专题09 直线、射线、线段 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题09 直线、射线、线段 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.直线、射线、线段的定义、联系与本质区别 2.三种图形的规范画法、几何标准表示方法、端点特征辨析 3.直线的基本事实、线段的基本事实（课本必考公理） 4.根据几何性质判断图形、解释生活现象、规范几何作图 ✅本节以直线、射线、线段三种基础图形为核心，遵循“定义认知—规范表示—核心性质—实际应用”的学习逻辑，掌握两大几何基本事实，规范几何语言与作图习惯，为后续几何学习筑牢基础。 ✺学习目标 基础知识：掌握直线、射线、线段的定义与图形特征，明晰三者的联系与区别；熟练掌握三种图形的规范表示方法，熟记本节两大核心几何基本事实及两点间距离的定义。 能力提升：能准确识别三种几何图形，规范完成基础几何作图；能运用几何基本事实解释生活中的几何现象，具备基础的图形辨析与几何应用能力。 综合素养：建立标准的几何语言体系与空间直观思维，养成严谨规范的作图、审题、答题习惯，初步形成几何建模与逻辑推理素养。 ✺题型归纳 题型1.直线、线段、射线的数量问题 题型2.直线相交的交点个数问题 题型3.线段的应用 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 题型5.画出直线、射线、线段 题型6.点与线的位置关系 题型7.两点确定一条直线 题型8.线段的和与差 题型9.线段中点的有关计算 题型10.线段n等分点的有关计算 题型11.线段之间的数量关系 题型12.与线段有关的动点问题 题型13.两点之间线段最短 题型14.两点间的距离 题型15.最短路径问题 题型16.作线段(尺规作图) 题型17.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、直线、射线、线段的定义与特征 ▲直线、射线、线段是构成平面几何图形的基本元素，三者形态特征紧密关联、又有明确区别，是本节核心认知内容。 1.线段 定义：直线上两点及两点之间的部分叫做线段，这两个点为线段的端点。 特征：含两个端点，长度有限、可度量，无延伸性。 如下图一条线段： 2.射线 定义：直线上一个点及其一旁的部分叫做射线，这个点为射线的端点。 特征：含一个端点，长度无限、不可度量，仅可向一侧无限延伸。 如下图一条射线： 3.直线 定义：能够向两端无限延伸的线叫做直线。 特征：无端点，长度无限、不可度量，可向两端无限延伸。 如下图一条直线： 知识点二、三种线形的标准几何表示法 1.线段的表示 可选用两个端点大写字母表示：线段AB（线段BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：线段a。 2.射线的表示 必须使用两个大写字母表示，端点字母优先书写，延伸方向字母在后。例如：以A为端点、向B延伸的射线，记作射线AB。 ★要点提示：射线由端点和延伸方向共同确定，端点不同或延伸方向不同，均为不同射线。 3.直线的表示 可选用直线上任意两个大写字母表示：直线AB（直线BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：直线l。 知识点三、直线、线段的基本事实（必考公理） ▲几何基本事实是经过实践验证、无需证明的核心几何依据，。 1.直线的基本事实 内容：两点确定一条直线。 精准解释：经过两点，有且只有一条直线。 拓展结论：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线。 生活实例：固定木条只需两枚钉子、排队看齐、三点瞄准等，均依据该基本事实。 2.线段的基本事实 内容：两点之间，线段最短。 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 ▲两点之间的所有连线中，线段最短。 生活实例：道路改直、行走抄近路等场景，均依据该基本事实。 知识点四、直线与点的位置关系 1.点在直线上：直线经过该点，该点属于直线上的点；如下图，点A在直线L上。 2.点在直线外：直线不经过该点，该点不属于直线上的点。如下图，点B.C都在直线L外 知识点五、直线、射线、线段的画法 知识点五、直线、射线、线段对比速记 ☘包含关系总结：直线包含所有射线与对应线段，射线包含以自身端点为顶点的线段。 ✺题型精讲 题型1.直线、线段、射线的数量问题 1．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 2．如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 3．【观察思考】如图线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 _______条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 _______ 条线段． 【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用双循环制，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 题型2.直线相交的交点个数问题 1．平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 2．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 3．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 题型3.线段的应用 1．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 2．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 3．（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 1．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 2．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 3．如图所示，数轴上点表示原点，点表示，点表示1，点表示2，点表示． (1)数轴可以看成是什么几何图形？ (2)数轴上表示绝对值不大于2的部分是什么几何图形？这个几何图形怎样表示？ (3)数轴上表示到原点的距离大于或等于1的部分又是什么几何图形？又如何表示这一几何图形？ 题型5.画出直线、射线、线段 1．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 3．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 题型6.点与线的位置关系 1．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有_________（只填写序号） 3．请按要求画图： (1)点A在直线l上，点B和点C都在直线l外； (2)在平面上任意画出A，B，C三个点，过点A，B画直线l．说明点C和直线l的位置关系． 题型7.两点确定一条直线 1．如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 2．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 3．如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． (1)请画出连接黑棋A与白棋F的线段． (2)图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 题型8.线段的和与差 1．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 2．如果cm，cm，且点，，在同一直线上，那么点，间的距离等于_____． 3．如图，已知四点、、、， (1)请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）： ①画直线； ②画射线； ③连接并延长到，使得； ④在线段上取点，使的值最小． (2)在（1）的条件下，回答下列问题： ①用适当的语句表述点与直线的关系． ②若，．则长为多少？ 题型9.线段中点的有关计算 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 2．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 3．如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 题型10.线段n等分点的有关计算 1．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．线段，点是的一个十二等分点，则的长度可能是_____________（写出一个即可）． 3．如图，已知点A，点B，点C，点D，点E． (1)按语句画出图形：画直线，线段与直线交于点O；作射线． (2)已知线段的长为5，且，点O是线段的四等分点，求的长． 题型11.线段之间的数量关系 1．如图，是的中点，是的中点，下列式子中错误的是（   ） A．B．C．D． 2．如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 3．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 题型12.与线段有关的动点问题 1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 2．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 题型13.两点之间线段最短 1．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 2．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 3．画图：已知A、B、C、D四点，根据要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上取点P，使的值最小； (5)连接DC，并反向延长至点E，使． 题型14.两点间的距离 1．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 2．已知点，，在一条直线上，线段，，则，两点间的距离为_____ 3．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，则的长为 ． 题型15.最短路径问题 1．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 2．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第_______条路最短，另两条路的长短关系是_________． 3．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 题型16.作线段(尺规作图) 1．如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 2．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 3．如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 2．某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 3．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 4．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 5．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 6．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 7．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 8．如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 9．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 10．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 三、解答题 11．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 12．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 13．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 14．按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 15．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 直线、射线、线段 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.直线、射线、线段的定义、联系与本质区别 2.三种图形的规范画法、几何标准表示方法、端点特征辨析 3.直线的基本事实、线段的基本事实（课本必考公理） 4.根据几何性质判断图形、解释生活现象、规范几何作图 ✅本节以直线、射线、线段三种基础图形为核心，遵循“定义认知—规范表示—核心性质—实际应用”的学习逻辑，掌握两大几何基本事实，规范几何语言与作图习惯，为后续几何学习筑牢基础。 ✺学习目标 基础知识：掌握直线、射线、线段的定义与图形特征，明晰三者的联系与区别；熟练掌握三种图形的规范表示方法，熟记本节两大核心几何基本事实及两点间距离的定义。 能力提升：能准确识别三种几何图形，规范完成基础几何作图；能运用几何基本事实解释生活中的几何现象，具备基础的图形辨析与几何应用能力。 综合素养：建立标准的几何语言体系与空间直观思维，养成严谨规范的作图、审题、答题习惯，初步形成几何建模与逻辑推理素养。 ✺题型归纳 题型1.直线、线段、射线的数量问题 题型2.直线相交的交点个数问题 题型3.线段的应用 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 题型5.画出直线、射线、线段 题型6.点与线的位置关系 题型7.两点确定一条直线 题型8.线段的和与差 题型9.线段中点的有关计算 题型10.线段n等分点的有关计算 题型11.线段之间的数量关系 题型12.与线段有关的动点问题 题型13.两点之间线段最短 题型14.两点间的距离 题型15.最短路径问题 题型16.作线段(尺规作图) 题型17.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、直线、射线、线段的定义与特征 ▲直线、射线、线段是构成平面几何图形的基本元素，三者形态特征紧密关联、又有明确区别，是本节核心认知内容。 1.线段 定义：直线上两点及两点之间的部分叫做线段，这两个点为线段的端点。 特征：含两个端点，长度有限、可度量，无延伸性。 如下图一条线段： 2.射线 定义：直线上一个点及其一旁的部分叫做射线，这个点为射线的端点。 特征：含一个端点，长度无限、不可度量，仅可向一侧无限延伸。 如下图一条射线： 3.直线 定义：能够向两端无限延伸的线叫做直线。 特征：无端点，长度无限、不可度量，可向两端无限延伸。 如下图一条直线： 知识点二、三种线形的标准几何表示法 1.线段的表示 可选用两个端点大写字母表示：线段AB（线段BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：线段a。 2.射线的表示 必须使用两个大写字母表示，端点字母优先书写，延伸方向字母在后。例如：以A为端点、向B延伸的射线，记作射线AB。 ★要点提示：射线由端点和延伸方向共同确定，端点不同或延伸方向不同，均为不同射线。 3.直线的表示 可选用直线上任意两个大写字母表示：直线AB（直线BA，顺序通用）；也可用单个小写字母表示：直线l。 知识点三、直线、线段的基本事实（必考公理） ▲几何基本事实是经过实践验证、无需证明的核心几何依据，。 1.直线的基本事实 内容：两点确定一条直线。 精准解释：经过两点，有且只有一条直线。 拓展结论：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线。 生活实例：固定木条只需两枚钉子、排队看齐、三点瞄准等，均依据该基本事实。 2.线段的基本事实 内容：两点之间，线段最短。 两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 ▲两点之间的所有连线中，线段最短。 生活实例：道路改直、行走抄近路等场景，均依据该基本事实。 知识点四、直线与点的位置关系 1.点在直线上：直线经过该点，该点属于直线上的点；如下图，点A在直线L上。 2.点在直线外：直线不经过该点，该点不属于直线上的点。如下图，点B.C都在直线L外 知识点五、直线、射线、线段的画法 知识点五、直线、射线、线段对比速记 ☘包含关系总结：直线包含所有射线与对应线段，射线包含以自身端点为顶点的线段。 ✺题型精讲 题型1.直线、线段、射线的数量问题 1．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． 2．如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】 3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 3．【观察思考】如图线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 _______条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 _______ 条线段． 【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用双循环制，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：56场． 【分析】本题考查了线段条数的计算及其应用，理解线段的意义、找到计算线段条数计算的规律是关键； 【观察思考】求出分别以点A、B、C、D为端点的线段条数再相加即可； 【模型构建】从左往右分别求出以第一个、第二个、…、第m个点为端点的线段条数，再相加即可； 【拓展应用】按照【模型构建】中线段的条数即可求解． 【详解】解：【观察思考】以点A为端点的线段有； 以B为端点的线段有； 以C为端点的线段有； 以D为端点的线段有； 以每个点为端点的条数均为3条，但其中每条重复了一次， 总共有； 故答案为：6； 【模型构建】以第一个点为端点的线段有条、以第二个点为端点的线段有条、…、以第m个点为端点的线段条；总共有，但其中每条都重复计算了一次， 所以所有线段条数为：； 故答案为：． 【拓展应用】由于采用双循环制，当时，（场）， 答：一共进行56场比赛． 题型2.直线相交的交点个数问题 1．平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】要使交点最多，需保证任意两条直线不平行，任意三条直线不交于同一点，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵4条直线两两相交，要得到最多交点，需任意两条直线相交于不同点，任意三条直线不共点， ∴第一条直线与另外3条直线相交，得到3个交点， 第二条直线与剩余2条直线相交，新增2个交点， 第三条直线与剩余1条直线相交，新增1个交点， ∴总交点个数为个， 2．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 3．用归纳策略解答问题： 如图，四条直线，，，，我们发现每两条直线都有一个交点，且交点不重合，我们称这种相交方式为“两两相交”． 问题：如果有101条直线“两两相交”，它们有多少个交点？请写出你的思考过程． 【答案】 5050个交点， 思考过程：当有2条直线“两两相交”时，有1个交点； 当有3条直线“两两相交”时，有个交点； 当有4条直线“两两相交”时，有个交点； ……， ∴一般地，n条直线“两两相交”有个交点 ∴当有101条直线“两两相交”时，有个交点． 所以有101条直线“两两相交”时，有5050个交点． 【分析】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 根据两直线“两两相交”有1个交点，三直线“两两相交”有个交点，四条直线“两两相交”有个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 【详解】略 题型3.线段的应用 1．生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 3．（1）图①中的黑色实线是弯的吗？ （2）图②中线段m和线段n的长度相等吗？ 【答案】（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的． （2）通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 【分析】本题考查了线段的认识及线段长短的比较，注意刻度尺的使用． （1）用直尺验证即可； （2）用直尺直接量出两线段的长度，比较即可． 【详解】解：（1）通过直尺验证，图①中的黑色实线是直的； （2） 通过测量，图②中线段m与线段n的长度相等． 题型4.直线、射线、线段的联系与区别 1．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 2．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 【答案】 2 1 【分析】根据线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点回答即可 【详解】解：线段有2个端点，射线有1个端点． 3．如图所示，数轴上点表示原点，点表示，点表示1，点表示2，点表示． (1)数轴可以看成是什么几何图形？ (2)数轴上表示绝对值不大于2的部分是什么几何图形？这个几何图形怎样表示？ (3)数轴上表示到原点的距离大于或等于1的部分又是什么几何图形？又如何表示这一几何图形？ 【答案】(1)直线 (2)线段，这个图形表示为线段 (3)两条射线，这个图形表示为射线和射线 【分析】本题考查了数轴的有关知识及直线、射线、线段的定义，解题关键是：熟记直线、射线、线段的定义判断图形的形状．根据数轴的特点，绝对值的性质以及直线、射线、线段的定义即可判断图形的形状． 【详解】（1）解：数轴可以看作规定了原点、正方向和单位长度的直线； （2）解：数轴上绝对值不大于2的部分是线段，这个图形表示为线段； （3）解：数轴上表示到原点的距离大于或等于1的部分是两条射线；这个图形表示为射线和射线． 题型5.画出直线、射线、线段 1．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 2．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 3．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 题型6.点与线的位置关系 1．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 2．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有_________（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 3．请按要求画图： (1)点A在直线l上，点B和点C都在直线l外； (2)在平面上任意画出A，B，C三个点，过点A，B画直线l．说明点C和直线l的位置关系． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，点C可能在直线l上，也可能在直线l外 【分析】本题考查点与直线的位置关系，画直线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点与直线的位置关系画图； （2）根据点与直线的位置关系分类画图． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示，点C可能在直线l上，也可能在直线l外． 题型7.两点确定一条直线 1．如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】根据公理“两点确定一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， ∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线． 2．如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】 两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． 3．如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． (1)请画出连接黑棋A与白棋F的线段． (2)图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 【答案】(1) 画图如下： (2)4条：直线，直线，直线，直线 【分析】本题考查三点共线，画线段，熟练掌握相关定义，数形结合是解题的关键： （1）根据要求，连接即可； （2）根据题意，找到符合题意的直线即可． 【详解】（1）略 （3） 解：观察可知，满足“三棋共线”的直线有4条，分别为直线，直线，直线，直线． 题型8.线段的和与差 1．点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 2．如果cm，cm，且点，，在同一直线上，那么点，间的距离等于_____． 【答案】或 【分析】由于点的位置未明确，需分两种情况进行讨论，分别计算，两点间的距离． 【详解】解：分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，． 故答案为或． 3．如图，已知四点、、、， (1)请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）： ①画直线； ②画射线； ③连接并延长到，使得； ④在线段上取点，使的值最小． (2)在（1）的条件下，回答下列问题： ①用适当的语句表述点与直线的关系． ②若，．则长为多少？ 【答案】(1)作图见解析 (2)点在直线外； 【分析】（1）过，画直线即可；以为端点，画过的射线即可；在线段的延长线上画即可；连接交于即可；（2）根据点与直线的位置关系和线段的和求解即可； 【详解】（1）如图即为所画图形； （2）根据所画图形可得：点在直线外， ， ， ，， ． 题型9.线段中点的有关计算 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 2．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 【答案】或 【详解】解：， ． ①若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，最短段长为． ②若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，可得，最短段长为． 综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或． 3．如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：由图可知：①；②； （2）解：，C为的中点， ， ， . 题型10.线段n等分点的有关计算 1．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 2．线段，点是的一个十二等分点，则的长度可能是_____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了线段等分点相关的计算；点为的十二等分点，被分为等份，每份长度相等，计算每份长度即可得到的可能值，即可求解． 【详解】解：，十二等分后每等份长度为， 点为等分点， 因此的长度可能为，，，，等， 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，已知点A，点B，点C，点D，点E． (1)按语句画出图形：画直线，线段与直线交于点O；作射线． (2)已知线段的长为5，且，点O是线段的四等分点，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)的长为或 【分析】本题主要考查了作图，线段的和差关系，掌握射线、直线和线段的定义和线段的关系是解题的关键． （1）依据直线、射线、线段的画法，即可得到图形； （2）分两种情况求解． 【详解】（1）解：根据题意，如图所示： （2）解：当点O靠近D， 则， 当点O靠近点E， 则， 综上：的长为或． 题型11.线段之间的数量关系 1．如图，是的中点，是的中点，下列式子中错误的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离、线段中点的定义等知识点，熟练掌握线段中点的定义是本题的关键．根据两点之间的距离、线段中点的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：∵C是的中点，D是的中点， ∴， ∵， 故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B选项错误，符合题意； ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图，、在线段上，，、分别是、的中点，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差关系以及线段中点的性质，通过设未知数来表示线段之间的关系，再根据已知条件列出方程求解，最后求出的长度． 【详解】解：设，则，， ， 为中点，， ， 为中点， ， ， ， ， 解得：， ． 3．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B在线段上可知，由，可得，代入计算后即可得到答案； （2）根据O是线段的中点及的长可求出的长，由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 题型12.与线段有关的动点问题 1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 2．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 题型13.两点之间线段最短 1．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 【答案】B 【详解】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确． 2．贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 3．画图：已知A、B、C、D四点，根据要求画图． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段； (4)在线段上取点P，使的值最小； (5)连接DC，并反向延长至点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 (5)见解析 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：如图，点即为所求； （5）解：如图，点即为所求． 题型14.两点间的距离 1．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 2．已知点，，在一条直线上，线段，，则，两点间的距离为_____ 【答案】10或6 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 由于点A，B，C在一条直线上，但顺序不确定，需分类讨论：当点B在点A和点C之间时，；当点A在点B和点C之间时，． 【详解】解：因为点A，B，C在一条直线上，所以有两种情况： 若点B在线段上，则； 若点A在线段BC上，则． 故A，C两点间的距离为10或6． 故答案为：10或6． 3．如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，则的长为 ． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查线段的和差，两点间的距离，线段中点相关的计算． （1）先利用线段的中点定义可得，然后再根据线段的和差进行计算即可； （2）按照点和线段的位置关系进行分类讨论，分别根据线段的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． （2）解：， 若点在线段上，， 若点在线段延长线上，， ∴的长为或． 故答案为：或． 题型15.最短路径问题 1．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路线，掌握两点之间线段最短是解决问题的关键． 结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 【详解】解：A中从地到地路线长为； B中从地到地路线长为； C中从地到地路线长为； D中从地到地路线长为； 综上所述，四条路线中均含有线段，因此比较、、和长度即可确定最短的路线， ， ， 在中，由两点之间线段最短可知， ， 、、和中长度最短， 即从地到地有四条路线，最短， 故选：D． 2．从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第_______条路最短，另两条路的长短关系是_________． 【答案】 ② 相等 【分析】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 3．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】解：如图所示，即为所作． 题型16.作线段(尺规作图) 1．如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作线段，线段的和差，根据题意作出图形，然后通过线段的和与差进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意作图如下， ∴， 故选：． 2．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据线段的和差求解． 【详解】解：由作图得：， ． 3．如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，． 【分析】以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点即可． 【详解】略 ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线上的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意． 2．某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 3．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 【答案】D 【分析】利用线段和的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴O点在直线外或O点在线段的延长线上或O点在线段的延长线上， 即O点不在线段上， 故D选项符合题意． 4．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题未明确点C的位置，需根据点C的不同位置分情况讨论，利用线段和差关系计算的长度即可． 【详解】解：∵A、B、C三点共线，点C位置有两种可能，因此分情况计算： 当点C在线段的延长线上时； 当点C在线段上时； 综上，线段等于或． 5．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 二、填空题 6．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【答案】45 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及直线的交点问题，能根据题意发现最多交点个数的变化规律是解题的关键． 根据题意，依次求出图形中最多的交点个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 两条直线相交，最多的交点个数为：1， 三条直线相交，最多的交点个数为：， 四条直线相交，最多的交点个数为：， …， 所以条直线相交，最多的交点个数为：． 当时，． 即10条直线相交，最多的交点个数为45个． 故答案为：45． 7．如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 【答案】或或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用和分类讨论思想．关键是根据点、的运动方向分四种情况：均向右运动、向左向右、向右向左、均向左运动，用时间表示出、的相对位置，进而列出关于的方程求解． 【详解】解：设经过秒时，线段的长为． 已知，，点的速度为，点的速度为，则，． 以点为原点，为单位长度，向右为正方向，则点的位置为． ①当点、均向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ②当点向左运动，点向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ③当点向右运动，点向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，，解得； 当时，(舍去)； ④当点、均向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，解得； 当时，(舍去)； 综上，满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 8．如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段的中点、线段的比例关系以及线段的和差关系；找出线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意分当在线段上和当在线段延长线上两种情况，设，结合线段和差关系建立方程求解即可． 【详解】①如图，当在线段上时， 点C是的中点， ， ， 可设， ，解得， ； ②如图，当在线段延长线上时， 可设， ，解得， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 9．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 10．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 三、解答题 11．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【分析】（1）利用直尺即可作出图形； （2）利用直尺即可作出图形； （3）根据线段的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 12．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出的长度，再根据中点定义求出的长度，最后计算得到的长度． 【详解】解 已知， ，   ∴ ， ∵ N是线段的中点， ∴ ∴ ． 13．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】 （1）如图所示，点C即为所求， ； （2）证明：直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 14．按要求作图，并回答问题： (1)若平面内有三个点，且不在同一直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (2)若平面内有四个点，且每三点都不在同一条直线上，将每两个点进行连接，可以连成几条线段？ (3)利用以上原理解决问题： 某趟高铁从起始点A市到终点E市会经过B，C，D三个站点，中途共停靠3次，每个站点到A市的距离如表所示： 站点 B C D E 与A市的距离（公里） 115 254 367 493 已知高铁的票价由路程决定，求共有几种不同的票价； (4)写出一个可以用以上问题中的原理解决的实际问题． 【答案】(1) 如解图①，可以连成三条线段； (2) 如解图②，可以连成六条线段； (3) 共有10种票价 (4)见解析 【分析】本题考查线段的计数以及其在实际生活中的应用，解题的关键是理解两点确定一条线段，并将实际问题转化为数学模型． （1）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （2）根据两点确定一条线段，通过列举法来计算线段数量； （3）将站点看作点，不同站点间的距离不同对应不同票价，转化为求线段数量问题； （4）根据前面的原理构造类似的实际场景问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由表可得（千米），（千米），（千米）， 所以任意两站点间的距离均不相等，即票价均不相等， 故A市到E市各站点的距离如解图③所示： ①从A出发有4种票价，即； ②从B出发有3种票价，即； ③从C出发有2种票价，即； ④从D出发有1种票价，即， ⑤从E出发，有0种票价， 4+3+2+1＝10（种）， 综上共有10种票价； （4）解：若将一个点看作一个篮球队，每个篮球队两两之间进行一场比赛，则三个篮球队共需进行三场比赛，四个篮球队共需进行六场比赛．（答案不唯一） 15．已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $