专题08 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 （1） 一元二次不等式的概念辨析 （2） 不含参一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 （3） 一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 考点一 一元二次不等式的解法 （一）一元二次不等式的概念辨析 策略方法 1. 核心逻辑 同时满足3个条件才是一元二次不等式： ① 仅含1个未知数 ； ② 未知数最高次数为2； ③ 二次项系数不能恒为0。 2. 解题步骤 (1)观察式子未知数个数与最高次数； (2)含参数时，检验参数能否使二次项消失； (3)对照定义判断类别。 3. 易错提醒 (1)忽略参数 时式子退化为一次不等式； (2)误将分式、根式不等式判定为一元二次不等式。 题型训练 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式表示一个一元二次不等式．( ) 2．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 4．给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有________．(填序号) 5．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是______. （二）不含参一元二次不等式的解法 策略方法 1. 核心逻辑 依托二次函数图像判断解集：开口向上，大于0取两边，小于0取中间；开口向下先化正（同步反转不等号）再求解。 2. 解题步骤 (1)标准化：移项让右侧为0，两边乘 ，保证 ； (2)求根：因式分解/求根公式解方程 ，记 ； (3)写解集： 或 ； 注：特殊判别式处理： (1)： 解集 ； 无解 (2)： 解集 ； 无解 3. 易错提醒 (1) 化简时不等号忘记反向； (2)、 对应的解集记混； (3)带等号不等式遗漏区间端点。 题型训练 6．【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 9．（2026高一·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 10．【多选】（2026高二·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A．B． C． D． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 统一讨论顺序：二次项系数判别式两根大小 （一）对二次项系数的讨论 1.核心逻辑 前含参数，分三类：（一次不等式）、（开口向上）、（开口向下），分类求解。 2.解题步骤 (1)：单独解一次不等式； (2)：正常求根，大于取两边，小于取中间； (3)：两边除以，不等号反向后再求解。 3.易错提醒 (1)不改变不等号方向； (2)遗漏的一次情况。 （二）对判别式的讨论 1.核心逻辑 固定，按、、三种图像情况分别写解集。 2.解题步骤 (1)计算； (2)：两不等实根，结合开口写解集； (3)：图像与轴相切，区分有无等号； (4)：函数恒正/恒负，直接写全体实数或空集。 3.易错提醒 (1)判别式计算符号出错； (2)混淆时大于0和小于0的解集。 （三）对两根大小的讨论 1.核心逻辑 因式分解为，含参数，必须比较两根大小分情况。 2.解题步骤 (1)因式分解得到两根； (2)分三类：、、； (3)每类按“大于取两边，小于取中间”写解集。 3.易错提醒 默认，不分类讨论造成漏解。 题型训练 （1） 对二项式系数的讨论 11．（2026高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 12．（2026高一·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 13．（宁夏回族自治区银川市第二中学2025-2026学年高二学期期末考试数学试题）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． （2） 对判别式的讨论 14．（26-27高三·全国·一轮复习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 15．（2026高一·全国·课后作业）解关于x的不等式. 16．（2026高一·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． （3） 对两根大小的讨论 17．（2026高一·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 18．（2026高一·北京·期中）解关于的不等式． 19．（2026高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 考点三 一元二次不等式的解集的应用 策略方法 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 1. 核心逻辑 解集端点是对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程求参数。 2. 解题步骤 (1)由解集判断开口：两段解集 ，区间解集 ； (2)把解集端点当作方程 两根； (3)韦达定理：，列方程组； (4)解参数后代回检验。 3. 易错提醒 (1)开口方向判断相反； (2)韦达定理符号记混。 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 1. 核心逻辑 先写出含参解集区间，根据整数个数限制，锁定区间端点取值范围。 2. 解题步骤 (1)分类讨论，写出解集区间 ； (2)找出区间内所有整数； (3)列边界不等式：左端点 最小整数 且 左端点 前一整数；右端点 最大整数 且 右端点 后一整数； (4)联立不等式解参数。 3. 易错提醒 端点等号判断错误，整数个数多1个或少1个。 题型训练 （1） 根据一元二次不等式的解集求参数 20．（2026高一·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 21．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 22．（2026高二·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 23．（2026高二·河北保定·阶段检测）已知的解集为，则的解集是_______________. 24．【多选】（2026高二·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 25．【多选】（2026高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 26．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 （2） 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 27．（2026高一·江苏苏州·阶段检测）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 28．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）若，且不等式的解集中有且仅有一个整数，则的取值范围是______． 29．（2026高一·江苏常州·阶段检测）集合，若集合A中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是______． 30．（2026高一·四川成都·阶段检测）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 考点四 简单的分式不等式的解法 策略方法 1. 核心逻辑 无法判断分母正负，不能直接去分母；等价转为整式乘积，分母不能为0。 等价变形规则： 2. 解题步骤 (1)移项、通分，使不等式右侧为0； (2)按等价规则转化为一元二次不等式； (3)求解，剔除分母等于0的根。 3. 易错提醒 (1)带等号时不排除分母为0的点； (2)右侧不为0直接乘分母去分母。 题型训练 31．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 32．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 33．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 34．（2026高二·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 策略方法 （一）一元二次不等式在上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)在恒成立：图像全在轴上方 (2)在恒成立：图像全在轴下方 (3)单独验证一次不等式。 2.解题步骤 (1)分、两类； (2)联立开口、判别式不等式组； (3)合并所有符合条件的参数范围。 3.易错提醒 (1)漏掉讨论； (2)恒成立与有解条件混淆。 （二）一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)方法①分离参数：恒成立；恒成立 (2)方法②图像法：结合开口、对称轴、区间端点列约束。 2.解题步骤（分离参数） (1)分离参数至不等式一侧； (2)求另一侧二次函数在区间上的最值； (3)参数大于最大值或小于最小值。 3.易错提醒 最值大小关系取反；忽略区间开闭对最值的影响。 （三）一元二次不等式的有解问题 1.核心逻辑 存在至少一个满足不等式： -有解函数最大值 -有解函数最小值 2.解题步骤 (1)分、； (2)求函数全局/区间最值； (3)根据最值列不等式求解参数。 3.易错提醒 套用恒成立的最值规则，条件颠倒。 题型训练 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 35．（2026高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 36．（2026高一·山东淄博·阶段检测）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高二·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为__________. 39．（2026高二·山东临沂·阶段检测）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 40．（山西省长治市2025-2026学年高二学期县域联盟测评数学试题），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 41．【多选】（2026高一·全国·寒假作业）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 42．【多选】（2026高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 43．【多选】（2026高二·江苏苏州·阶段检测）当，若不等式恒成立，则a的值可能为（    ） A． B． C． D． 44．【多选】已知关于的不等式，对任意恒成立，则可取（        ） A． B． C． D． （3） 一元二次不等式的有解问题 45．【多选】（2026高一·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 46．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 考点六 一元二次方程的实根分布问题 策略方法 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 题型训练 47．（2026高一·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 48．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 49．（2026高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 50．（2026高一·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 51．（2026高一·全国·单元测试）已知关于x的方程.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 52．（2026高一·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 考点七 一元二次不等式的实际应用 策略方法 1. 核心逻辑 四步解题法：读题找不等关系 建立二次不等式模型 求解解集 结合实际取舍（长度、人数、售价为正数，部分场景取整数）。 2. 解题步骤（读—建—解—答） (1)读：标注“不少于”、“至多”、“不低于”、“不超过”等不等关键词； (2)建：设未知数，列出一元二次不等式； (3)解：按不等式解法求出解集； (4)答：舍去负数、不符合现实的小数，写出合理取值范围。 3. 易错提醒 (1)不结合实际意义，保留负数、非整数解； (2)将不等关系错列为等式方程。 题型训练 53．【多选】（2026高一·福建宁德·阶段检测）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 54．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 55．（2026高一·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 56．（2026高一·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ $2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题08 二次函数与一元二次方程、不等式7种常见考法归类（56题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一元二次不等式的解法 （1） 一元二次不等式的概念辨析 （2） 不含参一元二次不等式的解法 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 （一）对二项式系数的讨论 （二）对判别式的讨论 （三）对两根大小的讨论 考点三 一元二次不等式的解集的应用 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 （3） 一元二次不等式的有解问题 考点六 一元二次方程的实根分布问题 考点七 一元二次不等式的实际应用 知识点1：一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式： ①（其中均为常数） ②（其中均为常数） ③（其中均为常数） ④（其中均为常数） (2)一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形. 知识点2：四个二次的关系 (1)一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． (2)二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点3：一元二次不等式的解法 (1)先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 (3)根据不等式，写出解集. 知识点4：解分式不等式 (1)分式不等式 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 (2)分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 考点一 一元二次不等式的解法 （一）一元二次不等式的概念辨析 策略方法 1. 核心逻辑 同时满足3个条件才是一元二次不等式： ① 仅含1个未知数 ； ② 未知数最高次数为2； ③ 二次项系数不能恒为0。 2. 解题步骤 (1)观察式子未知数个数与最高次数； (2)含参数时，检验参数能否使二次项消失； (3)对照定义判断类别。 3. 易错提醒 (1)忽略参数 时式子退化为一次不等式； (2)误将分式、根式不等式判定为一元二次不等式。 题型训练 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式表示一个一元二次不等式．( ) 【答案】错误 【分析】，没有说明二次项系数是否为0. 【详解】，若，则原不等式变成了一个一元一次不等式. 故答案：错误. 2．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 3．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 4．给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有________．(填序号) 【答案】⑥⑦ 【分析】根据一元二次不等式的定义逐一分析每个选项即可. 【详解】①不是，是二元一次不等式； ②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式； ③不是，未知数的最高次数是； ④不是，是二元二次不等式； ⑤不一定是，原因同②； ⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义； ⑦是，因为符合一元二次不等式的定义． 故答案为：⑥⑦ 5．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： （二）不含参一元二次不等式的解法 策略方法 1. 核心逻辑 依托二次函数图像判断解集：开口向上，大于0取两边，小于0取中间；开口向下先化正（同步反转不等号）再求解。 2. 解题步骤 (1)标准化：移项让右侧为0，两边乘 ，保证 ； (2)求根：因式分解/求根公式解方程 ，记 ； (3)写解集： 或 ； 注：特殊判别式处理： (1)： 解集 ； 无解 (2)： 解集 ； 无解 3. 易错提醒 (1) 化简时不等号忘记反向； (2)、 对应的解集记混； (3)带等号不等式遗漏区间端点。 题型训练 6．【多选】（2026高二·福建福州·期末）下列不等式解集为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项 A：二次项系数，判别式， 故 解集为，A 正确； 选项 B：二次项系数，判别式， 不等式等价于 ，不等式的解集为， B 错误； 选项 C：二次项系数，判别式， 解集为，C 正确； 选项 D：二次项系数，判别式， 恒大于 0，不等式无解，D 错误. 7．（2026高一·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 8．（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 9．（2026高一·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 10．【多选】（2026高二·山西长治·阶段检测）下列不等式的解集为空集的是（    ） A．B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 策略方法 统一讨论顺序：二次项系数判别式两根大小 （一）对二次项系数的讨论 1.核心逻辑 前含参数，分三类：（一次不等式）、（开口向上）、（开口向下），分类求解。 2.解题步骤 (1)：单独解一次不等式； (2)：正常求根，大于取两边，小于取中间； (3)：两边除以，不等号反向后再求解。 3.易错提醒 (1)不改变不等号方向； (2)遗漏的一次情况。 （二）对判别式的讨论 1.核心逻辑 固定，按、、三种图像情况分别写解集。 2.解题步骤 (1)计算； (2)：两不等实根，结合开口写解集； (3)：图像与轴相切，区分有无等号； (4)：函数恒正/恒负，直接写全体实数或空集。 3.易错提醒 (1)判别式计算符号出错； (2)混淆时大于0和小于0的解集。 （三）对两根大小的讨论 1.核心逻辑 因式分解为，含参数，必须比较两根大小分情况。 2.解题步骤 (1)因式分解得到两根； (2)分三类：、、； (3)每类按“大于取两边，小于取中间”写解集。 3.易错提醒 默认，不分类讨论造成漏解。 题型训练 （1） 对二项式系数的讨论 11．（2026高一·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 12．（2026高一·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 13．（宁夏回族自治区银川市第二中学2025-2026学年高二学期期末考试数学试题）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可得解； （2），对分类讨论即可得解. 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2） 对判别式的讨论 14．（26-27高三·全国·一轮复习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 15．（2026高一·全国·课后作业）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案. 【详解】不等式对应方程的判别式， （1）当，即或时， 由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； （2）当，即时，不等式的解集为且； （3）当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且； 时，不等式的解集为R. 16．（2026高一·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为或. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）结合二次函数的图象与性质，按照判别式的符号分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知方程的两根为，． 由韦达定理，可知，解得． （2）令， ①当，即时， 函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上． 因此，不等式的解集为． ②当，即或时， 函数图像与轴有两个交点，且开口向上． 令，则方程有两个不等实根， 为：，. 可知，不等式的解集为：或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为或. （3） 对两根大小的讨论 17．（2026高一·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 18．（2026高一·北京·期中）解关于的不等式． 【答案】 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 19．（2026高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 考点三 一元二次不等式的解集的应用 策略方法 （一）根据一元二次不等式的解集求参数 1. 核心逻辑 解集端点是对应一元二次方程的两根，利用韦达定理列方程求参数。 2. 解题步骤 (1)由解集判断开口：两段解集 ，区间解集 ； (2)把解集端点当作方程 两根； (3)韦达定理：，列方程组； (4)解参数后代回检验。 3. 易错提醒 (1)开口方向判断相反； (2)韦达定理符号记混。 （二）根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 1. 核心逻辑 先写出含参解集区间，根据整数个数限制，锁定区间端点取值范围。 2. 解题步骤 (1)分类讨论，写出解集区间 ； (2)找出区间内所有整数； (3)列边界不等式：左端点 最小整数 且 左端点 前一整数；右端点 最大整数 且 右端点 后一整数； (4)联立不等式解参数。 3. 易错提醒 端点等号判断错误，整数个数多1个或少1个。 题型训练 （1） 根据一元二次不等式的解集求参数 20．（2026高一·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 21．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 22．（2026高二·天津滨海新区·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 23．（2026高二·河北保定·阶段检测）已知的解集为，则的解集是_______________. 【答案】 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，， ∴， ∴. 24．【多选】（2026高二·陕西商洛·阶段检测）已知不等式的解集是，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，，， 所以，，因此选项A正确，选项B错误； ，因此选项C正确； 若，则，即， 解得，选项D正确. 25．【多选】（2026高一·四川成都·期中）已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 26．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. （2） 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 27．（2026高一·江苏苏州·阶段检测）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据含参的一元二次不等式的解法，分类讨论求出不等式的解集，然后分析该集合中能含有哪两个整数，即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意得，原不等式可转化为， 当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则； 当时，解得，此时解集中的整数为0，，则； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：B． 28．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）若，且不等式的解集中有且仅有一个整数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而求出结果. 【详解】不等式， 当时，，不等式的解集为， 若不等式解集中有且仅有一个整数，则这四个整数为， 则，即 ，解得即. 当时，，不等式的解集为，不符合题意； 当时，，不等式的解集为， 若不等式解集中有且仅有一个整数，则这整数可为， 则解得，，即 综上可知，实数的取值范围是． 故答案为：． 29．（2026高一·江苏常州·阶段检测）集合，若集合A中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是______． 【答案】或 【分析】由题意可知，因为且A中有且只有3个整数，所以这3个整数为0，1，2， 再结合二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围即可． 【详解】解：， 因为且A中有且只有3个整数， 故这3个整数为0，1，2， 故， 即， 解得或， 即实数a的取值范围为或 故答案为：或 30．（2026高一·四川成都·阶段检测）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果. 【详解】， ①当时，明显不符合题意； ②当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故； ③当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故. 所以实数的取值范围为或. 故选：D. 考点四 简单的分式不等式的解法 策略方法 1. 核心逻辑 无法判断分母正负，不能直接去分母；等价转为整式乘积，分母不能为0。 等价变形规则： 2. 解题步骤 (1)移项、通分，使不等式右侧为0； (2)按等价规则转化为一元二次不等式； (3)求解，剔除分母等于0的根。 3. 易错提醒 (1)带等号时不排除分母为0的点； (2)右侧不为0直接乘分母去分母。 题型训练 31．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】由得，即，即， 解得或，故不等式的解集是或. 32．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. 33．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式后求解. 【详解】不等式可化为，即， 不等式两边同乘后得，等价于， 解得，则解集为. 34．（2026高二·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 考点五 一元二次不等式的恒成立与有解问题 策略方法 （一）一元二次不等式在上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)在恒成立：图像全在轴上方 (2)在恒成立：图像全在轴下方 (3)单独验证一次不等式。 2.解题步骤 (1)分、两类； (2)联立开口、判别式不等式组； (3)合并所有符合条件的参数范围。 3.易错提醒 (1)漏掉讨论； (2)恒成立与有解条件混淆。 （二）一元二次不等式在指定区间上的恒成立问题 1.核心逻辑 (1)方法①分离参数：恒成立；恒成立 (2)方法②图像法：结合开口、对称轴、区间端点列约束。 2.解题步骤（分离参数） (1)分离参数至不等式一侧； (2)求另一侧二次函数在区间上的最值； (3)参数大于最大值或小于最小值。 3.易错提醒 最值大小关系取反；忽略区间开闭对最值的影响。 （三）一元二次不等式的有解问题 1.核心逻辑 存在至少一个满足不等式： -有解函数最大值 -有解函数最小值 2.解题步骤 (1)分、； (2)求函数全局/区间最值； (3)根据最值列不等式求解参数。 3.易错提醒 套用恒成立的最值规则，条件颠倒。 题型训练 （1） 一元二次不等式在R上的恒成立问题 35．（2026高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 36．（2026高一·山东淄博·阶段检测）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 37．（2026高二·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 38．（2026高一·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 39．（2026高二·山东临沂·阶段检测）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 40．（山西省长治市2025-2026学年高二学期县域联盟测评数学试题），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. （2） 一元二次不等式在某指定范围上的恒成立问题 41．【多选】（2026高一·全国·寒假作业）若使不等式成立的任意一个x都满足不等式，则常数a可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解法，一元一次不等式的性质，求出不等式的解集，根据题目条件判断解集之间的关系，求出参数范围即可. 【详解】由题意可知，使不等式成立的任意一个x都满足不等式， 即不等式的解集是不等式解集的子集， 由，解得， 由，因式分解得， 当，即时，解得， 可知，即时符合条件； 当，即时，解得， 当时，，即，即当时符合条件； 综上，常数a可以是. 故选：ABD. 42．【多选】（2026高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 43．【多选】（2026高二·江苏苏州·阶段检测）当，若不等式恒成立，则a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分离参数可得，求出在区间上的最大值即可求解. 【详解】当，若不等式恒成立， 等价于在区间上恒成立， 设， 由对勾函数的性质可得在单调递增， 所以. 所以， 故选：ABC 44．【多选】已知关于的不等式，对任意恒成立，则可取（        ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将不等式，对任意恒成立，转化为求解. 【详解】因为不等式，对任意恒成立， 所以， 令， 当 时， ， 所以 ， 所以可取，， 故选：AB （3） 一元二次不等式的有解问题 45．【多选】（2026高一·山西晋城·期末）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 46．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 考点六 一元二次方程的实根分布问题 策略方法 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 题型训练 47．（2026高一·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 48．（2026高三·上海浦东新·期中）若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，即实数的取值范围是. 故答案为： 49．（2026高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 50．（2026高一·全国·专题练习）若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意，利用三个二次的关系作出对应的一元二次函数的图象，列出不等式求解即得. 【详解】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 51．（2026高一·全国·单元测试）已知关于x的方程.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，    故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象，    由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 52．（2026高一·全国·专题练习）设方程在上有两个根，求的取值范围． 【答案】 【分析】设方程在上的两个根分别为，则，当时，，分析和的范围即可求解. 【详解】设方程在上的两个根分别为， 则， 则当时，， 又． ． 考点七 一元二次不等式的实际应用 策略方法 1. 核心逻辑 四步解题法：读题找不等关系 建立二次不等式模型 求解解集 结合实际取舍（长度、人数、售价为正数，部分场景取整数）。 2. 解题步骤（读—建—解—答） (1)读：标注“不少于”、“至多”、“不低于”、“不超过”等不等关键词； (2)建：设未知数，列出一元二次不等式； (3)解：按不等式解法求出解集； (4)答：舍去负数、不符合现实的小数，写出合理取值范围。 3. 易错提醒 (1)不结合实际意义，保留负数、非整数解； (2)将不等关系错列为等式方程。 题型训练 53．【多选】（2026高一·福建宁德·阶段检测）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 54．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 55．（2026高一·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 56．（2026高一·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. $