专题3.3 整式的加减（暑假预习培优讲义）2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题3.3 整式的加减 【本节预习目标】 1.理解同类项的概念，能准确判断同类项，掌握合并同类项的法则并正确运算。 2.掌握去括号、添括号的法则，能准确进行去括号运算，理解去括号的依据是乘法分配律。 3.掌握整式加减运算的一般步骤，能熟练进行整式的加减运算，正确化简整式。 4.能运用整式的加减运算解决化简求值、实际应用等问题，体会整体代入等数学思想。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节关联 单项式与多项式 单项式的系数、次数；多项式的项、次数、常数项 整式加减的运算对象是单项式和多项式，合并同类项需识别多项式中的同类项 有理数运算律 加法交换律、结合律，乘法分配律 合并同类项、去括号的运算依据，整式加减本质是有理数运算律在代数式中的推广 列代数式 用字母表示数量关系，规范书写代数式 整式加减的结果仍为代数式，需遵循代数式书写规范 知识点1：单项式、多项式与整式的相关概念 1.单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，系数包含其前面的符号。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；单独一个非零数的次数规定为0。 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。 项与常数项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。注意：多项式的每一项都包含它前面的符号。 次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 3.整式的定义 单项式和多项式统称为整式。 >注意：分母中含有字母的代数式不属于整式，也一定不是单项式或多项式。 核心概念对比如下表： 类别 定义 核心判断要点 典型示例 单项式 数与字母的乘积形式的代数式，单独的数/字母也是单项式 不含加减运算；分母不含字母 单项式：系数为，次数为3 多项式 几个单项式的和 由单项式相加构成，含加减运算 多项式：二次三项式，常数项为5 整式 单项式与多项式的统称 分母不含字母 ，均为整式 知识点2：同类项与合并同类项 1.同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 >核心判断标准：“两相同，两无关”。两相同：所含字母相同、相同字母的指数分别相同；两无关：与系数大小无关、与字母的排列顺序无关。 2.合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （2）法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 （3）一般步骤：①找：标记出多项式中的所有同类项；②移：利用加法运算律将同类项分组结合；③合：根据法则合并各组同类项。 知识点3：去括号与整式的加减 1.去括号法则 括号前符号 法则内容 示例 “+”号 去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项的符号都不改变 “-”号 去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项的符号都要改变 >拓展：括号前有数字因数时，先利用乘法分配律将数字因数与括号内每一项相乘，再去括号，即。 2.整式的加减运算 （1）运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （2）化简求值的一般步骤： ①化：对整式去括号、合并同类项，化为最简形式； ②代：将字母的取值代入化简后的式子； ③算：按照有理数运算法则计算最终结果。 【基础巩固题型】 【题型1】单项式、多项式与整式的概念判定 1.核心知识点 单项式的定义、系数与次数；多项式的项、常数项与次数；整式的分类与判定 2.解题方法技巧 ①单项式判定：仅含乘法、乘方运算，不含加减运算；分母含字母的代数式不是单项式；单独的数或字母也是单项式； ②系数与次数计算：单项式的系数包含数字前的符号，是常数属于系数部分；次数为所有字母的指数之和，与数字的指数无关； ③多项式分析：拆分单项式时要连同该项前面的符号，不含字母的项是常数项；次数最高项的次数就是多项式的次数； ④整式识别：单项式和多项式统称整式，核心判断依据是代数式的分母中不含字母。 【例题1】.（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【变式题1-2】.（2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 【题型2】同类项的概念辨析 1.核心知识点 同类项的定义；“两相同、两无关”的判断标准 2.解题方法技巧 ①严格对照“字母相同、相同字母指数分别相等”两个条件逐一判断； ②所有常数项互为同类项，与数字大小无关； ③字母排列顺序不影响同类项判定，如3xy与是同类项。 【例题2】.（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题2-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式题2-3】.（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型3】合并同类项基础运算 1.核心知识点 合并同类项法则；加法运算律的应用 2.解题方法技巧 ①先用不同标记标出同类项，避免漏项或错并； ②系数相加时保留符号，互为相反数的同类项合并后结果为0； ③没有同类项的项原样保留，最终结果按某一字母降幂（或升幂）排列。 【例题3】.（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【变式题3-2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简： (1)； (2)． 【变式题3-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2)． 【题型4】去括号（添括号）法则辨析与基础应用 1.核心知识点 去括号法则；乘法分配律 2.解题方法技巧 ①括号前为正号，去括号后各项符号不变；括号前为负号，去括号后各项全变号； ②括号前有数字系数时，系数需乘遍括号内每一项，再处理符号，避免漏乘常数项； ③多层括号一般由内向外逐层去除，每去一层括号就合并一次同类项，简化运算。 【例题4】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·广东广州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26六年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 【培优提升题型】 【题型5】整式的化简求值（直接代入） 1.核心知识点 整式的加减化简；代数式求值 2.解题方法技巧 ①坚持“先化简，再求值”，切勿直接代入原式计算，减少运算量与出错率； ②代入负数、分数进行乘方运算时，必须给数值整体加括号，避免符号与运算顺序错误； ③计算时遵循有理数运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。 【例题5】.（26-27七年级·全国·暑假作业）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型6】整体代入法求代数式的值 1.核心知识点 整体思想；整式的恒等变形 2.解题方法技巧 ①观察已知式与待求式，寻找结构相同的代数式，将其视作一个整体； ②对待求式进行扩倍、降次等变形，构造出与已知式完全相同的整体结构； ③将已知整体的值代入计算，无需单独求出每个字母的取值。 【例题6】.（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 【题型7】整式加减中的“不含项”与“无关型”问题 1.核心知识点 合并同类项；零系数的代数意义 2.解题方法技巧 ①先对整式去括号、合并同类项，按指定字母的降幂形式整理； ②“不含某一项”即该项的系数为0，据此列方程求解字母参数； ③“与某字母取值无关”即所有含该字母的项的系数之和均为0。 【例题7】.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·北京房山·期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【压轴素养题型】 【题型8】整式加减中的错中求解问题 1.核心知识点 整式的加减运算；逆向思维 2.解题方法技巧 ①根据“看错的运算”与“错误结果”，利用加减互逆关系还原出原多项式； ②按照正确的运算关系重新列式计算，得到正确结果； ③常见看错类型：看错符号、看错数字、漏乘系数，核心是先还原原式。 【例题8】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川南充·期末）小明在计算一个多项式减去时，误将“减去”抄成了“加上”，结果得到，则正确的结果是____________． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川达州·期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是，则这道题的正确结果是__________． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）有一道题目是一个多项式减，小马虎误当成了这个多项式加，结果得到，那么这个多项式是______． 【题型9】新定义运算与整式加减 1.核心知识点 新定义规则理解；整式的混合运算 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的运算规则，明确运算顺序与优先级； ②将新定义运算转化为常规的整式加减、乘方运算，严格按规则代入计算； ③多层嵌套的新定义运算，按从内到外的顺序逐层计算，重点关注符号处理。 【例题9】.（2026·宁夏银川·一模）定义：若一个三位数的十位数字的倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫做“倍和数”．例如三位数，因为，所以它是“倍和数”． 【理解定义】 (1)三位数是否为“倍和数”？ 【建模推理】 (2)设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为：______； (3)任意一个“倍和数”都能被整除吗？为什么？ 【变式题9-1】.（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【题型10】整式加减的实际方案应用 1.核心知识点 列代数式；整式加减运算；方案优化比较 2.解题方法技巧 ①读懂实际情境（购物优惠、工程费用、行程问题等），分别用代数式表示各方案的总费用； ②通过整式的加减运算计算两个方案的费用差值，判断方案优劣； ③结合实际取值范围，给出最优方案的选择建议。 【例题10】.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【变式题10-1】.（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 易错点 1、去括号符号错误：括号前是负号时，仅改变首项符号，漏改后续项的符号；括号前有数字系数时，漏乘括号内的常数项或部分项。 2、同类项判断失误：误将字母相同但指数不同的项当作同类项，或忽略“相同字母指数分别相等”的判定条件。 3、代入求值不规范：代入负数或分数进行乘方运算时，漏加括号导致符号错误或运算顺序错误。 4、“无关型”问题理解偏差：误将常数项系数也置为0，或只令最高次项系数为0，忽略低次同类项的合并系数。 重点 1、同类项的概念与合并同类项的法则，是整式加减运算的核心基础。 2、去括号法则与整式加减的运算步骤，能熟练完成整式的化简与求值。 难点 1、整体代入思想在代数式求值中的应用，以及“不含项”“与字母无关”类问题的求解逻辑。 2、整式加减与规律探究、数轴绝对值、实际方案优化等知识的综合应用。 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 2．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 二、填空题 4．若，则代数式的值为__________． 5．“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 8．已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 9．有一种计算器，输出规则如下：输入两个关于的整式，，对它们进行整式加法运算，若的结果为单项式，则输出该单项式加1；若的结果为多项式，则输出该多项式的最高次项与最低次项的和．已知输入的整式． (1)若，求输出的结果； (2)若输出结果为，则整式应满足什么条件？写出结论，并说明理由； 10．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 整式的加减 【本节预习目标】 1.理解同类项的概念，能准确判断同类项，掌握合并同类项的法则并正确运算。 2.掌握去括号、添括号的法则，能准确进行去括号运算，理解去括号的依据是乘法分配律。 3.掌握整式加减运算的一般步骤，能熟练进行整式的加减运算，正确化简整式。 4.能运用整式的加减运算解决化简求值、实际应用等问题，体会整体代入等数学思想。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节关联 单项式与多项式 单项式的系数、次数；多项式的项、次数、常数项 整式加减的运算对象是单项式和多项式，合并同类项需识别多项式中的同类项 有理数运算律 加法交换律、结合律，乘法分配律 合并同类项、去括号的运算依据，整式加减本质是有理数运算律在代数式中的推广 列代数式 用字母表示数量关系，规范书写代数式 整式加减的结果仍为代数式，需遵循代数式书写规范 知识点1：单项式、多项式与整式的相关概念 1.单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，系数包含其前面的符号。 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；单独一个非零数的次数规定为0。 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。 项与常数项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。注意：多项式的每一项都包含它前面的符号。 次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 3.整式的定义 单项式和多项式统称为整式。 >注意：分母中含有字母的代数式不属于整式，也一定不是单项式或多项式。 核心概念对比如下表： 类别 定义 核心判断要点 典型示例 单项式 数与字母的乘积形式的代数式，单独的数/字母也是单项式 不含加减运算；分母不含字母 单项式：系数为，次数为3 多项式 几个单项式的和 由单项式相加构成，含加减运算 多项式：二次三项式，常数项为5 整式 单项式与多项式的统称 分母不含字母 ，均为整式 知识点2：同类项与合并同类项 1.同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 >核心判断标准：“两相同，两无关”。两相同：所含字母相同、相同字母的指数分别相同；两无关：与系数大小无关、与字母的排列顺序无关。 2.合并同类项 （1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 （2）法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 （3）一般步骤：①找：标记出多项式中的所有同类项；②移：利用加法运算律将同类项分组结合；③合：根据法则合并各组同类项。 知识点3：去括号与整式的加减 1.去括号法则 括号前符号 法则内容 示例 “+”号 去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项的符号都不改变 “-”号 去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项的符号都要改变 >拓展：括号前有数字因数时，先利用乘法分配律将数字因数与括号内每一项相乘，再去括号，即。 2.整式的加减运算 （1）运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （2）化简求值的一般步骤： ①化：对整式去括号、合并同类项，化为最简形式； ②代：将字母的取值代入化简后的式子； ③算：按照有理数运算法则计算最终结果。 【基础巩固题型】 【题型1】单项式、多项式与整式的概念判定 1.核心知识点 单项式的定义、系数与次数；多项式的项、常数项与次数；整式的分类与判定 2.解题方法技巧 ①单项式判定：仅含乘法、乘方运算，不含加减运算；分母含字母的代数式不是单项式；单独的数或字母也是单项式； ②系数与次数计算：单项式的系数包含数字前的符号，是常数属于系数部分；次数为所有字母的指数之和，与数字的指数无关； ③多项式分析：拆分单项式时要连同该项前面的符号，不含字母的项是常数项；次数最高项的次数就是多项式的次数； ④整式识别：单项式和多项式统称整式，核心判断依据是代数式的分母中不含字母。 【例题1】.（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【变式题1-2】.（2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·河北邯郸·期中）把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 【答案】单项式： 多项式： 二次三项式： 整式： 【分析】本题主要考查了单项式，多项式和整式的识别，解题的关键是掌握以上定义． 根据单项式，多项式和整式的定义进行判断即可． 【详解】解：∵①7为单项式，②为单项式，③为多项式，且为一次二项式，④为多项式，且为三次二项式，⑤为多项式，且为二次二项式，⑥不是整式，⑦为单项式，⑧为多项式，且为二次三项式，⑨为单项式； 单项式和多项式统称为整式； ∴单项式：， 多项式：， 二次三项式： 整式：． 【题型2】同类项的概念辨析 1.核心知识点 同类项的定义；“两相同、两无关”的判断标准 2.解题方法技巧 ①严格对照“字母相同、相同字母指数分别相等”两个条件逐一判断； ②所有常数项互为同类项，与数字大小无关； ③字母排列顺序不影响同类项判定，如3xy与是同类项。 【例题2】.（2026·上海·中考真题）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·期末）下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 【变式题2-2】.（2026·四川攀枝花·中考真题）下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 【变式题2-3】.（2026·江苏无锡·二模）下列各组代数式中，属于同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等， ∴不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义， ∴是同类项，符合题意； C、只含字母，含字母和，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D、含字母，含字母，所含字母不同， ∴不是同类项，不符合题意． 【题型3】合并同类项基础运算 1.核心知识点 合并同类项法则；加法运算律的应用 2.解题方法技巧 ①先用不同标记标出同类项，避免漏项或错并； ②系数相加时保留符号，互为相反数的同类项合并后结果为0； ③没有同类项的项原样保留，最终结果按某一字母降幂（或升幂）排列。 【例题3】.（25-26七年级下·云南昆明·期末）下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】/ 【分析】利用合并同类项法则求解即可． 【详解】解：． 【变式题3-2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题3-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型4】去括号（添括号）法则辨析与基础应用 1.核心知识点 去括号法则；乘法分配律 2.解题方法技巧 ①括号前为正号，去括号后各项符号不变；括号前为负号，去括号后各项全变号； ②括号前有数字系数时，系数需乘遍括号内每一项，再处理符号，避免漏乘常数项； ③多层括号一般由内向外逐层去除，每去一层括号就合并一次同类项，简化运算。 【例题4】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 【变式题4-2】.（2026·广东广州·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单项式乘多项式法则展开各选项左边，与右侧对比判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，等式左右相等，故D正确． 【变式题4-3】.（25-26六年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是去括号和合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 【培优提升题型】 【题型5】整式的化简求值（直接代入） 1.核心知识点 整式的加减化简；代数式求值 2.解题方法技巧 ①坚持“先化简，再求值”，切勿直接代入原式计算，减少运算量与出错率； ②代入负数、分数进行乘方运算时，必须给数值整体加括号，避免符号与运算顺序错误； ③计算时遵循有理数运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。 【例题5】.（26-27七年级·全国·暑假作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 把代入得： 原式 ． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用整式乘法运算法则展开括号，合并同类项后计算除法得到化简结果，再代入，的值计算最终结果． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，合并同类项得到最简结果，再代入、的值计算即可求解． 【详解】解： ． 当，时 原式． 【题型6】整体代入法求代数式的值 1.核心知识点 整体思想；整式的恒等变形 2.解题方法技巧 ①观察已知式与待求式，寻找结构相同的代数式，将其视作一个整体； ②对待求式进行扩倍、降次等变形，构造出与已知式完全相同的整体结构； ③将已知整体的值代入计算，无需单独求出每个字母的取值。 【例题6】.（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】， 将代入，得 ． 【变式题6-1】.（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【答案】 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·浙江温州·期中）若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【题型7】整式加减中的“不含项”与“无关型”问题 1.核心知识点 合并同类项；零系数的代数意义 2.解题方法技巧 ①先对整式去括号、合并同类项，按指定字母的降幂形式整理； ②“不含某一项”即该项的系数为0，据此列方程求解字母参数； ③“与某字母取值无关”即所有含该字母的项的系数之和均为0。 【例题7】.（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·北京房山·期中）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 选择的一个值．求的值． 甲说：“当时．原式．” 乙说：“当时，原式．”     丙说：“当为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】 解：这三位同学的说法都正确，理由如下： ∵ ， ， ， ∴多项式的结果恒等于2026，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法都正确． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 【压轴素养题型】 【题型8】整式加减中的错中求解问题 1.核心知识点 整式的加减运算；逆向思维 2.解题方法技巧 ①根据“看错的运算”与“错误结果”，利用加减互逆关系还原出原多项式； ②按照正确的运算关系重新列式计算，得到正确结果； ③常见看错类型：看错符号、看错数字、漏乘系数，核心是先还原原式。 【例题8】.（25-26七年级上·河北衡水·期末）嘉嘉在计算两个多项式的差时，误将连接两个多项式之间的“”号抄错为“”号，结果求得的结果为，若． (1)先求出多项式，再求的结果； (2)淇淇想不求，利用已知条件直接求的结果，经过思考，她写出了如图不完整的解题过程： 因为， 所以， 所以__？___（用含的式子表示）． …… ①方框中“？”处的内容为_____； ②请将解题过程补充完整． 【答案】(1)； (2)①； ②， ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练计算是解题的关键． （1）根据题意可得，再求得的结果； （2）①根据代入消元法即可解答； ②根据整式的加减即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得， 则 ； （2）解：①根据题意可得； 故答案为：； ②略 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川南充·期末）小明在计算一个多项式减去时，误将“减去”抄成了“加上”，结果得到，则正确的结果是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则、合并同类项法则以及利用错误结果反推原多项式的方法是解题的关键．设原多项式为 ，错误操作是 ，先求出 ，再计算正确结果 【详解】解：设原多项式为， 由错误操作得 ， 正确结果为 ， 故答案为 【变式题8-2】.（25-26七年级上·四川达州·期末）黑板上有一道题，是一个多项式减去，某同学由于大意，将减号抄成加号，得出结果是，则这道题的正确结果是__________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，弄清题意是解本题的关键． 根据错误操作的结果求出原多项式，再计算正确结果． 【详解】解：原多项式为 正确结果为． 故答案为： 【变式题8-3】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）有一道题目是一个多项式减，小马虎误当成了这个多项式加，结果得到，那么这个多项式是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算是解题的关键． 令原多项式为，先按错误的说法，列出关于的等式，运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果． 【详解】解：令原多项式为， 由题意得， 解得 ， 因此， 故答案为：． 【题型9】新定义运算与整式加减 1.核心知识点 新定义规则理解；整式的混合运算 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的运算规则，明确运算顺序与优先级； ②将新定义运算转化为常规的整式加减、乘方运算，严格按规则代入计算； ③多层嵌套的新定义运算，按从内到外的顺序逐层计算，重点关注符号处理。 【例题9】.（2026·宁夏银川·一模）定义：若一个三位数的十位数字的倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫做“倍和数”．例如三位数，因为，所以它是“倍和数”． 【理解定义】 (1)三位数是否为“倍和数”？ 【建模推理】 (2)设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为：______； (3)任意一个“倍和数”都能被整除吗？为什么？ 【答案】(1)不是， (2)； (3) 解：任意一个“倍和数”都能被整除，理由： 设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，， 所以这个三位数为， 由（）得：，即， 所以 ， 因为是正整数，为非负整数， 所以为非负整数， 所以能被整除， 即任意一个“倍和数”都能被整除． 【分析】（）根据“倍和数”即可求解； （）根据“倍和数”即可求解； （）设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，所以这个三位数为，由（）得：，即，整理得，从而求解． 【详解】（1）解：由三位数得： 因为， 所以它不是“倍和数”； （2）解：因为一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，， 所以； （3）略 【变式题9-1】.（2026·河北石家庄·一模）定义：若一个三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍，则这个三位数叫做“和倍数”．例如，三位数，因为，所以它是“和倍数”． 【理解定义】 (1)三位数是“和倍数”吗？ ．（填写“是”或者“不是”） 【建模推理】 (2)设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为 ； (3)任意一个“和倍数”都能被整除吗？请说明理由． 【答案】(1)不是 (2) (3)任意一个“和倍数”都能被整除，理由如下： 设一个“和倍数”的百位、十位、个位数字分别为，，， ∴， ∴ ， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴是的倍数； 故任意一个“和倍数”都能被整除． 【分析】（1）计算是否为的倍即可判断； （2）根据“和倍数”的定义即可得出结果； （3）由，可得，符合的倍数的特征，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， 故三位数不是“和倍数”； （2）解：根据“和倍数”的定义， 即三位数的百位数字与个位数字的和恰好等于十位数字的倍， 可得； （3）略 【变式题9-2】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）不是，是 （2） （3）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下： 根据题意得，， ∵为正整数，为自然数，且， ∴是11的倍数， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，整式的加减，解题的关键是理解题中的定义． （1）根据“极差数”的定义进行判断即可； （2）根据“极差数”的定义列出关系式即可； （3）根据“极差数”的定义列出代数式，整理代数式进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴三位数265不是“极差数”； ∵， ∴三位数583是“极差数”； 故答案为：不是，是； （2）根据题意得，之间的关系式为， 故答案为：； （3）略 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3)不一定是，理由见解析 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）解：不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【题型10】整式加减的实际方案应用 1.核心知识点 列代数式；整式加减运算；方案优化比较 2.解题方法技巧 ①读懂实际情境（购物优惠、工程费用、行程问题等），分别用代数式表示各方案的总费用； ②通过整式的加减运算计算两个方案的费用差值，判断方案优劣； ③结合实际取值范围，给出最优方案的选择建议。 【例题10】.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，长为（），宽为（）的大长方形被分割为7小块，除阴影，外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为________________（用代数式表示）； (2)阴影的一条较短边和阴影的一条较短边之和为，是_____________的（填正确/错误）；阴影和阴影的周长值之和与_____________（填有关/无关），与_____________（填有关/无关）： 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 【分析】（1）分析图形，已知小长方形较短边为，大长方形总长为，大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边，计算即可； （2）分别根据图形计算阴影的一条较短边和阴影的一条较短边，再计算两者之和，最后再计算阴影和阴影的周长值之和即可． 【详解】（1）∵大长方形的长 小长方形较长边 3个小长方形较短边， ∴小长方形的较长边为； （2）阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为，左侧两个空白小长方形的竖直高度各为， ∴的较短边为 ， 阴影的较短边（竖直边）：大长方形宽为， ∴的较短边为 ； ∴两者和为：，因此题目说法正确； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 阴影：长为，宽为， ∴周长为； 周长和为：； ∵ 结果中仅含，不含， ∴周长之和与有关，与无关． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)①，； ②证明： ， ，为正整数， 为整数， 顺子数都可以被3整除． 【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可； （2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； ②把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； （2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）； （3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数， ∴； ②略 【变式题10-2】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 易错点 1、去括号符号错误：括号前是负号时，仅改变首项符号，漏改后续项的符号；括号前有数字系数时，漏乘括号内的常数项或部分项。 2、同类项判断失误：误将字母相同但指数不同的项当作同类项，或忽略“相同字母指数分别相等”的判定条件。 3、代入求值不规范：代入负数或分数进行乘方运算时，漏加括号导致符号错误或运算顺序错误。 4、“无关型”问题理解偏差：误将常数项系数也置为0，或只令最高次项系数为0，忽略低次同类项的合并系数。 重点 1、同类项的概念与合并同类项的法则，是整式加减运算的核心基础。 2、去括号法则与整式加减的运算步骤，能熟练完成整式的化简与求值。 难点 1、整体代入思想在代数式求值中的应用，以及“不含项”“与字母无关”类问题的求解逻辑。 2、整式加减与规律探究、数轴绝对值、实际方案优化等知识的综合应用。 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 【详解】解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 2．若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 3．按如图所示的规律拼接餐桌和椅子（每个小半圆代表把椅子），张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，张餐桌配把椅子，…，若将张餐桌按上述方式拼接摆放，一共需配（     ）把椅子 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形变化，得出张餐桌时，椅子数为把（为正整数），代入即可得出结论． 【详解】解：观察图形，发现每多添一张餐桌多2把椅子， 故张餐桌时，椅子数为（把）（为正整数）． 令，可得（把）． 二、填空题 4．若，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 5．“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分析得造型桌面的长、宽分别为，则可求得该桌面的周长． 【详解】解：造型桌面的长为，宽为， 则该造型桌面的周长为． 6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环． ， 第次输出的结果是． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项即可得出结果； （2）先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【分析】多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，二次项的数字因数为二次项的系数，求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 9．有一种计算器，输出规则如下：输入两个关于的整式，，对它们进行整式加法运算，若的结果为单项式，则输出该单项式加1；若的结果为多项式，则输出该多项式的最高次项与最低次项的和．已知输入的整式． (1)若，求输出的结果； (2)若输出结果为，则整式应满足什么条件？写出结论，并说明理由； 【答案】(1) (2)解：，其中a为任意实数，理由如下： ∵输出结果为，没有项， ∴为多项式， ∵为多项式，输出结果为， ∴的最高次项为，即的最高次项为， 设整式为， ∴， ∵最高次项为，最低次项为x， ∴a为任意实数， 解得， 综上结论：，其中a为任意实数． 【分析】（1）先求出，为多项式，再根据题意进行求解即可． （2）先推导出为多项式，且的最高次项为，设整式为，求出，再根据题意，得到a为任意实数，继而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为多项式， 最高次项，最低次项， ∴输出结果为； （2）略 10．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $