第21章 一元二次方程【章末复习】（课件）--2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识结构框架将实际问题、数量关系、方程解法与数学思想层层关联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融入分类讨论、转化等数学思想，设计赵爽几何解法等探究活动，培养学生的数学思维与创新意识，同时通过基础题、综合题、易错题分层练习，结合利润、几何等实际应用案例，提升数学语言表达能力，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 章末复习 2026年8月4日 华东师大版九年级上册第21章 一元二次方程 章末复习试卷 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A.$$2x+3=0$$ B.$$x^2-2x=0$$ C.$$x^2+y=5$$ D.$$x^3-x^2=1$$ 2. 一元二次方程$$2x^2-6x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A.2、-6、1 B.2、6、1 C.-2、-6、1 D.2、-6、-1 3. 用直接开平方法解方程$$(x+3)^2=16$$，方程的解为（） A.$$x=1$$ B.$$x=-7$$ C.$$x_1=1，x_2=-7$$ D.$$x_1=7，x_2=-1$$ 4. 关于一元二次方程$$x^2-4x+5=0$$的根的情况，下列说法正确的是（） A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根 C.无实数根 D.无法判断 5. 已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-5x+6=0$$的两根，则$$x_1+x_2$$的值为（） A.5 B.-5 C.6 D.-6 6. 某商品经过两次等额增长率涨价，原价100元，现价144元，设增长率为$$x$$，列方程正确的是（） A.$$100(1+2x)=144$$ B.$$100(1+x)^2=144$$ C.$$100+100x^2=144$$ D.$$100(1-x)^2=144$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 一元二次方程的一般形式是________（$$a e0$$）。 2. 用配方法将$$x^2-8x$$配方，需添加的常数是________。 3. 一元二次方程根的判别式$$\Delta=$$________，当$$\Delta\ge0$$时，方程________实数根。 4. 已知方程$$x^2+kx-8=0$$的一个根是2，则另一个根是________。 5. 矩形面积为60，长比宽多4，设宽为$$x$$，可列方程为________。 6. 某商品进价30元，售价50元，每天售40件，每件降价1元多卖5件，降价$$x$$元后，每天销量为________件。 三、解答题（共52分） 13.（12分）选用合适的方法解下列一元二次方程： (1)$$x^2-25=0$$（直接开平方法） &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$x^2-6x+5=0$$（配方法） &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)$$2x^2-3x-2=0$$（公式法） 14.（12分）已知关于$$x$$的一元二次方程$$x^2-(m+1)x+2m-2=0$$。 (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有一个根为4，求$$m$$的值。 15.（14分）已知$$x_1、x_2$$是方程$$x^2-4x-2=0$$的两根，利用根与系数的关系，求下列代数式的值： (1)$$x_1^2+x_2^2$$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$ 16.（14分）应用题：某服装店销售T恤，每件进价25元，售价40元，平均每天可售出20件。市场调查发现，每件降价1元，日均销量增加4件，若想要每天获利450元，每件T恤应降价多少元？ 参考答案 1.B &nbsp;2.A &nbsp;3.C &nbsp;4.C &nbsp;5.A &nbsp;6.B 7.$$ax^2+bx+c=0$$ &nbsp;8.$$16$$ &nbsp;9.$$b^2-4ac$$、有 &nbsp;10.$$-4$$ &nbsp;11.$$x(x+4)=60$$ &nbsp;12.$$40+5x$$ 13.解：(1)$$x^2=25$$，解得$$x_1=5，x_2=-5$$ (2)移项得$$x^2-6x=-5$$，配方得$$(x-3)^2=4$$，开方得$$x-3=\pm2$$，解得$$x_1=5，x_2=1$$ (3)$$a=2，b=-3，c=-2$$，$$\Delta=9+16=25$$，$$x=\dfrac{3\pm5}{4}$$，解得$$x_1=2，x_2=-\dfrac{1}{2}$$ 14.(1)证明：$$\Delta=(m+1)^2-4(2m-2)=m^2+2m+1-8m+8=m^2-6m+9=(m-3)^2\ge0$$，∴方程总有实数根。 (2)解：将$$x=4$$代入方程得：$$16-4(m+1)+2m-2=0$$，化简得$$10-2m=0$$，解得$$m=5$$。 15.解：由题意得$$x_1+x_2=4$$，$$x_1x_2=-2$$ (1)原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16+4=20$$ (2)原式$$=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4}{-2}=-2$$ 16.解：设每件T恤降价$$x$$元，单件利润$$(40-25-x)=(15-x)$$元，日均销量$$(20+4x)$$件。 由题意列方程：$$(15-x)(20+4x)=450$$，整理得$$x^2-10x+75=0$$。 解得$$x_1=5，x_2=15$$（舍去，降价15元无利润）。 答：每件T恤应降价5元。 章末核心知识总结 1. 一元二次方程定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，一般形式$$ax^2+bx+c=0(a e0)$$。 2. 四种解法：直接开平方法（适用于平方式形式）、配方法（通用基础方法）、公式法（万能解法）、因式分解法（简便快捷）。 3. 根的判别式：$$\Delta>0$$两个不等实根，$$\Delta=0$$两个相等实根，$$\Delta<0$$无实根。 4. 根与系数关系（韦达定理）：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$（前提$$\Delta\ge0$$）。 5. 实际应用：核心建模公式，变化率$$a(1\pm x)^2=b$$，利润=单件利润×销售量，图形面积套用对应公式，解后需结合实际验根。 知识梳理 一 2 一半的平方 ＞ ＝ ＜ 知识结构 实际问题 直接开平方法 分析数量关系 一元二次方程 公式法 配方 因式分解法 一元二次方程的解法 平方根 一元二次方程的根 一元一次方程 根的判别式 根与系数的关系 要点巩固 相关概念 整式方程中只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____这样的方程叫做一元二次方程. 一 2 解（根）：能使一元二次方程左右两边_______的未知数的值. 相等 一般形式 ax² + bx + c = 0（a、b、c 是已知数，a ≠ 0），其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 解 法 直接开平方法：解形如 x² = p (p ≥ 0) 或 (mx + n)² = p（m、n、p 为常数，m ≠ 0，p ≥ 0）的方程 因式分解法：把方程变形为 ab = 0 的形式，则 a = 0 或 b = 0 配方法：配方时，先将二次项系数化为 1，再在方程两边同时加上一次项系数_____________ 公式法：求根公式为_______________（b2－4ac ≥ 0） 一半的平方 x = 根的判别式Δ=b2－4ac Δ______0 方程有两个不相等的实数根 Δ______0 方程有两个相等的实数根 Δ______0 方程没有实数根 > = < 根与系数的关系 如果方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根 x1、x2， 那么 x1 + x2 =_______，x1x2 =______ . 一元二次方程的应用 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答. A 组 1. 解下列方程： （2）6x2－40 = 0； 解 （1）x1 =0，x2 . （1）3x2 = 2x； （3）x(3x－1) = 3－x； （2）x1 =，x2 . （3）x1 = 1，x2. （4）y(y－2) = 4－y； （6）t(t－2)－3t2 = 0. （5）4x(1－x) = 1； （4）y1 =，y2 . （5）x1 =x2 . （6）t1 = 0，t2. 2. 已知关于 x 的方程 x²－3x + k = 0. （1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 k 取何值时，方程没有实数根？ 解: Δ ＝ (－3)2 －4×1×k ＝ 9－4k . （1）当 9－4k > 0，即 k < 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 9－4k = 0，即 k = 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 9－4k < 0，即 k > 时，方程没有实数根. 3. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： （1）2x² + 5x－1 = 0； （2） (x + 2)² = 2(x² + 3). 解: 设两根为 x1，x2 . （1）x1 + x2 ＝－，x1x2 ＝－ . （2）原方程可变形为 x2 －4x + 2 ＝ 0， 则 x1 + x2 ＝ 4，x1x2 ＝ 2. 4. 已知 A = 2x² + 7x－1，B = 4x + 1， 分别求出满足下列 条件的 x 的值： （1）A 与 B 的值互为相反数；（2）A 的值比 B 的值大 3. 解:（1）由题意，得 A + B ＝ 0，即 2x2 + 7x－1 + 4x + 1＝ 0，则 2x2 + 11x ＝ 0，解得 x1 ＝ 0，x2 ＝－ . （2）由题意，得 A－B ＝3，即 2x2 + 7x－1－(4x + 1) ＝ 3， 则 2x2 + 3x－5 ＝ 0，解得 x1 ＝ 1，x2 ＝－ . 5. 已知关于 x 的方程 (2x－m)(mx + 1) = (3x + 1)(mx－1) 有一个根是 0，求它的另一个根和 m 的值. 解: 把 x ＝ 0 代入方程，得－m ＝－1，解得 m ＝ 1. 所以原方程为(2x－1)(x + 1) ＝ (3x + 1)(x－1)， 即 x2 －3x ＝0，解得 x1 ＝ 0，x2 ＝ 3. 所以方程的另一个根是 3，m 的值为 1. 6. 已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数. 解:设中间的奇数为 a，则较小的奇数为 a－2，较大的 奇数为 a + 2. 由题意，得 (a－2)2 + a2 + (a + 2)2 ＝ 371， 解得 a1 ＝ 11，a2 ＝－11， 所以这三个奇数分别为 9、11、13 或－13、－11、－9. 7. 要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽为 4 m 的绿化带， 使余下部分的面积为 100 m². 求原正方形广场的边长. (精确到 0.1 m) 解:设原正方形广场的边长为 x m. 由题意，得 (x－4)x ＝ 100， 解得 x1 ＝2 + 2 ≈ 12.2，x2 ＝2－2 (不合题意，舍去). 答:原正方形广场的边长约为 12.2 m. 8. 村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为 1.6 m² 的等腰 梯形，它的上底比渠深多 2 m，下底比渠深多 0.4 m. 求灌溉 渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度. x m x + 0.4 x + 2 解:设灌溉渠的深度为 x m，则灌溉渠横截面上底边的长为(x + 2) m，下底边的长为(x + 0.4) m. 由题意，得 (x + 2 + x + 0.4) x ＝ 1.6， 解得 x1 ＝0.8，x2 ＝－2 (不合题意，舍去). 所以 0.8 + 2 ＝ 2.8 (m)，0.8 + 0.4 ＝1.2 (m). 答:灌溉渠横截面上、下底边的长分别为 2.8 m、1.2 m， 灌溉渠的深度为 0.8 m. 9. 如图，某海关缉私艇在点 O 处发现在正北方向 30 n mile 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60 km 的速度向正东方 向航行，随即调整方向，以 75 km 的速度准备在 B 处拦截. 问：经过多少时间能赶上？ B A O 北 解:设经过 x h 能赶上. 由题意，得 (60x)2 + 302 ＝ (75x)2 ， 解得 x1 ＝ ，x2 ＝－ (不合题意，舍去). 所以 ×60 ＝ 40 (min). 答:经过 40 min 能赶上. 整合1一元二次方程及其相关概念 1.已知关于x的方程 (1)当k________时，此方程是一元一次方程； (2)当k________时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一次项系数和常数项分别为________________； (3)若x＝1是该一元二次方程的根，则 k＝_______________. 核心知识巩固 ＝－2 ≠±2 k2－4，k－2，0 －3 考试考法 整合2一元二次方程的解法 2.选择适当的方法解下列方程： (1)5x2－125＝0；　　　　　(2)x2－8x＋15＝0； 解：(1) 因为5x2－125＝0，所以5x2＝125，即x2＝25， 所以x1＝5，x2＝－5. 解：(2)因为x2－8x＋15＝0，所以(x－3)(x－5)＝0，所以x－3＝0或x－5＝0，所以x1＝3，x2＝5. 考试考法 (3)x2－6x＋6＝0；　　　　(4)x(x－7)＝8(7－x)． 解：(4)因为x(x－7)＝8(7－x)， 所以x(x－7)＋8(x－7)＝0， 所以(x－7)(x＋8)＝0，所以x1＝7，x2＝－8. 考试考法 整合3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3.[广东深圳模拟]关于x的一元二次方程x2－2x－k2＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有无实数根无法判断 A 考试考法 4．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是(　　) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 A 考试考法 5．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； 证明：因为Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8>0， 所以方程有两个不相等的实数根． 考试考法 (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值． 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.因为x12＋x22－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝7， 所以(m－3)2－3·(－m)＝7，解得m1＝1，m2＝2， 所以m的值为1或2. 考试考法 整合4一元二次方程的应用 6.【新情境】如图，点点所在社区将举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台(阴影部分)．若舞台中间空白部分的面积为216 m2，则正方形绿地的边长为(　　) A．24 m B．20 m C．18 m D．16 m A 考试考法 7．山西临汾期中 阅读素材，完成下列问题． 素材1：某商店销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元． 素材2：为了扩大销售，增加利润并尽快减少库存，商店决定降价销售．经调查发现，每件衬衫每降价1元，商店平均每天可多售出2件． 考试考法 (1)若商店销售该衬衫平均每天要获得利润1 200元，则每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200， 解得x1＝10，x2＝20. 因为要尽快减少库存，所以x＝20. 答：每件衬衫应降价20元． 考试考法 (2)商店销售该衬衫平均每天获得的利润有可能是1 500元吗？请说明理由． 解：不可能．理由如下： 当(40－x)(20＋2x)＝1 500时， 整理，得x2－30x＋350＝0. 因为b2－4ac＝－500<0，所以该方程无实数根， 所以商店销售该衬衫平均每天获得的利润不可能是1 500元． 考试考法 整合5数学思想 8.(整体思想)已知(x2＋y2)2＋5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2的值为________． 1 考试考法 9.(转化思想)已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则式子2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值为________． 36 考试考法 10.(分类讨论思想)有一边长为3的等腰三角形，它的其他两边长是方程x2－4x＋k＝0的两根，则k的值为_______． 3或4 点拨：①若等腰三角形的底边长为3，则方程x2－4x＋k＝0的两根为腰长，两根相等，所以Δ＝(－4)2－4k＝0，得k＝4，当k＝4时，方程为x2－4x＋4＝0，两根为x1＝x2＝2，符合要求； ②若等腰三角形的腰长为3，则方程两根中有一根为3，将x＝3代入方程，得9－12＋k＝0，解得k＝3，此时方程为x2－4x＋3＝0，两根为x1＝3，x2＝1，符合要求．综合可得k＝3或k＝4. 考试考法 整合6易错题 11.已知关于x的方程x2＋(8－4m)x＋4m2＝0的两根为x1，x2，且x12＋x22＝136，求m的值．  解：因为x1＋x2＝4m－8，x1x2＝4m2，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，所以(4m－8)2－2×4m2＝136，解得m1＝－1，m2＝9. 当m＝9时，方程为x2－28x＋324＝0， Δ＝b2－4ac＝－512<0，所以方程无实数根，所以m＝9应舍去； 当m＝－1时，方程为x2＋12x＋4＝0， Δ＝b2－4ac＝128＞0，所以方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m的值为－1. 考试考法 考试考法 考试考法 所以b＝a(3m＋n)，c＝amn，所以b2－12ac＝[a(3m＋n)]2－12a2mn＝a2(9m2＋6mn＋n2)－12a2mn ＝a2(9m2－6mn＋n2)＝a2(3m－n)2. 因为a，m，n是实数，所以a2(3m－n)2≥0，所以b2－12ac 为非负数． 考试考法 数学活动 【新趋势·探究建模】阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中介绍了关于一元二次方程的几何解法，以方程x2＋2x－35＝0为例，解法如下： 考试考法 考试考法 【类比迁移】小明根据赵爽的解法求方程x2＋x－6＝0的正根，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程x2＋x－6＝0变形为x(________)＝6； 第二步：画四个________________的矩形构造“空心”大正方形(请在图②中画出示意图，标明各边长)，并写出完整的解答过程． 解答过程： x＋1 长为x＋1，宽为x 考试考法 解答过程：如图所示： 画四个长为x＋1，宽为x的矩形，则图中大正方形的面积可表示为(x＋x＋1)2，还可以表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形的面积之和，即4x(x＋1)＋12＝4×6＋1，因此，可得新方程：(x＋x＋1)2＝25， 因为x表示边长，所以2x＋1＝5，即x＝2， 考试考法 谢谢观看 THANKS － x2＋x＝0. 解：(3)因为x2－6x＋6＝0，所以x2－6x＝－6. 所以x2－6x＋9＝3.所以(x－3)2＝3. 所以x－3＝±.所以x1＝3＋，x2＝3－. 整合7代数推理 12.【新趋势·代理推理】已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝，mn＝.求证：b2－12ac为非负数． 证明：(方法一)： 由3m＋n＝，得(－3m)＋(－n)＝－. 由mn＝，得(－3m)(－n)＝. 所以－3m和－n是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋3c＝0的两根，所以Δ＝b2－4a·3c＝b2－12ac≥0，所以b2－12ac 为非负数． 证明：(方法二)：因为3m＋n＝，mn＝， 首先将方程x2＋2x－35＝0变形为x＝35，然后画四个长为x＋2，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为2，还可以表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形的面积之和，即4x＋22＝4×35＋4，因此，可得新方程：2＝144.因为x表示边长，所以2x＋2＝12，即x＝5，但这样的解法只能得到方程的其中一个正根． $