第十三章《三角形》讲义与练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义系统梳理三角形的概念与分类、三边关系、高线/中线/角平分线、稳定性，以及内角和定理、外角性质、直角三角形性质等核心知识点，从基础定义到性质应用层层递进，构建完整知识支架。 资料通过“知识精讲+例题解析+即学即练”分层设计，结合实际问题（如木框螺丝距离）培养数学眼光，通过内角和定理证明等发展推理思维，课中辅助教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识与运算能力。

第十三章：《三角形》讲义与练习 13.1：三角形的概念~13.2：与三角形有关的线段 目标导航 1、认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形. 2、掌握并运用三角形三边的关系. 3、了解三角形按边分类的原则和结论. 4、掌握三角形的高，中线及角平分线的概念、画法及相关计算。 5、通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性． 知识精讲 知识点01 三角形及其分类 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． 三角形按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 【知识拓展1】三角形的相关概念 例1．三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【答案】C 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【解析】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义． 【即学即练】 1．如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△AEC中,边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 。 【答案】∠BCE,CE,∠ACE,△ABD,△ABC,△ACE 【解析】在△BCE中,边BE所对的角是∠BCE,∠CBE所对的边是CE;在△AEC中,边AE所对的角是∠ACE,∠AEC所对的边是AC,∠A为内角的三角形是△ABD,△ABC,△ACE. 【知识拓展2】三角形的分类 例2．如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（       ） A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 【答案】B 【分析】根据三角形按照边的分类方法解答． 【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，故选择B． 【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键． 【即学即练】 1．如图所示，图中小椭圆圈里的表示（       ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类：等边三角形属于等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形， ∴A表示的是等边三角形，故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，解题的关键在于能够熟练掌握三角形的分类方法． 知识点02 三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 【微点拨】 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【知识拓展1】已知两边求第三边的范围 例1．已知三角形的两边a和b的长分别为3和8，则第三边c的范围为_________． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 【即学即练1】 1．已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______． 【答案】6或7或8 【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三 边的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，∴7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【知识拓展2】三角形三边关系的应用 例2．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(     ) A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8； 选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10； 选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立； 选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10；故选：B． 【点睛】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键． 【即学即练2】 1．若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是(　　) A．a＋b＋c B．－a＋3b－c C．a＋b－c D．2b－2c 【答案】B 分析：根据三角形三边间的关系判断出原式中每个绝对值符号里面的式子的值的正负，再结合绝对值的代数意义进行化简即可. 【解析】∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0， ∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-（a-b-c）-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故选B. 点睛：解答本题有以下两个要点：（1）熟知三角形三边间的关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边；（2）熟知绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 知识点03 三角形的高线、中线和角平分线 1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 3）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． 5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【知识拓展1】三角形的高线、中线、角平分线相关概念 例1．下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（       ） A．① B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部； 三角形的三条角平分线都在三角形内部； 三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确； ②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误； ③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误； ④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有 ①． 故选A． 【点睛】本题考查了对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，解题的关键是熟练掌握这些性质. 【即学即练1】 1.下列说法正确的是（ ） A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心 B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C．三角形的中线、角平分线、高都是线段 D．三角形的三条高都在三角形内部 【答案】C 【分析】根据三角形重要的线段的相关知识进行判断即可得解. 【详解】A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故A错误； B. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故B错误； C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，故C正确； D. 三角形的三条高不一定都在三角形内部，因为钝角三角形有两个高在三角形的外部，故D错误； 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角形相关线段的知识点判断，熟练掌握三角形线段的相关内容是解决本题的关键. 2．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（       ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 【知识拓展2】三角形的高线、中线、角平分线的画法 例1．网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全△A′B′C′；(2)画出AC边上的中线BD和AC边上的高线BE；(3)求△ABD 的面积 ． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4 【分析】（1）根据平移的性质即可补全△； （2）根据网格即可在边上找一点，使得线段平分的面积，进而可以在图上作出线段；利用格点在图中画出边上的高线即可；（3）根据网格即可求的面积． (1)解：如图所示，△为所求作三角形； (2)解：如图所示，为边上的中线；如图所示，为边上的高线； (3)解：的面积为：． 或者面积．故答案为：4． 【点睛】本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 【即学即练2】 1．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图） （1）∠BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）按角平分线的定义画图即可；（2）按中线的定义画图即可；（3）按照高的定义画图即可． 【详解】解：（1）如图所示：AD即为所求；（2）如图所示：BE即为所求；（3）如图所示：BF即为所求． 【点睛】本题考查了三角形的中线、角平分线和高的画法，解题关键是熟练掌握它们的画法，准确画图． 【知识拓展3】三角形的高线、中线、角平分线的相关计算 例1．在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 【答案】B 【分析】过点B作AC边上的高BD，根据直角三角形的面积公式即可求出BD，从而求出结论． 【解析】解：如图，过点B作AC边上的高BD． ，，即，解得． 的三条高之和为，故选B． 【点睛】此题考查的是三角形的高和三角形的面积公式，掌握三角形高的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键． 例2．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是AB和AC长度的差． 【详解】解：∵AD是中线，∴，∵，， ∴．故选：B． 【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 【即学即练3】 1．如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则______cm． 【答案】30 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案． 【详解】解：，， 平分，，同理：， 即故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出，是解题关键． 2．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时．若AE=4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C =65°，∠B =35°，求∠DAE的度数；②若∠C－∠B =20°，则∠DAE =　 　°． 【答案】（1）6 ；（2）①15°；②10． 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题； （2）①根据三角形内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解；②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°，然后根据三角形内角和用含x的式子表示出∠BAC和∠CAE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠CAD的度数，从而求解． 【解析】解：（1）由题意可知：AE⊥BC，AE=4，△ABC的面积为24， ∴×BC×AE=24，∴×BC×4=24，∴BC=12， ∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=6， （2）①在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =80°， 在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=25° ∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD= ∴∠DAE的度数为∠CAD -∠CAE =15° ②设∠C=x°，则∠B=（x+20）°,在△ABC中，∠BAC=180°-∠C-∠B =（160-2x）°， 在△AEC中，∵AE⊥BC ∴∠CAE=180°-90°-∠C=（90-x）° ∵AD为∠BAC的角平分线 ∴∠CAD= ∴∠DAE的度数为∠CAE- ∠CAD =10° 故答案为：10． 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 知识点04 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【知识拓展1】勾股数 例1．下列图形具有稳定性的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，多边形具有稳定性需要将其分割成三角形来逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A．是一个四边形，四边形不具有稳定性，该选项不符合题意； B．五边形被分成一个三角形和一个四边形，四边形不具有稳定性，该选项不符合题意； C．六边形被分成两个三角形和两个四边形，四边形不具有稳定性，该选项不符合题意； D．五边形被分成三个三角形，三角形具有稳定性，该选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，根据选项中的图形，看其是否全部由三角形构成，结合三角形的稳定性逐项验证是解决问题的关键． 【即学即练1】 1．如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性即可解答． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案．故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 13.3：三角形的内角与外角 知识点01 三角形的内角和定理 1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 【微点拨】 三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识拓展1】运用三角形的内角和定理解决角度问题 例1．有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点B、C，在中，，则的度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在△DBC中，根据三角形内角和定理可得到∠DBC与∠DCB的和，再在△ABC中利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】在△DBC中，∵，∴ ， ∵，∴在△ABC中， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°，熟记三角形内角和是解题的关键． 【即学即练】 1．如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O． （1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数； （3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解； （2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数； （3）仿照（2）的过程进行求解即可． 【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°， ∴∠CBO∠ABC＝20°，∠BCO∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°； （2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°； （3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°∠A，即∠BOC＝90°∠A． 【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【知识拓展2】三角形的内角和定理的证明 例2．在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明． 已知：DEBC．求证：三角形三个内角的和等于180°．证明：过点作直线DEBC． 【答案】见解析 【分析】过点A作DEBC，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180°． 【详解】解：已知：，，是的三个内角， 求证：． 证明：如图，过点作直线．∴，， ∵点D，A，E在同一条直线上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°， ∴，即三角形的内角和为180°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【即学即练】 1. 如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下： 已知：如图，．求证：． 证明：延长，过点作． ∴______（两直线平行，内错角相等）， （_______________）． ∵（平角定义）， ∴． （1）请你补充完善小明方法1的证明过程； （2）请你参考小明解决问题的方法1的思路，自行画图标注好顶点字母，写出方法2证明该结论的过程． 【答案】（1）；两直线平行，同位角相等；（2）见解析 【分析】（1）根据内错角以及平行线的性质回答即可；（2）过点作，利用平行线的性质得到，，进而利用平角的定义得到结论． 【详解】解：（1）根据题意，（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：；两直线平行，同位角相等； （2）证明：过点作， ∴，（两直线平行，内错角相等） 又∵（平角定义） ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明以及平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 知识点02 三角形的外角性质 1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 【微点拨】 1）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． 2）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【知识拓展1】三角形的外角性质的相关计算 例1．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　　． 【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1∠BAC，∠3∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°， ∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC， ∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【即学即练1】 1．如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E在CA的延长线上，∠BAE＝120°，∠C＝40°，求∠BDE的度数． 【分析】根据三角形外角的性质，由∠BAE＝120°，∠C＝40°，得∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝80°．根据角平分线的定义，由BD平分∠ABC，得∠CBD．，从而推断出∠BDE＝∠C+∠CBD＝80°． 【解答】解：∵∠BAE＝120°，∠C＝40°，∴∠ABC＝∠BAE﹣∠C＝120°﹣40°＝80°． ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD．∴∠BDE＝∠C+∠CBD＝40°+40°＝80°． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、角平分线的定义是解决本题的关键． 【知识拓展2】外角的性质定理的相关证明 例2．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，是的外角． 求证：． 下列说法正确的是（ ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1用严谨的推理证明了该定理 C．证法2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D． 【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意； B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意； C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择： 【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨． 【即学即练2】 1．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角． 求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360 (1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： (2)根据第二种思路，完成证明． 【答案】(1)①；②；③；④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和以及外角性质填写即可； （2）过B作BM∥AC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角360°证明． 【解析】 (1)①根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为：； 根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写，+， 故答案为：②；③，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)过B作BM∥AC，∴, ∵∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知识点03 直角三角形的性质 1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【知识拓展1】直角三角形的性质 例1．△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据三角形的面积和定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【即学即练1】 1．直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 　 　． 【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x， 则x+5x＝90°，解得：x＝15°，则较小的一个锐角为15°，故答案为：15°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝ 　． 【分析】取CF的中点T，连接DT，AT，证明AT⊥CF，AC＝AF，得到∠AFC＝45°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【解答】解：取CF的中点T，连接DT，AT， ∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DTCF， ∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD， ∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°， ∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF， ∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°， ∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，故答案为：77°． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是正确添加常用辅助线． 趁热打铁 1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是( ) A．59° B．60° C．56° D．22° 2．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为( ) A．2 B．1 C． D． 3．不一定在三角形内部的线段是(　　) A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上皆不对 4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 5．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列说法正确的是( ) ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 8．如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 能力提升练 1．已知∠AOB=3∠BOC,射线0D平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为________. 2．下列叙述正确的是( ) ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点． A．②④ B．①②④ C．③④ D．④ 3．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________ 4．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差． 5．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：． 6．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数. 培优拔尖练 1．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数． 2．如图，在中，，边上的高，为边上任一点，于点，于点，求的值. 3．如图(1)所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A． 变式1：如图(2)所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A． 变式2：如图(3)所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A． 4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． (1)如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； (2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明； (3)如图3，在 (2)的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 趁热打铁答案 1．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是( ) A．59° B．60° C．56° D．22° 【答案】A 【详解】 根据题意可得，在△ABC中，，则， 又AD为△ABC的角平分线， 又在△AEF中，BE为△ABC的高 ∴ 考点：1、三角形的内角内角之和的关系 2、对顶角相等的性质. 2．如图，在中，分别为的中点，且，则S阴影为( ) A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解． 【详解】 解：∵D、E分别是BC，AD的中点， ∴S△CDE=S△ACD，S△ACD=S△ABC， ∴S阴影=S△ABC=×4=1． 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 3．不一定在三角形内部的线段是(　　) A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．以上皆不对 【答案】C 【详解】 试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部， 直角三角形的高线有两条是三角形的直角边， 钝角三角形的高线有两条在三角形的外部， 所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高. 故选C. 4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【详解】 试题分析：因为直角三角形的三条高线的交点是直角顶点，而其他三角形三条高线的交点都不在顶点上，所以如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形． 故选B． 点睛：本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键． 5．给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】 试题分析：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； 三角形的角平分线是线段，故②错误； 三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故③错误； 所以正确的命题是④⑤，共2个． 故选B． 6．下列说法正确的是( ) ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】 根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可． 【详解】 ①三角形的角平分线是线段，说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． 故选D． 【点睛】 本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 7．如图，小明的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学角度看，这样做的原因是______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】 钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性 故答案为：三角形的稳定性 8．如图在△ABC中,∠A=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，则∠D的度数为___. 【答案】 【解析】 【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE，再根据角平分线的定义可得∠DBC= ∠ABC，∠DCE=∠ACE，然后整理可得∠D=∠A． 【详解】 由三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠DCE， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D， ∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE， ∴ (∠A+∠ABC)=∠D+∠ABC， ∴∠D=∠A， ∵∠A=50°， ∴∠D=25°； 故答案为：25°. 【点睛】 此题考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解题关键在于得到∠D=∠A． 题组B 能力提升练 1．已知∠AOB=3∠BOC,射线0D平分∠AOC,若∠BOD=30°,则∠BOC的度数为________. 【答案】15°或30°． 【解析】 【分析】 根据题意先画出图形，分两种情况讨论∠BOC在∠AOB内部和∠BOC在∠AOB外部时，先根据∠AOB=3∠BOC，可设∠BOC=x，则∠AOB=3x，再根据角平分线的定义，将各个角用含有x的式子表示，最后根据∠BOD=30°，即可求出x的值，从而得出∠BOC的度数． 【详解】 如图1，当∠BOC在∠AOB内部时， ∵∠AOB=3∠BOC， ∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=2x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠DOC=∠AOC=x， ∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=2x， ∵∠BOD=30°， ∴2x=30°， ∴x=15°， 即∠BOC=15°； 如图2，当∠BOC在∠AOB外部时， ∵∠AOB=3∠BOC， ∴设∠BOC=x，则∠AOB=3x， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=4x， ∵OD平分∠AOC， ∴∠DOC=∠AOC=2x， ∴∠BOD=∠DOC-∠BOC=x， ∵∠BOD=30°， ∴x=30°， 即∠BOC=30°． ∴∠BOC的度数为：15°或30°． 故答案为：15°或30°． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质以及角的计算，根据已知画出相应的图形是本题的关键，注意有两种情况，不要漏解． 2．下列叙述正确的是( ) ①三角形的中线、角平分线都是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条高交于一点；④三角形的三条角平分线交于一点． A．②④ B．①②④ C．③④ D．④ 【答案】A 【分析】 分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】 解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，说法正确． 故选：A． 【点睛】 本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 3．如图，已知△ABC的周长为27cm，AC＝9cm，BC边上中线AD＝6cm，△ABD周长为19cm，AB=__________ 【答案】8 cm． 【详解】 ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∵△ABC的周长为27cm，AC＝9cm， ∴AB+BC=27－9=18 cm，∴AB+2BD=18 cm， ∵AD＝6cm，△ABD周长为19cm， ∴AB+BD=19－6=13 cm， ∴BD=5 cm， ∴AB=8 cm， 故答案为8 cm． 4．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差． 【答案】⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm. 【分析】 (1)利用直角三角形面积的两种求法求线段AD的长度即可；(2)先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；(3)由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)，化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求解． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高， ∴AB•AC=BC•AD， ∴AD= =4.8(cm)， 即AD的长度为4.8cm； (2)如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm， ∴S△ABC=AB•AC=×6×8=24(cm2)． 又∵AE是边BC的中线， ∴BE=EC， ∴BE•AD=EC•AD，即S△ABE=S△AEC， ∴S△ABE=S△ABC=12(cm2)． ∴△ABE的面积是12cm2． (3)∵AE为BC边上的中线， ∴BE=CE， ∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm)， 即△ACE和△ABE的周长的差是2cm． 【点睛】 本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两两种表达方式求线段AD的长． 5．如图，已知在中，，AD是BC边上的高，AE是的平分线，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】 试题分析：根据三角形内角和定理以及AD是BC边上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根据AE平分∠BAC，求得∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解． 试题解析：∵AD是BC边上的高， ∴∠BAD=90°-∠B． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-∠C． ∵∠DAE=∠BAE-∠BAD， ∴∠DAE=(90°-∠B-∠C)-(90°-∠B)=∠B-∠C=(∠B-∠C)． 6．如图，的两条外角平分线交于点，，三角形的内角和为，求的度数. 【答案】. 【解析】 【分析】 先由三角形的内角和定理求出，然后再根据补角及角平分线的性质求出，最后再根据三角形的内角和定理求出∠P即可. 【详解】 解： 平分，平分 【点睛】 本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及补角的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键. 题组C 培优拔尖练 1．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数． 【答案】∠CDF=72°． 【详解】 试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数． 试题解析：∵∠A=40°，∠B=76°， ∴∠ACB=180°﹣40°﹣76°=64°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE=32°， ∴∠CED=∠A+∠ACE=72°， ∴∠CDE=90°，DF⊥CE， ∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°， ∴∠CDF=72°． 2．如图，在中，，边上的高，为边上任一点，于点，于点，求的值. 【答案】10 【分析】 连接AP，由三角形ABC的面积等于三角形APB与三角形APC面积的和，根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】 连接， ∵CD⊥AB，，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，正确添加辅助线是解题的关键. 3．如图(1)所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90+∠A． 变式1：如图(2)所示，∠ABC，∠ACD的平分线交于点O，求证：∠BOC=∠A． 变式2：如图(3)所示，∠CBD，∠BCE的平分线交于点O，求证：∠BOC=90-∠A． 【答案】见解析 【分析】 (1)先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A； 变式1：根据BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，由三角形外角性质可得；∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1，两式联立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1，即∠BOC=∠A． 变式2：根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB)；根据三角形内角和定理可得∠BOC=90-∠A.. 【详解】 (1)证明：在△BOC中， ∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB， ∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∴2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB)， ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴2∠BOC=180°+∠A， ∴∠BOC=90°+∠A； 变式1：∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线， ∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD ∵∠2、∠ACO分别是△BCO、△ABC的外角 ∴∠2=∠1+∠O，∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1， ∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1， ∴∠BOC=∠A． 变式2：∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分线. ∴∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB)， 由三角形内角和定理得，∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC， =180°- [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]， =180°- (∠A+180°)， =90°- ∠A； 【点睛】 本题考查三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题． 4．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． (1)如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； (2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明； (3)如图3，在 (2)的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解； (2)∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及(1)结论即可求解； (3)∠A+∠C=2∠P，由(2)结论以及角平分线的性质即可得到. 【详解】 (1)如图1,延长AD交BC于E， 在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º， 在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ； (2)∠A－∠C=2∠P，理由如下： 如图2， ∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3 ∴∠A+∠1=∠P+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠A+∠2=∠P+∠4 由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C ∴∠A－∠C=2∠P (3)∠A+∠C=2∠P,理由如下: 如图3, 同(2)理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P 【点睛】 本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $