第1章 专题3 特殊平行四边形中的定值、最值问题&问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

专题三 特殊平行四边形 类型1特殊平行四边形中的定值问题 (一)利用面积法解决定值问题 1.一题多变思维延伸如图，在正方形ABCD 中，对角线的长为10cm,P是CD上任意一 点，过点P分别作PE⊥BD,PFL AC,垂足 分别为E,F,则PE十PF的值为 cm. (第1题图) (变式题1图) 【变式题1】一点引两垂线，正方形矩形 如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,对 角线AC,BD相交于点O,P是线段AD上 任意一点，PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点 F,则PE+PF的值为 【变式题2】一点引两垂线，矩形→菱形 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,BD=16,G是BD上 的动点，GE⊥AB于点E,GF⊥AD于点F. (1)求AC的长及菱形ABCD的面积. (2)当点G在对角线BD上运动时，GE+ GF的值是否发生变化？请说明理由. 名师总结：在特殊平行四边形中，对于上述几题中由 一点引出两条垂线，求线段和的定值问题，常用同一 面积的不同表示形式来解决。 19第一章特殊平行四边形 中的定值、最值问题【热点】 (二)利用全等进行转化解决定值问题 2.(教材P23习题T9变式)如图，在正方形 ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，过点 O作射线OM,ON,分别交BC,CD于点E, F,且∠EOF=90°，OC交EF于点G.有下列 结论：①△COE≌△DOF;②△EOF≌ △BOC;③DF2+BE=2OE;④正方形 ABCD的面积是四边形CEOF的面积的4 倍，其中正确的是 A.①②③ B.①③④ C.①②④ D D.①②③④ 3.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD= 120°，△AEF为等边三角形，点E,F分别在 菱形的边BC,CD上滑动，且点E,F不与点 B,C,D重合 (1)求证：BE=CF. (2)当点E,F在BC,CD上滑动时，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，说明理由. 类型2特殊平行四边形中的最值问题 (一)利用“垂线段最短”求最小值 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,E为边AD上的一个动点，∠BAD= 120°，菱形ABCD的周长为24，则OE长的 最小值为 (第4题图) (第5题图) 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3, BC=4,M是边AB上一点（不与点A,B重 合)，作ME⊥AC于点E,MF⊥BC于点F, P是EF的中点，则PF长的最小值是 (二)根据“对称性十两点之间线段最短”求最 小值（将军饮马问题变式） 名师点拨：本质是利用特殊四边形的对称性找到定，点 的对称，点，再根据两点之间线段最短求最值，如图所示， 两定一动型 两定两动型 6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是 边AD的中点，P是对角线BD上的一个动 点，则线段PA十PE的最小值是 (第6题图) (第7题图) 7.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB= 60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则 EF+BF的最小值为 (三)根据“对称性十垂线段最短”求最小值（化 折为直，化直为垂) 8.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°， G是边CD的中点，E,F分别是AG,AD上的 两个动点，则EF+ED的最小值是 (第8题图) (变式题图)》 【变式题】如图，已知菱形ABCD的边长是 6,M是对角线AC上一动点，且∠ABC=120°， 则MA+MB+MD的最小值是 (四)其他常见的最值问题 9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F 分别是BC,CD上的动点，M,N分别是EF, AF的中点，则MN长的最大值为 【延伸问】MN长的最小值为 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,M 是平面内任意一点，连接AM,DM,N是 AM的中点，连接BN.若DM=4,则BN 长的最大值为 11.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E, F分别在BC,CD上，连接AE,BF.若DF+ EC=2,则AE十BF的最小值为 R 数学九年级上册配BSD版20 问题解决活动：作内嵌 【定义】若一个正方形内部嵌套一个正八边形， 且正八边形至少有四个顶点分别落在正方形 的四条边上，我们便称这个正八边形内接于该 正方形 【观察判断】下图中可以称为正八边形内接于 正方形的是 ,(填序号) (① ② 【动手操作】尺规作图：小晓用尺规分别作出了 内接于正方形ABCD的两个正八边形 A BC DEFG H A2 B2 C2 D2E2 F2G2 H2, 作图痕迹如图所示 【折纸探究】用一张正方形纸片，能否通过折叠 得到一个正八边形？小明给出了如下步骤，请 你按照这个步骤试试，看最后折出的纸是否是 正八边形， ④ 把甘字线 基醋立起三角4处均接沿虚錢 完成 成会线 正月形形后最开同样方法处剪开 对角线辑藏 后展用 由蜂线，沿 辑痕重叠 【回顾反思】无论是尺规作图还是折纸方法，都 利用了图形的轴对称性： 正方形有 条对称轴，正八边形有 条 对称轴.这种对称性是实现“内接”与“正多边 形”构造的关键。 【类比迁移】当一个矩形的四个顶点在已知菱 形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接 矩形 21第一章特殊平行四边形 于正方形的正八边形 【提出问题】菱形的内接矩形有哪些不同情形？ 【解决问题】小伟与小玲分别给出了回答，张老 师听完后指出：该表述不够严谨，此类问题还 存在一种特殊形式—一顶点重合式.请根据对 话画出相应草图， 矩形的两组对边分别平行于 菱形的对角线 矩形项点在菱形边上，对边 不与对角线平行 【思考】已知菱形ABCD,请在草稿纸上用尺规 作出它的内接矩形EFGH.动手试试吧！ 【拓展探究】如图，已知菱形ABCD,请仅用无 刻度直尺按照下面要求作图： (1)如图①，E,F分别为AB,BC的中点，作出 它的内接矩形EFGH;(保留作图痕迹) (2)如图②，E为边AB上一点，作出它的内接 矩形EFGH.(保留作图痕迹) C 图① 图大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.D2.75°3.44.证明：(1)，四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,∠B=∠D=90°. 由折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.,∠AEB=∠CEF,,∴.△ABE ≌△CFE(AAS).(2):△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.△AEC是等腰三角形.(3)解： 设CE=AE=x.四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8...BE=BC-CE=8一x.在 Rt△ABE中，BE2十AB2=AE,即(8-x)2十42=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证 明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,.2(∠PAB十∠PAD)= 180°，即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°.∴.四边形 ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,“.AF=号ER,同理 可得CG=之GH.四边形EFGH是菱形，∴.EF=GH,EF∥GH.∴AF=CG,AF∥ CG..四边形ACGF是平行四边形..FG=AC.四边形ABCD是矩形，.BC=AD =√6，∠ABC=90.∴.AC=√AB+BC=3.∴.FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：，四边形ABCD是正方形 .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE AF,∠ABE=∠DAF..∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，.∠BAO+∠ABE=90° ∴∠AOB=180°-（∠BAO十∠ABE)=90°..AF⊥BE.∴.AF与BE等长，且互相垂 直.【变式题1】4【变式题2】3√22.(1)证明：在AB上截取BM=BE,连接ME ·四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∠BAE+∠AEB= 90°.：BM=BE,·△BEM是等腰直角三角形，AM=EC.∴.∠BME=45°..∠AME =180°-∠BME=135°..EF⊥AE,..∠AEF=90°.∴.∠AEB+∠CEF=90° ∴.∠BAE=∠CEF.:∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF= ∠GCF=45°.∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°..∠AME=∠ECF=135. ∴△AME≌△ECF(ASA).∴.AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如下：延长BA至点H 使AH=CE,连接HE.:四边形ABCD是正方形，∴.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC. BH=BE,∠HAD=90°，∠DAE=∠AEB..△BEH是等腰直角三角形..∠H= 45,CF平分∠DCE,∠ECF=2∠DCE=45.∠H=∠ECF.“∠AEF=90, .∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB.∴.∠HAE=∠CEF..△AEH≌△EFC (ASA)..AE=EF.3.解：(1)·四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB =AD.∴∠ADG=90°=∠B.:DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS).∴.∠DAG= ∠BAE,AE=AG..∠FAG=∠FAD十∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF= 45°，即∠EAF=∠FAG..AF=AF,.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF= DF十DG=DF十BE,即EF=BE十DF.(2)DF=EF十BE.证明如下：在CD上截取 GD=BE,连接AG.同(1)可证△AEB≌△AGD,∴.AE=AG,∠EAB=∠GAD.又 ∠BAG+∠GAD=90°，.∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD十∠BAG=90°. ∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°.∴.∠EAF=∠GAF.:AF=AF,.△EAF≌ AGAF(SAS)...EF-FG..FD-FGDG..'.DF=EFBE. 专题三 特殊平行四边形中的定值、最值问题【热点】 1.5【变式题1唱 【变式题2】解：(1)：四边形ABCD是菱形，AO=CO,AC」 BD,B0=号BD=8.在R△AB0中，A0=√AB-BO=6.AC=2A0=12. “S霜n=AC·BD=96,(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题 意，得Sam=号Sm=SA十Sm,即号X96=分X10GE+合×10G,GE +GF=9.6.,.GE+GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：四边形ABCD是菱 形AD/BC,∠BAC=号∠BAD=60.∴∠B=180-∠BAD=60.△ABC为等 边三角形.∴.AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，∴.AE=AF,∠EAF=60 ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE≌△ACF(SAS) ∴BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化.，△ABE≌△ACF,.S△AE S△ACF.∴.S四边形ABF=S△AEC十S△ACF=S△Ar十S△ABE=S△ABC.由(1)知△ABC为等边三 角形，过点A作AH_BC于点H.易得AH=2,S=子×4X2B=4V5, S边形c=SAx=45.4.3)55.1.26.57.尽8.35【变式题6V5 9.√2【延伸问】110.2+21311.25 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH 的三种草图如图所示 D(H) C(G 52 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半 直角相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角 相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.△EAC 是等边三角形，.EA=EC..EO⊥AC..四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边 形ABCD是菱形，OA=OC=AC=4,OB=OD.在Rt△AOB中，OB= √AB2-OA平=3..OD=OB=3.:△EAC是等边三角形，.AE=AC=8.在 Rt△AOE中，OE=JAE2-OA2=4W3,..DE=OE-OD=4W3-3.5.C6.20 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABC十∠DCB=180°. :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,·∠EBC=号∠ABC,∠ECB=是∠BCD, ∴.∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB) =90°.四边形BECF是平行四边形，∴.四边形BECF是矩形.(2)解：：四边形ABCD 是平行四边形，AD=4,∠A=120°，.AD∥BC,BC=AD=4.∴.∠ABC=180°-∠A= 60.∠CBE=2∠ABC=30,由(1)知∠BEC=90,·CE=2BC=2.BE √BC-CE=2V5.由(1)知四边形BECF是矩形，∴.Sm边形F=BE·CE=4√5. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，·AD=BC, AD∥BC.·∠ADE=∠CBF.又DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接 AC,交BD于点O.,四边形ABCD是正方形，∴.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD= 号BD=5.:DE=BR,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OE.“四边形AECF是平行四 边形.又'BD⊥AC,.四边形AECF是菱形，EF=2OF.四边形AECF的周长为 4AF=4√34，∴.AF=√34.在Rt△AOF中，OF=AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.解：(1)AH=CH十√2BH.理由如下：，四边形ABCD与四边形D BEFG都是正方形，∴.AB=BC,BE=BH,∠ABC=90°，∠EBH=90°. ∴.EH=√2BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG.∴.△ABE≌△CBG M (SAS)...AE-CG...AH=AEEH=CH/2BH.(2)AH=CH+ A 3B √2BH,理由如下：在AE上截取AM=CH,如答图①.由(1)得△ABE 答图① ≌△CBG(SAS),∴.∠1=∠2.：AB=BC,∴.△MAB≌△HCB(SAS).∴∠3=∠4，BM =BH.:∠5=90°-∠4-∠EBC,∠6=90°-∠3-∠EBC,∴∠5=∠6，∴∠MBH= ∠6+∠EBC+∠4=∠5十∠EBC+∠4=∠EBG=90°.∴.△MBH是D 等腰直角三角形.∴.MH=√2BH.:AH=AM十MH,∴.AH=CH十 √2BH.(3)CH=AH十√2BH.理由如下：在CG上截取CM=AH,如 答图②.由(1)得△ABE≌△CBG(SAS),∴.AE=CG,∠1=∠2.：BCA =AB,.△ABH≌△CBM(SAS)..BH=BM,∠3=∠4.同理， △MBH是等腰直角三角形，，.MH=√2BH..CH=CM十MH, 答图② .CH=AH+√2BH. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.B2.C3.3x2-7=02x2-4x+5=0x2-3x-4=03210-4-3 -75-44.C5.x(12-x)=32x2-12x十32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得 2x=(2-x)2.化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得(x -2)2十x2+(x十2)2=251.化成一般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.53.一94.C5.解：假设能围成，设矩形花圃的长为xm,则宽为(20一x)m. 一 53 根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x2-20x十75=0.用列表法估算方程的解，可得 x1=5,x2=15.当x=5时，20-x=15;当x=15时，20-x=5.答：能围成一个面积为 75m的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20348.x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251-号×10=15.用 列表法估算方程的解，可得t1≈0.7，t2≈4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点 15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 基础过关 1.C2.D3解：1)整理，得=-要”-罗<0方程没有实数根，(2)移项，得 (x-5)2=9.两边开平方，得x-5=±3，即x-5=3,或x-5=-3..x1=8,x2=2. (8)两边开平方，得3x-1=士9，即3x-1=9,或3x一1=-9.∴=号，=-令. 41D93(2)号号(3)品是5D6解：1)移项，得x+10x=-8.配方， 得x2+10x (受)=8+（号），即+5=1，两边开平方，得x+5=士， 即x+5=√17，或x十5=-√17..x1=-5十√17，x2=-5-√17.(2)移项，得x2 4x=-1.配方，得2-x十（受）=-1十（合），即(x一2)=8两边开平方，得x 4 2=±√5，即x-2=√5，或x-2=-5.x1=2十√5，x2=2-5.7.5 能力提升 8.C9D10.C1.解：1)整理，得(2x+1)-2空两边开平方，得2x+1=±号， .5 4 即2x十1= 号，或2x1=-号=是=-子.(2)整理，得2-25x=3.配 方，得-26十(2兰)=3十(2受)即(=8两边开平方，得一后= 士2√2，即x-5=2√2，或x-√5=-2√2.x1=5+2√2，x2=√5-2√2.(3)整理， 得-9x=-9,配方，得7-9x+(号)=-9+（号），即(-号)=织两边开 2 9-3√5 2 思维拓展 12.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4..(x十2)2-42=4. .(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=±25..x1=-2+25,x2=-2-25. 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 基础过关 2、 1.B2.A3.解：1)两边都除以2，得r+2x=3.配方，得r+2x+(）=3+ (号)即(x十1)=4.两边开￥方，得x十1=士2.即x十1=2，或x十1=一2.∴ 1,=-3(2)移项，得5-2x=3.两边都除以5，得2-子x=子配方，得2 号十（合×号）=号+（宁×号）即（一日）广-是两边开平方，得日 1 2 2 一2两边都除以号得2-8x=一4.配方，得-8x十（受）=一4什（受），即x 8 4)=12.两边开平方，得x-4=士2√3，即x-4=2√3，或x-4=-2√3.∴=4十 2V5,x2=4-2√5. 能力提升 4.D5.三 6-3或号 7.解：(1)整理，得2x2一8.x=10.两边都除以2，得x2-4x= 5.配方，得x2-4x十（ 号)=5十（号），即(x-2=9.两边开平方，得x一2=士3， 即x-2=3,或x-2=-3.∴=5，x2=-1.(2)整理，得3x2十2x=-1.两边都除以 3得2十号= 合配方：得2+号+（合×号）=一合十（合×号），即( 吉)=一号一号<0方程没有实数根 54