07简单绝对值复合函数的值域求解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦含绝对值函数的值域求解，通过基础训练与能力提升分层设计，构建从单一知识点应用到综合问题解决的巩固路径，培养数学几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|绝对值函数值域、零点个数等单一知识点|直接应用去绝对值法，如求函数值域、曲线交点个数| |能力提升|方程实根分布、恒成立问题等综合应用|结合图像翻折转化，如含参数方程多解、区间零点问题|

含绝对值函数的值域求解（讲） 解法提示：一般含绝对值的函数有两种处理方法 1）首先利用绝对值的性质去掉绝对值，然后再根据分段函数求每个区间中函数的值域，最后将这些函数的值域取并集即可. 2）利用绝对值对部分函数图像的翻折变化，将代数问题转化为图象几何问题进行求解. 常见的绝对值函数的图象变化关系如下图所示. 绝对值函数形式 图象变化规律 先画出部分的图象，然后关于轴对称得到全部图象 先画出部分的图象，然后将的图象关于轴对称得到全部图象 变化示意图 【例1】1.已知与直线有两个交点，则的取值范围为 . 【例2】2.若与满足方程，则的最大值是___________ 【变式1】3.设与有且仅有两个交点，且交于两点，求的范围. 【变式2】4.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是 . 【变式3】5.若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 基础训练 1.函数的值域为 . 2.已知函数恰有个零点，则的取值范围为___________. 3.设函数，，若曲线与恰有3个交点，则实数的值为___________. 4.已知，若对任意的正实数，总存在，使得．则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数与有三个交点，那么______. 能力提升 6.已知函数，若，则的最小值为__________． 7．已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围是_____． 8．已知函数，若在区间上有2个不同的零点，则的取值范围是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $含绝对值函数的值域求解（讲） 解法提示：一般含绝对值的函数有两种处理方法 x,x≥0 x= 1)首先利用绝对值的性质 -x,x<0去掉绝对值，然后再根据分段函数求每个区间中 函数的值域，最后将这些函数的值域取并集即可. 2)利用绝对值对部分函数图像的翻折变化，将代数问题转化为图象几何问题进行求解. 常见的绝对值函数的图象变化关系如下图所示 绝对值函数形式 f(xD) If()川 先画出x之0部分的f()图 先画出y之0部分的f()图象， 图象变化规律 象，然后关于'轴对称得到全 然后将y<0的图象关于x轴对 部图象 称得到全部图象 y=f(x) y=If(x)引 =f(x) 变化示意图 y=f(x) 1 【例1】1.已知f)lgx利与直线y=m有两个交点，x,写x,<x<x),则+2的取 值范围为 【例2】2若1，）与8(，)满足方程+y+少=1，则-+-的最大值是 【变式1】3设3=+ar-2xG-2,与y=0有且仅有两个交点，且交于，5两点。 的范围， x+4+3,xs-l f(x)= x 【变式2】4.已知函数 log2(c+10x>-1' 若方程 有四个不同的解 f(x)=a(aER) 西西，且<<写<，则++ 的取值范围是 【变式3】5若存在实数4、b使得++sm(+对于任高的e恒破立，则m 最小值为 基础训练 1函数f)=2x-2k-3 的值域为 f(x)x2-31x|+2|-lnm 2.已知函数 恰有4个零点，则m的取值范围为 3.设函数（国-4,8）-+1，若曲线=与=g(四恰有3个交点，则实数 a的值为 4已知)兰，若对任意的正实数a,总存在飞L,使得)2m·则实数m 的取值范围为() A.（-0,0] B.（-o0,1] C.（-00,2] D.(-00,3] 5.函数=-4州与=+有三个交点，那么k 能力提升 6已知正数)-ma--ko.若e0[2m)2) m的最小值为. 7.已知关于x的方程 -2x-4=m有四个不同的实根，则m的取值范围是 8.已知函数 ,若f()在区间(0,4上有2个不同的零点，则k的 取值范围是 含绝对值函数的值域求解（讲）参考答案 10w2, 3 -lgx,0<x<1 f(x)= 【详解】设 lgx,x≥1 〔-lgx=m 由题意lg=m，消去m可得七2=10 +=1042 1 =10在+15 XX2 x2 2x 点=1e写》g0=1+分210w5 设七2 2 t= 当且仅当2时取等号. 再由对勾函数的性质可得 2 的范围为 2.2 x+y 【详解】设2y=” 2， 3+y=1 则原方程化为4”4 cosa u= 2 2 41= cos B 3 设(y=2 sina v=2sinB -5 (coscos)+(sin-sin )+coscosp)-(sina-sin B)) =cos a-cosB,t2 =sina-sin B 20k+6+k-0s22G+y+G-=F+ 当且仅当G+6)》=4-)尸，即cosa-cosB=0或sina-sinB=0时取等号. 所以V4+4=V2-2(cosacosB--sin sin B)=V2-2cos(a+A≤2 当且仅 a+0=-受+2xkeZ 时取等号. 显然两个等号成立条件可以同时成立 -x+以-最大值为2. 所以 3.(0,4) 【详解2r+a-2a在x∈-2.)有且仅有两个解， 即2x2+ax-(2+a)=0或2x2+ax+(a-2)=0 在x∈[-2,1)有且仅有两个解 对于方程2x+ar-(2+0)=0,即x-12x+(a+2》=0 =1,x2=-0+2 解得 2 对于方程x+12x+(a-2》=0 解得 =-1,x2=-0-2 2. 显然，已经存在=-1使得x∈[-2,1)为一个解， 要使恰有两解在x∈-2，)，需满足 -2≤-a-2 <1 -a-2<-2或-a-221 2 2 2 a+2<-2减-a+2≥ -2≤-a+2<1 2 或 2 解得a∈(-4,0]U(2,6) 当ae40,1-5H-1“2号22 当ae(2.61.15-H-1+空2H号长La 综上所述，一的取值范围为，4). 925 4.24 【分析】本题先画出分段函数图像，然后利用数形结合，结合韦达定理分析解答。 yf(x) 【详解】 y-a -13O4衣 x+生+3=4，即+6+ax+4=0,由韦达定理 xx=4,1o8(区+0 1 =log2(x4+1) 1 即店+1+)=1，则+，则 1m+考+龙=（区+1）+1 +2 (x+),由图形可知 1as22<+0s4,又'=+0+ 、+2 (x+1)在2<(：+)≤4单调递增，故范围为 ( 1 5.3 【分析】数形结合，利用将不等式r+m+sm(:+刊 转化为两个函数图像的位置关 系，即y=+ax+bl 的图像始终在y=m(r+) 的图像下方解答即可； 【详解】数形结合：当a=0 时，函数少=x2+ 关于》轴对称， 原不等式等价于y=r+ar+b 的图像始终在y=m(r+) 的图像下方， 画出'=mr+m及y=女+g 的图象， 可得右端点慎2m=6+1,顶点值（函数图家在=0处交点）网办：即=令加号 3 y=mx2+m 解法三：平口单峰：由题意得 对任意的 y=x2+b x2+ax+b ≤m x2+1 x∈[-l, 恒成立， 表据平口单蜂效可得。=0令)-中易得0+0=0：所=一} 所以函数/，)=+h x产+1在区间【-H1,]上的最大值为f(O)=-了，这就是满足条件的最 小，所以mm=max+i3 基础训练 1.人3 ,+j 【详解1f6)-2r-2-引= 2x2-2x+6,x≥3 2x2+2x-6,x<3, 当x3时.f)=2-2*+6=号 函数在B,+切）单调暗，所以2r-2x+6值域为 [18,+oo) 当<3.f=+2x-6=号月 13 所以x2+2x-6的值域为[ 2,o) 13 综上可知f)的值域为2，+o), .wci.u 【分折】届数闭-3引到+2-血m恰有4个零点，等价于y-3引+2与’=血m 的图像有四个交点，根据奇偶性以及单调性和最值，作出() 的草图，即可求得结果。 【详解】对于函数"=r-3+2 显然为偶函数， 不特0.则=r-+2-昌-. 所以根据西数图像的翻折变换与对称变换可作)？-3引2草图如下， x)=x2-3x+2 -2-10 f(x)x2-3引x|+2|-lnm 因为 恰有4个零点， 所以方程 2-3引x+2非血m有四个不同的解， 即’r-3引x+21与y=血m 图像有四个交点， 1 所以4hm<2或nm=0解得 3.1 【分析】结合偶函数的对称性可知除对称轴x=0处以外两偶函数图象的交点成对出现，由 f(0)=80)即可得“的值，并代入检验即可： 【详解】易知函数 f(x)g(x 均为偶函数，除对称轴=0处以外两偶函数图象的交点成 对出现 由曲线”=（四与”=8（四恰有3个交点可知， f(0)=g(0) 即41 ,解得0=1或1. 当a=-1时.f(=r+刊，g()=-+1 由图象分析可知恰有1个交点，不符合题意： =fx) 入y=g(x) 210 当a=1,f(-r2-lg()-=网+1 由图象分析可知符合题意。 =g(x y=f(x) 4.D 11 【分析】确定函数f)在[L,4]上的最大值，再按0<a< 4’4 <a≤1,1<a<4,a≥4分类讨论， 进而求出m的范围。 【并a>0委资一=世在机1都华调速减则同数y子 在L,4上单调 递减， 当xel.利时，1-4a手axs4-a,因t=mx1-如4-a, 当a≥4时.14-a5a-4≥0,1-4a昨4a-1≥15fam≥15 当0sas时，4-a4-al-4a1-a0,f只： 当4<a≤1时，4-d=4-a≥3,1-4ad=4a-1>0,f)m≥3： 当l<a<4时，l4-a昨4-a>01-4a4a-1>3fm>3 对任意的正实数“，当，利时，m≥3 恒成立， 由总存在6∈几，4 ,使得，)2m 得ms3 所以实数m的取值范围为(-0,3]. 5 54或4 【分析】画出函数=r-4 和函数y=一x+k的图象，借助图象求解 【详解】在同坐标系中面出酒数)口-4纠和函数=一x+大的图象，如图所示， y=4x-x21 4 y=-x+k 有两种情况满足题意： 种情况是少=一+过4,0 点，解得k=4 另一种情况是”=-x+k与y=4x-x 与 相切， y=-x+k 由y=4x-x2,得x2-5x+k=0,4=(-5)-4=0, 解粉6空 25 综上k=4或4· 能力提升 6号 【分析】先化简函数 ),求出函数在所给条件下的值域，根据 ,问题转化为求f(≥f）,分析求解即 可 【详解】当cosx>0时，即-2 +2m<x<+2keZ时， f闪=snx-os对=sm-cosx=2smg-)】 当。s50时，即受+2≤s经+2aeZ时， f)-sn-os对=nx+cosx=5sm+到】 f(x)= me+2+2e7 所以 当0时.四-m-.令=[0 0 此时y=V2sint在4门上单调递增，所以y∈[-l,0], [引的0。 由题意可得 )≥f)-,所以sm≤-1 3π5π 因为f()在4’4上单调递减，且f()=-1, 所以要使得f(:)≤-1，则2m≥即m的最小值为2 7.0,6-42 【分析】设'=-x+6x- 的切线为'=“，根据导数的几何意义，求出及k值，结合图 象分析，即可得答案 【详解】如图，设"=-r+6r-8的切线为y=:,设切点4(，+6x-8), y=(x-2)x-4)川 y-kx 则'-2+6 =-2x+6 所以在A处切线的斜率 则切线方程为'=(-2，+6x-)-2+6x-8=(-2x+6)x+x2-8=: 所以-8=0，解得6=2 2或22（合）， 则k=-2x,+6=6-42 结合图形知m的取值范围是 0,6-4V2) 8 9 【分析】由题意，转化为函数y=x+和函数y=nk在0,4上有两个交点，作出函数图 9 f(x)=x+2-lnk(k∈R) 象，数形结合求解即可 f()-x+9-Ik 【详解】函数 在区间(0,4]上有2个不同的零点， 9 x+--Ink= 台方程x 在x∈(0,4]上有2个不同的实数解， 9 s方程x+l血k在x∈(0,4]上有2个不同的实数解， 9 白函数y=x+ x和函数y=lnk在(0,4]上有两个交点. 令8(y=x+9 ,因为g()在(0,3]上单调递减，在(3,4上单调递增， 所以g)在x=3处取得最小值为6，又由84=4+？-25 44, 当x→0时，gx)→+o0 如图， 嗥 25 y=8(x) 6 iy=Ink 3 4 当6<hks25 25 ,解得e5<k≤e时， 25 9 函数少=x es,e x和函数y=nk在(0,4]上有两个交点，故k的取值范围是