第21章 一元二次方程（复习课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识图谱构建从实际问题到列方程、解方程、检验的逻辑链条，考点串讲按概念-解法-根的性质-应用递进，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于题型全解覆盖14类典型问题，每类配例题解析与方法总结，如配方法求最值、根与系数关系求代数式值，培养运算能力与推理意识。针对训练分层设计，结合增长率、几何等实际问题渗透建模思想，助力学生巩固知识提升素养，教师可精准把握学情提高复习效率。

第21章 一元二次方程 复习课件 华东师大版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 能准确识别一元二次方程，能把一元二次方程化成一般式，并能正确指出各项的系数。 02 基本技能 掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解解法。能根据方程特征选用适当的方法解一元二次方程。 深化理解 能用根的判别式判断方程根的情况。能根据根的情况求字母系数的取值范围。 思想与应用 在解决实际问题时，进而建立方程模型，借助一元二次方程求解，得到结论，是数学建模思想应用的重要体现。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 (1)用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程;（2）用根的判别式判定一元二次方程实根的存在性问；(3)列出一元二次方程解应用问题，会检验方程解的合理性。 (1)一元二次方程的概念和解法； （2）一元二次方程根的判别式； （3）一元二次程根与系数的关系； (4)列出一元二次方程解应用题。 4 知识图谱 实际问题 配方法 实际问题的答案 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 公式法 因式分解法 设未知数，列方程 解方程 检验 降次 5 考点串讲 ——1：一元二次方程的概念 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的三要素 ：（1）是整式方程（整理前）； （2）只含有一个未知数；（3）整理后未知数的最高次数是2。 6 考点串讲 ——2：一元二次方程的基本概念 1.项数和系数：ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 7 考点串讲 ——3：一元二次方程的根 1.定义： 使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值。 2.判断一个数值是否为一元二次方程的根的方法： 将这个数值代入一元二次方程，看方程两边是否相等. 若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根。 8 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2＝n(n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n) ＝0 9 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 1.直接开平方法： 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 类型 表达形式 求解方法 x2=k（k≥0） x=±, (mx+n)²=k(k≥0) mx+n=± (ax+b)²=(mx+n)² ax+b=±(mx+n) 开平方把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程,得原方程的根 适用类型 10 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 2.配方法 当一元二次方程的二次项系数为1时, 可先把常数项移到方程的右边,然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程的左边配成一个完全平方式,再由平方根的意义求解方程。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。 （1）化；（2）移；（3）配；（4）开；（5）写。 配方法解一元二次方程的一般步骤： 11 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 3.公式法 一般地,当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是：x = 。 用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。 步骤 一化：把一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0 ；二定：确定a，b，c的值，不要漏掉符号； 三算：计算 b2-4ac 确定方程根的情况； 四判：判断 b2-4ac 的符号； 五代: 代入求根公式。 12 考点串讲 ——4：一元二次方程的解法 4.因式分解法 利用提取公因式，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法把方程左边化成两个因式乘积的形式，右边为0，从而实现降次转化成一次方程从而得解。 因式分解法求解的步骤： 第一步：移项变形 右式化为 0 第二步：因式分解左式变成乘积 第三步降次求解 解一次方程 13 考点串讲 ——5：一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 2.利用一元二次方程根与系数的关系讨论根的符号： Δ≥0且x1•x2＞0 Δ＞0且x1•x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值较大 两根异号且负根的绝对值较大 14 考点串讲 ——5：一元二次方程根与系数的关系 3.一元二次方程根与系数关系的应用： (1)不解方程，求关于两根的代数式的值; (2)已知方程的一个根，求另一个根及方程中字母系数值; (3)已知方程两根的关系，求方程中字母系数的值。 15 考点串讲 ——6：一元二次方程与实际问题 1.列一元二次方程解实际问题的一般步骤是： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 增长率问题 病毒传播问题 几何问题 销售问题 循环赛问题 16 题型全解 题型01 依据一元二次方程的概念确定字母的值 例1、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m=______. 解析：∵ 是关于 x 的一元二次方程， ∴ 2-m ≠ 0, |m|=2， ∴ m=-2， 故答案为：-2。 17 题型全解 根据一元二次方程的概念确定字母的值方法总结 条件 1：未知数的次数 当一元二次方程的未知数的最高次数含有字母时，未知数的最高次数2. 条件 2：二次项系数 当二次项系数是含字母的代数式时必须保证二次项系数不为0。 题型01 依据一元二次方程的概念确定字母的值 题型全解 题型02 一元二次方程的解法--因式分解 例：方程 4x²=x 的根为（ ） A.x₁=x₂=4 B.x₁=0，x₂=4 C.x₁=x₂= D.x₁=0，x₂= 解：4x² = x 移项得：4x² - x = 0 提取公因式得：x(4x - 1) = 0 所以 x = 0 或 4x - 1 = 0 解得 x₁ = 0，x₂ = 故选：D。 19 题型全解 题型02 一元二次方程的解法--直接开平方法 例：如一元二次方程 x² - 4 = 0 的解是（ ） A. x₁=2,x₂=-2 B. x=-2 C. x=2 D. x₁=2,x₂=0 解析：x² - 4 = 0, x²= 4, ∴ x = ± 2, ∴ x₁ = 2, x₂ = -2, 故选：A。 20 题型全解 题型02 一元二次方程的解法--配方法 例：用配方法解关于 x 的一元二次方程 x² - 2x = 4，配方后的方程是（ ） A. (x-1)²=4　B. (x+1)²=4　C. (x-1)²=5　D. (x+1)²=5 解析： ∵ x² - 2x &= 4, ∴ x² - 2x + 1 = 4 + 1, 即 (x - 1)² = 5, 故选：C。 21 题型全解 题型02 一元二次方程的解法--公式法 例：用公式法解方程 x²-3x-1=0； 解：(1) ∵ a=1,b=-3,c=-1， ∴ = b²-4ac = (-3)² - 4×1×(-1) = 13, ∴ x = , 即 。 22 题型全解 适当解法选择方法总结 总结极简解法判断依据 1. 能分解成乘积=0 → 因式分解法 2. 能化成平方=常数 → 直接开平方法 3. 以上都做不到 → 公式法 4. 题目硬性规定配方 / 需求最值 → 配方法 补充辅助解法判断小依据 1. 常数项c=0：大多提公因式， 优先因式分解； 2. 一次项b=0：优先直接开平方法； 3. a、b、c都是较小整数，优先 尝试因式分解； 4. a、b、c数值大、带根号、小数， 直接用公式法。 题型02 一元二次方程的解法 题型全解 题型03 配方法的应用 例3、阅读材料:把一个多项式进行配方可以解决代数式 的最大(或最小)值问题。 例如:x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2 ∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2, ∴代数式x2+2x+3有最小值，最小值是2。 根据以上信息，解决下列问题:(1)求代数式x2-4x+5的最小值; (2)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值。 24 题型全解 题型03 配方法的应用 解：（1）x2-4x+5=(x2-4x+4)+1=(x-2)2+1 ∵(x-2)2≥0,∴(x-2)2+1≥1, ∴代数式x2-4x+5有最小值，最小值是1。 （2）∵2x2+kx+7=2（x2+x)+7=2(x+)2+7- ∴代数式2x2+kx有最小值7-. ∴7- =2 ∴k=±2 25 题型全解 方法总结 用配方法求代数式的最值 求多项式ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的最值时，要先把多项式配方成a(x+h)2+k的形式。若a≠1,则需要提出二次项系数a，对括号中的式子进行配方，配方时，括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方。若a>0，则代数式ax2+bx+c有最小值;若a<0，则代数式ax2+bx+c有最大值。 题型03 配方法的应用 题型全解 题型04 根据一元二次方程根的情况求字母系数的值 例4、已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解:由题意得, k+1≥2。 1-2k≠0， ∴ b2-4ac=（-2）2-4(1-2k)×（-1）＞0. 解得,-1≤k＜2且k≠ 27 题型全解 方法总结 根据一元二次方程根的情况求字母系数的值 在解一元二次方程中字母的取值或取值范围问题时，要认真观 察，如果二次项系数是含有字母的代数式，那么要确保二次项系数不等于零，只有在这一条件下讨论的方程才是一元二次方程。另外，绝对不能把方程有实数根与有两个实数根混为一谈。在解题时，不要一 遇到“实数根”的字眼，就想当然地认为方程就一定是一元二次方程，因为一元一次方程有实数解也可以称作一元一次方程有实数根。 题型04 根据一元二次方程根的情况求字母系数的值 题型全解 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 例5：已知t为一元二次方程x² - 1011x + 2023 = 0的一个解，则2t² - 2022t的值为( ) A. -2023 B. -2022 C. -4046 D. -4044 解析：∵ t为一元二次方程x² - 1011x + 2023 = 0的一个解， ∴ t² - 1011t + 2023 = 0， ∴ t² - 1011t = -2023， ∴ 2t² - 2022t= 2(t² - 1011t)= 2 × (-2023)= -4046， 故选：C. 29 题型全解 方法总结 由一元二次方程的解求代数式的值 遇方程求解代数式，核心思路要记牢； 方程解代入原等式，高次变低是诀窍； 先化简再降次，替换替换真巧妙； 化降代三步紧跟随，精准求值不用跑。 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 题型全解 题型06 根的判别式 例6：关于x的一元二次方程x² + (k - 3)x + 1 - k = 0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 解析：要判断方程根的情况，计算判别式： 因为(k-1)²≥0，所以 =(k-1)²+4>0，方程有两个不相等的实数根。 答案选A。 A 31 题型全解 方法总结 1.明确判别式公式：一元二次方程ax²+ bx + c = 0（a≠0）的判别式为 = b²- 4ac，需牢记公式结构。 2.掌握判别规则：当 > 0时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0时，方程有两个相等的实数根；当 < 0时，方程无实数根，需根据 的符号准确判断。 3.结合方程分析：先确定方程的a、b、c，再计算 ，最后依据判别规则得出根的情况，确保每步逻辑清晰。 题型06 根的判别式 题型全解 题型07 利用根的判别式进行相关证明 例7、已知关于x的方程kx2-(4k-3)x+3k-3=0。 (1)若k=1，求该方程的根。 (2)若x=-1是该方程的一个根，求k的值。 (3)小慧同学提出:无论k取何值，这个方程都有实数根。请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由。 解析：(1)把k的值代入方程，利用因式分解法求解; (2)把x=-1代入方程，化为关于k的方程求解; (3)根据题意，分方程是一元二次方程和方程是一元一次方程 两种情况讨论。 33 题型全解 解:(1)若k=1,则方程为x2-x=0. ∴x(x-1)=0,解得∴ x1=3, x2=- 。 (2)把x=-1代人方程，得k+4k-3+3k-3=0, 解得k=,故k的值是. 题型07 利用根的判别式进行相关证明 34 题型全解 (3)小慧同学的观点正确。理由: ①当k≠0时， ∵Δ=[-(4k-3)]2-4k(3k-3)=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0, ∴这个方程有实数根。 ②当k=0时，原方程为3x-3=0， 解得x=1，这个方程有实数根。 ∴无论k取何值，方程都有实数根。 题型07 利用根的判别式进行相关证明 35 题型全解 方法总结 利用根的判别式证明一元二次方程有实数根的技巧 在利用根的判别式证明一元二次方程有实数根时，首先计算判别式，再判断判别式与0的大小关系，进而得到结论。需要注意的是，若判别式计算出来是一个多项式，要通过配方判断其取值范围。 题型07 利用根的判别式进行相关证明 题型全解 题型08 利用根的判别式解决几何图形问题 例8、已知关于x的一元二次方程ax2-(a+8)x+8=0，若平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形?求此菱形的边长。 解析：根据菱形的性质知道邻边相等，因为邻边是方程的两个根，所以得到方程有两个相等的实数根，利用Δ=0求出a的值，进而求得方程的解，问题得解。 37 题型全解 解:∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB=BC。 ∵AB,BC的长是已知方程的两个实数根 ∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ=[-(a+8)]2-4ax8=(a-8)2=0. ∴a的值为8, ∴一元二次方程为8x2-16x+8=0，解得x1=x2=1， ∴菱形的边长为1。 答:当a=8时，平行四边形ABCD是菱形，此菱形的边长为1。 题型08 利用根的判别式解决几何图形问题 38 题型全解 方法总结 利用根的判别式解决几何图形问题 解决一元二次方程根的判别式与几何图形的综合问题，一般根据几何图形的特点，确定一元二次方程根的判别式的取值，进而求出字母的值或范围，达到解决问题的目的。 题型08 利用根的判别式解决几何图形问题 题型全解 题型09 利用根与系数的关系求代数式的值 例9、已知关于x的一元二次方程kx2+(2k+1)x+k=0有两个实数根。 (1)求k的取值范围; (2)当k=1时,x1，x2是方程的两个根，求x12+4x1+x2-3x1x2的值。 解析:(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式， 得k≠0且Δ≥0，求k的取值范围; (2)先将k=1代入得到方程，再利用根的定义和根与系数的关系，对所求式子进行变形，代换求值。 40 题型全解 解:(1)∵方程是一元二次方程，: ∴二次项系数k≠0。: ∵方程有两个实数根，∴Δ≥0, 即Δ=(2k+1)2-4k·k=4k2+4k+1-4k2=4k+1≥0, 解得k≥-。 综上,k≥-且k≠0。 题型09 利用根与系数的关系求代数式的值 41 题型全解 (2)当k=1时，方程为x2+3x+1=0。 由根的定义，得x12+3x1+1=0,即x12+3x1=-1。 由根与系数的关系，得x1+x2=-3,x1x2=1, x12+4x1+x2-3x1x2 =x12+3x1+x1+x2-3x1x2 =-1+(-3) -3×1=-7. 题型09 利用根与系数的关系求代数式的值 42 题型全解 方法总结 利用根与系数的关系求代数式的值 利用根与系数的关系求与-元二次方程的两个根有关的代数式的值时，一般考虑将两根之和、两根之积整体代入。若代数式不能完全用两根之和、两根之积表示，则可考虑结合根的定义或其他已知条件，先将代数式变形为能利用两根之和、两根之积的形式，再代入求值。 题型09 利用根与系数的关系求代数式的值 题型全解 题型10 列一元二次方程解平均变化率问题 例10、习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气。”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投人，月份投人图书购置经费50万元，三月份投人图书购置经费72万元。 (1)求该市图书馆这两个月投入图书购置经费的月平均增长率。 (2)如果按(1)中经费投入的月平均增长率计算，该市图书馆计划四月份用不超过当月图书购置经费5%的金额购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室。若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台? 44 题型全解 解析:(1)根据“一月份投入的图书购置经费×（1+月平均增长率)2=三月份投入的图书购置经费”列出方程求解; (2)根据购买电脑和实物投影仪的总费用不超过四月份投入的图书购置经费的5%，列一元一次不等式求解。 解:(1)设月平均增长率为x， 根据题意，得50(1+x)2=72， 解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)。答:月平均增长率为20%。 题型10 列一元二次方程解平均变化率问题 45 题型全解 (2)四月份的图书购置经费为72(1+20%)=86.4(万元)， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪(15-m)台。 根据题意，得3300m+2400(15-m)≤864000×5%， 解得m≤8。 答:最多可购买电脑8台。 题型10 列一元二次方程解平均变化率问题 46 题型全解 题型11 列一元二次方程解利润问题 例11、某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件。现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果每件这种商品每涨价0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元? 分析:设每件售价提高x元，则列表如下: 类型 单件利润（元） 销售量 总利润（元） 涨价前 涨价后 10-8=2 200 2×200=400 10+x-8=x+2 200-×10 (x+2)(200- ×10) 47 题型全解 解:设每件售价提高x元，则每件利润为(10+x-8)元，即(x+2)元，每天的销售量为(200-×10)件。 根据题意，得(x+2)(200-×10)=640, 化简，得x2-8x+12=0, 解得x1=2，x2=6。 当x=2时，售价为每件12元，每天的销售量为200×10=160(件); 当x=6时，售价为每件16元，每天的销售量为200- ×10=80(件)。 题型11 列一元二次方程解利润问题 48 题型全解 题型12 列一元二次方程解几何问题 例12、小海家有一块空地，空地上有一面长为10m的围墙MN，小海打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为48m，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2m的门，门不消耗木栏，设AB的长为xm。 (1)如图(1),当AD≤MN时，①AD= m;(用含x的代数式表示) ②若围成的养蜂场面积为92m2，求AB的长。 (2)如图(2)，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到230m2? 说明理由。 49 题型全解 解:(1)①(50-2x) ②根据题意，得(50-2x)x=92 整理得x2-25x+46=0， 解得x1=2，x2=23。 当x=2时,50-2x=50-2x2=46>10,不符合题意，舍去; 当x=23时，50-2x=50-2x23=4<10,符合题意。 答:AB的长为23m。 题型12 列一元二次方程解几何问题 50 题型全解 (2)养蜂场的面积不能达到230m2。理由如下: 假设养蜂场的面积可以达到230m2， ∵AB的长为xm, ∴BC的长为48+2+10-2x=(30-x)m。 根据题意，得(30-x)x=230,整理，得x2-30x+230=0。 ∵4=(-30)2-4×1×230=-20<0,∴原方程没有实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230m2。 题型12 列一元二次方程解几何问题 51 题型全解 题型13 黄金分割点的应用 例13、图(1)是一张宽与长之比为:1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形。同学们都知道按如图(2)所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形吗?若是，请根据图(2)证明你的结论; 若不是，请说明理由。 52 题型全解 分析:本题需先根据四边形ABEF是正方形，得出AB，DC，AF的长，从而得出AF与AD的比值，再根据点F是线段AD的黄金分割点，即可求出FD与DC的比值，根据比值判定矩形CDFE是黄金矩形。 解:矩形EFDC是黄金矩形。 证明:∵四边形ABEF是正方形， ∴AB=DC=AF。 题型13 黄金分割点的应用 53 题型全解 ∵= ∴= , 即点F是线段AD的黄金分割点。 ∴ = = ∴ = ∴矩形CDFE是黄金矩形。 题型13 黄金分割点的应用 54 题型全解 题型14 列一元二次方程解工程问题 例14：甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成。甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务。 (1) 求甲工程队每小时修的路面长度； (2) 通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值。 55 题型全解 题型14 列一元二次方程解工程问题 解：（1）设乙工程队每小时修路 x 米，则甲工程队每小时修路 (2x + 30) 米。 根据题意，甲、乙两队32小时共修路4800米： 32x + 32(2x + 30) = 4800 32x + 64x + 960 = 4800 96x + 960 = 4800 96x = 3840 x = 40 甲工程队每小时修路： 2x + 30 = 2 × 40 + 30 = 110 (米) 答：甲工程队每小时修的路面长度为 110}米； 56 题型全解 题型14 列一元二次方程解工程问题 解：（2）据题意，两队实际工作量之和为5800米： 40(57 + m) + (110 - 3m)(32 + m) = 5800 2280 + 40m + 3520 + 110m - 96m - 3m² = 5800 5800 + 54m - 3m² = 5800 54m - 3m² &= 0 3m(18 - m) &= 0 解得 m = 0 或 m = 18。 由于 m = 0 不符合“时间增加”的题意，舍去，故 m = 18。 答：m 的值为18。 57 针对训练 1．如果关于 x 的一元二次方程 k²x² - (2k + 1)x + 1 = 0 有两个实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A. B. 且 k≠0 C. D. 且 k≠0 解析：由题意知， k²≠0 且 = b² - 4ac = (2k + 1)² - 4k²= 4k + 1≥0 ． 解得 且 k ≠ 0 ． 故选： D ． D 针对训练 2．已知 x₁ ， x₂ 是方程 x² + 3x - 1 = 0 的两根，则 x₁+ x₂- x₁x₂ 的值为（ ） A. 4 B.2 C. -4 D.-2 解析：根据韦达定理，对于方程 x² + 3x - 1 = 0 ，两根 x₁、 x₂满足： x₁+ x₂ = -3 ， x₁x₂= -1 。 代入 x₁ + x₂- x₁x₂得： -3 - (-1) = -2 。 故答案为D. D 针对训练 3.已知关于x的方程(m2-9)x2+(m+3)x-5=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程?并求出此方程的根. (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程?并写出这个方程的 二次项系数、一次项系数及常数项。 解:(1)根据一元一次方程的定义可知m2-9=0且m+3≠0， 解得m=3,此时方程为6x-5=0，解得x= (2)根据一元二次方程的定义可知m2-9≠0，解得m≠±3. 该方程的二次项系数为m2-9，一次项系数为m+3，常数项为一5. 针对训练 4.已知关于x的方程mx2+(4m-2)x+4m-4=0(m为常数，且m≠0)。 (1)求证:方程总有实数根。 (2)若该方程有两个实数根， ①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根，求这个实数根; ②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值。 解：（1）证明:∵m≠0,∴方程为一元二次方程。 ∴Δ=(4m-2)2-4m(4m-4)=4>0,∴方程总有实根。 针对训练 (2)解:①x= = 解得x1=-2, x2=-， ∴不论m取何实数，该方程总有一个不变的实根-2。 ②∵x=- =-2+，又m为整数， ∴当m=±1，±2时，-2+为整数， 即m为±1，±2时方程的两个实根都是整数。 针对训练 5.已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根，第三边BC的长为5，当 k为何值时，△ABC是等腰三角形?并求此时△ABC的周长。 分析:要使△ABC为等腰三角形，即有AB= AC或AB=BC 或AC=BC，注意分类讨论，把已知根代入方程即可求出k的值。 解:当△ABC是等腰三角形时，分类讨论如下: ①若BC为底，则AB=AC。此时应有Δ=0， Δ=[-(2k+1)]2-4k(k+1)=1≠0, 所以这种情况不存在。 针对训练 ②若BC为腰，则有AB=BC或AC=BC这两种情况。 当BC为△ABC的腰时， x=5是已知方程的根， 所以52-5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k1=4,k2=5. 当k=4时，方程的两个根分别为x1=k=4,x2=k+1=5, 此时△ABC的周长为4+5+5=14。 当k=5时，方程的两个根分别为x=k=5,x2=k+1=6, 此时△ABC的周长为6+5+5=16。 所以当k为4或5时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为14或16。 针对训练 6.(四川遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0。 (1)求证:无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且x12+x22-x1x2=9,求m的值。 解析;本题利用一元二次方程根与系数的关系求字母的值，解决此类问题的关键是先将已知的两根的关系式用一元二次方程两根的和与积表示出来，于字母的方程，再进行求解，值得注意的是求得的字母的值需满足Δ≥0。 针对训练 解:(1)∵Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1(m-1) =m2+4m+4-4m+4=m2+8>0, ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)∵方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1,x2, ∴x1+x2=m+2,x1x2=m-1 ∵x12+x22-x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9, ∴(m+2)2-3(m-1)=9。整理,得m2+m-2=0,即(m+2)(m-1)=0。 解得m1=-2,m2=1。∴m的值为-2或1 针对训练 7.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件。为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件。 (1) 降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ (2) 要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ (3) 该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润。 针对训练 解：(1) (360 - 280) × 60 = 4800 元 答：降价前商场每月销售该商品的利润是 4800元。 (2) 设每件商品降价 m 元，则每件的销售利润为 (360 - m - 280) 元，每月可售出 (60 + 5m) 件。 根据题意得： (360 - m - 280)(60 + 5m) = 7200 整理得： m² - 68m + 480 = 0 解得 m₁ = 8，m₂ = 60。 又∵要有利于减少库存，∴m = 60。答：每件商品应降价 60元。 针对训练 (3) 根据题意得： 60 + 60(1 + x) + 60(1 + x)² = 285 整理得： 4x² + 12x - 7 = 0 解得 x₁ = 0.5 = 50%，x₂ = -3.5（不符合题意，舍去）。 ∴ 60(1 + x) = 60 × (1 + 50%) = 90（件）， 60(1 + x)² = 60 × (1 + 50%)² = 135（件）。 ∴ 2月份这种商品的售价为： 360 - = 354 (元) 3月份这种商品的售价为：360 - = 345 (元) 针对训练 ∴ 该季度的总利润为： (360 - 280) × 60 + (354 - 280) × 90 + (345 - 280) × 135 = 20235 (元) 答：该季度的总利润为 20235元。 单元总结/思想方法归纳 ·整体思想 本章中涉及的整体思想主要是利用一元二次方程的恒等变形及根与系数的关系，不解方程而达到求含有方程根的代数式的值的目的 ·分类讨论思想 在本章中，利用根的判别式来判断含有字母系数的一元二次方程根的情况，或利用一元二次方程根的情况来解决等腰三角形问题时，经常用到分类讨论思想。 ·建模思想 本章主要考查构造一元二次方程模型解决实际问题。在解决实际问题时，通过分析已知量、未知量及其等量关系，设出未知数，列出方程，再通过解方程可以得到实际问题的解。用方程的形式表示出来，构造方程模型解决实际问题。 71 华东师大版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $