3.1.1 函数的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念，涵盖定义域、对应关系、值域三要素，区间表示及同一函数判断。通过回顾初中函数定义与解析式，结合“复兴号”运行路程、工人工资等现实问题导入，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接初高中知识脉络。 其亮点在于以现实情境引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过问题链归纳函数本质培养数学思维，用表格对比、例题分类（定义域求法、值域四法、同一函数判断）系统梳理知识发展数学语言。助力学生深化概念理解，教师可借助清晰逻辑提升教学效率。

人教A版必修一数学教学同步课件 第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 学习目标 1. 能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素,并能正确使用区间表示数集； 3. 能求简单函数的定义域及函数值； 4. 会判断两个函数是否为同一个函数. 知识回顾 1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？ 2.初中对函数是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 正比例函数： ； 反比例函数： ； 一次函数： ； 二次函数： . 函数的概念 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h） 的关系可以表示为 . S=350t 这里，t 和 S 是两个变量是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是 t 的函数. 思考 有人说：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗？ 函数的概念 问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天. 如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗？ 显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是 w=350 d. 其中，d的变化范围是数集 w的变化范围是数集 对于数集中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资w与它对应. 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 函数的概念 上述问题的共同特征有: 【归纳】上述问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号 f 统一表示对应关系. (1)都包含两个非空数集，用A,B来表示； (2)都有一个对应关系； (3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 函数的概念 函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有_____　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个 函数  函数的记法 y=f(x),x∈A 定义域 x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的　　　  值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的　 　   唯一确定 定义域 值域 函数理解 1.函数有三要素: . 2.函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以当函数的定义域和对应关系相同时,值域也必定相同. 3.理解函数的概念应关注三点: 定义域、值域、对应关系 (1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数; (2) y=f(x)仅仅是函数关系的符号表示,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式; (3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数. 问题探讨 (1)若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域是集合B吗?   (2)在函数的概念中,如果函数y=f(x)的定义域与对应关系确定,那么函数的值域确定吗? f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则函数的值域C是集合B的子集,即C⊆B. 确定. 求定义域 给出函数的解析式求定义域，为使式子有意义，一般考虑： （1）分式中分母不为0； （2）偶次方根被开方数非负； （3）当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 典型例题 【例1】（1）已知f (x)的定义域为[-2,1]，求函数f (3x-1)的定义域； （2）已知f (2x+5)的定义域为[-1,4]，求函数f (x)的定义域． 解：（1） 函数y=f (x)的定义域为[-2,1]，由-2≤3x-1≤1得：x∈[]，故函数y= f (3x-1)的定义域为[]； （2） 函数f (2x+5)的定义域为[-1,4]，∴x∈[-1,4]， ∴2x+5∈[3,13]，故函数 的定义域为：[3,13]． 求值域 求函数值的方法 ①已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． ②求f [g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 常见函数的值域 (1) 一次函数f (x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为 ，值域是 . (2) 二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是 ， 当a>0时，值域为 ， 当a<0时，值域为 . R R R 求值域 求函数值域常用的4种方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； ②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． 典型例题 解：（1）(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． （2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)． 14 函数理解 一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域 ｛｝ ； ｛｝ 区间的概念与表示 各个区间的含义及表示方法如下表所示： 闭区间 开区间 左开右闭区间 左闭右开区间 [] () (] [ 区间的概念与表示 常见区间的含义及表示方法如下表所示： [) () (] () ) 典型例题 【例3】把下列数集用区间表示： (1) {x|x≥－1}； (2) {x|x<0}； (3) {x|－1<x<1}； (4) {x|0<x<1或2≤x≤4} 1、区间是集合的另一种表示形式，注意与不等式的区别。 如：x≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确 知识总结 用区间表示数集的方法： (1) 区间左端点值小于右端点值； (2) 区间两端点之间用“，”隔开； (3) 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4) 以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 同一函数 如果两个函数的　　　　　　相同,并且　　　　　　　　完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.  三要素相同 名师点睛 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相同,譬如f (x)=x+1,x∈R与函数f (t )=t+1,t∈R表示同一个函数. 定义域 对应关系 问题探讨 若两个函数定义域和值域相同,这两个函数是否为同一函数?若不是,请举反例说明. 不一定,函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.如y=x,y=-x,定义域和值域都相同,但不是同一函数. 知识总结 判断两个函数是否为同一函数，应注意三点： （1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即定义域与值域都相同，也不一定是同一函数； （2）函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量/因变量是没有限制的； （3）在化简解析式时，必须是等价变形. 知识总结 判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形. （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. 典型例题 【例4】下列函数中哪个函数与函数是同一个函数？ （1）；（2）；（3）；（4） 【解】函数的定义域为，值域为 （1）中，自变量的定义域为[0,+)，所以（1）不是； （2）中，自变量的定义域为，对应关系化简为，所以（2）是； （3）中，自变量的定义域为，值域为[0,+)， 所以（3）不是； （4）中，自变量的定义域为(，0)(0,+) ， 所以（4）不是； 课后作业 1. 完成课本第63、64、67页练习1; 2. 预习课本3.1.2 函数的表示法. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 【例2】求下列函数的值域： （1） y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； （3）y＝eq \f(2x＋1,x－3)； (4)y＝x＋eq \r(2x－1). （3）(分离常数法)y＝eq \f(2x＋1,x－3)＝eq \f(2(x－3(＋7,x－3)＝2＋eq \f(7,x－3)，显然eq \f(7,x－3)≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4) (换元法)设u＝eq \r(2x－1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))，则x＝eq \f(1＋u2,2)(u≥0)，∴y＝eq \f(1＋u2,2)＋u＝eq \f((u＋1(2,2)(u≥0) 由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥eq \f(1,2). ∴函数y＝x＋eq \r(2x－1)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). (4) {x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]. 解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)； (2) {x|x<0}＝(－∞，0)； (3) {x|－1<x<1}＝(－1，1)； $