\angle C=\angle E=60^\circ$$，两角分别相等，两三角形相似。 (2) 等腰直角三角形三个内角固定为$$90^\circ、45^\circ、45^\circ$$，任意两个等腰直角三角形两角对应相等，因此一定相似。 14.证明：∵$$DE\parallel BC$$，∴$$\angle ADE=\angle ABC，\angle AED=\angle ACB$$， ∴△ADE与△ABC两角分别相等，故$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$。 15.证明：∵$$AB\perp BC，DC\perp BC$$，∴$$\angle ABC=\angle DCB=90^\circ$$，$$AB\parallel DC$$， ∴$$\angle OAB=\angle OCD，\angle OBA=\angle ODC$$，两角分别相等， ∴$$\triangle AOB\backsim\triangle COD$$。 16.证明：∵$$\angle ACB=90^\circ，CD\perp AB$$，∴$$\angle ADC=90^\circ$$， ∴$$\angle ADC=\angle ACB$$，又∵$$\angle A=\angle A$$（公共角）， 两角分别相等，∴$$\triangle ACD\backsim\triangle ABC$$。 命题说明（约420字） 本套练习题适配华东师大版九年级上册22.3.2.1用角的关系判定三角形相似，是相似三角形判定的第一个核心定理，承接相似三角形定义与平行相似模型，沿用整套试卷统一题型、分值与难度梯度，适配课时同步巩固与课堂检测。两角相等（AA）判定相似是中考最常用、考查频率最高的相似判定方法。 习题设计纯基础、强针对性，完全围绕AA判定定理展开。选择题聚焦定理概念、常见相似模型辨析、特殊三角形相似判断，纠正学生“直角三角形一定相似”等易错认知；填空题侧重定理识记、特殊图形角度规律、判定条件补全，夯实判定依据；解答题全部为本节必考经典模型，包含角度计算判相似、平行型相似、垂直对顶型相似、直角三角形斜高相似，覆盖课本所有基础例题题型。 本节核心考点：两角分别相等的两个三角形相似；公共角、对顶角、平行线同位角/内错角相等是找等角的核心突破口；直角三角形、等腰三角形特殊相似规律。整套习题专注训练学生**找等角、证相似**的基础思维，规范几何证明书写，为后续边角判定、综合相似证明与计算夯实核心能力。 （全文约1050字） 问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？ 问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 观察与思考 如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍， 度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形 相似吗？ E 解：相等，因而相似. 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 C B A F 如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 证明： 在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， 交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB， ∴ 知识点两角分别相等的两个三角形相似 1.知识初练 观察下图中的两组图形，相似的一组是 ________(填序号)． 1星题 夯实四基 ① 举一反三 2.【新趋势·开放性问题】如图，AB与CD相交于点O，连结AC，BD，添加一个条件，使△ACO∽△BDO.你添加的条件是________________________． ∠A＝∠B(答案不唯一) 举一反三 3．[福建莆田期末]如图，点D，C分别在AB，AE上，BC交DE于点F，∠B＝∠E，AB＝5，AE＝3，BC＝4，则DE的长为________． 举一反三 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 归纳： 如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量. A B C D E F 不相似 探究归纳 归纳： 如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似. 注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.  如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. ∴△ABC∽△ADE. 练一练 证明： 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长． A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD， ∴ △ABC ∽ △DCA， ∴ ， ∴ 画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ 利用三边对应成比例判定两个三角形相似 合作探究 A B C C′ B′ A′ ∴ DE =B′C′，EA = C′A′. ∴△ADE ≌ △A′B′C′ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∴ ， . 又 ，AD = A′B′， ∴ ∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E. 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′， C′ B′ A′ B C A D E △ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ 归纳总结 4．如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中与△ADE相似(本身除外)的三角形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 举一反三 5．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　) B 举一反三 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若CD＝1，BD＝4，则AD＝(　　) A．2 B．3 A 举一反三 利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 1.如图，已知 ，试说明∠BAD =∠CAE. 解：∵ ， ∴△ABC∽△ADE . ∴∠BAC =∠DAE . ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC， 即∠BAD =∠CAE . 练一练 A D C E B 2. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 方法归纳 7．[浙江宁波期末]如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，求证：△ADF∽△DEC. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°， ∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＋∠B＝180°，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. 举一反三 8．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠DAC＝∠3＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE. ∵∠2＝∠3，∠COD＝∠AOE，∴易得∠C＝∠E， ∴△ABC∽△ADE. 举一反三 9．浙江杭州期末如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F. (1)求证：△ABC∽△FCD； 证明：∵AD＝AC，∴∠ACB＝∠FDC. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 又∵DE⊥BC，∴易得EB＝EC， ∴∠ABC＝∠FCD，∴△ABC∽△FCD. 举一反三 思路引导 　　AD与DF是对应边吗？若不是，则需进行等量代换，是否存在与AD或DF相等的线段？ 举一反三 10.【新情境】数学实验课上，小明将两个完全相同的等腰直角三角形ABC与AFG摆成如图所示的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是(　　) A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC C 2星题 提升四能 举一反三 11.(跨学科·物理)如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上的点C(0，2)反射后经过x轴上的点B，则点B的坐标为________． (6，0) 思路点睛：首先过点A作AD⊥y轴于点D，易证得△ACD∽△BCO，由点A(3，3)，C(0，2)可求得OC，AD，CD的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OB的长，即可得出点B的坐标． 举一反三 12．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD＝ ________． 3 举一反三 13．[浙江杭州期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P是斜边AB上的一点，且AP＝2，过点P作一直线，与Rt△ABC的边交于点D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，求PD的长． 举一反三 举一反三 相似三角形的判定定理3:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的判定定理: 相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理2:如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似. 注意:对应相等的角一定要是两条对应边的夹角. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS A．4 B．4 C．6 D．4 C．2 D．2 解：∵△ABC∽△FCD，∴＝， ∵AD＝AC，BC＝BD＋CD＝2CD，∴＝＝2. (2)求的值． 点拨：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD＋∠ADC＝120°.∵∠ADE＝60°，∴∠BDE＋∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴＝.设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴＝，∴AD＝3. 解：由勾股定理可得AB＝5.分以下三种情况： 如图①，过点P作PD∥BC，交AC于点D，则△ADP∽△ACB，∴＝，即＝，解得PD＝. 如图②，过点P作PD∥AC，交BC于点D，则△PBD∽△ABC，∴＝，即＝，解得PD＝. 如图③，过点P作DP⊥AB，交AC于点D，则∠APD＝∠C＝90°.∵∠DAP＝∠BAC，∴△ADP∽△ABC，∴＝，即＝，解得PD＝.综上，PD的长为或或. $